数学人教A版（2023）必修第一册1.5.1全称量词与存在量词（共22张ppt）

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第一章集合与常用逻辑用语

1.5.1全称量词与存在量词

教学目标

理解全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义

01

会用数学符号语言描述全称量词命题与存在量词命题（重点）

02

掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断（重点、难点）

03

全称量词与存在量词

学科素养

全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义

数学抽象

直观想象

全称量词命题与存在量词命题真假的判断

逻辑推理

全称量词命题与存在量词命题的应用

数学运算

数据分析

数学建模

全称量词与存在量词

德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个猜想：“任意取一个奇数，都可以把它写成三个素数之和，比如77，77＝53＋17＋7.”同年欧拉肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且提出此猜想可以有另一等价的版本：每一个大于2的偶数都是两个素数之和，即“1＋1”(1表示1个素数)，如8＝3＋5.这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．后来，数学家们陆续证明出了“9＋9”“7＋7”“6＋6”…“3＋3”“2＋3”，200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1＋2”，即：任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和，如8＝2＋2×3＝3＋5.从陈景润的“1＋2”到“1＋1”似乎仅一步之遥，但迄今为止它仍然没有得到正面证明，也没有被推翻．不难发现，要想正面证明它就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，但想要推翻它只需“存在一个”反例.

情境导学

新知讲解

问题下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？

(1)；

(2)是整数；

(3)对所有的；

(4)对任意一个是整数.

语句命题(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.

概念生成

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

例如，命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题.

常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.

一般形式：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”

符号简记为

结构特点：集合中的任意一个元素，都满足条件.

知识点存在量词及特称命题的概念

短语“”“”在逻辑中通常叫做量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做.

存在量词及特称命题的概念

存在一个

至少有一个

特称命题

知识点特称命题的表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.

特称命题的表示

x0∈M，p(x0)

特称命题的真假的判断

思考？

如何判断特称命题的真假

解:要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

探究存在量词命题真假的判断

例判断下列命题的真假:

(1)x,y为正实数,使x2+y2=0;

解析

(1)因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故是假命题.

思维突破

存在量词命题真假的判断技巧

存在量词命题真假的判断:

要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x0,使p(x0)

成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.

探究由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围

例已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠,若命题p:“

x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围.

解析因为命题p:“x∈B,x∈A”是真命题,

所以BA,又B≠,

所以解得2≤m≤3.

故实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}.

思维突破

解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假

问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围

问题.

变式训练

3.(1)(变条件)把上例中的命题p改为“x∈A,x∈B”,求实数m的取值范围;

(2)(变条件,变结论)把上例中的命题p改为“x∈A,x∈B”,是否存在实数m,

使命题p是真命题若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.

解析(1)p为真,则A∩B≠,又B≠,

所以解得2≤m≤4.

故实数m的取值范围是{m|2≤m≤4}.

(2)不存在.理由:因为命题p:“x∈A,x∈B”是真命题,

所以AB,又B≠,

所以无解,

所以不存在实数m,使命题p是真命题.

【练习】下列命题中为全称量词命题的是()

A.有些实数没有倒数；

B.矩形都有外接圆；

C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行；

D.x∈R，x2+x≤2.

【解析】选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.

B

【练习】将下列命题用“”或“”表示．

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a1.

(3)x∈R，满足3x2＋2>0.

(4)有些整数只有两个正因数．

因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以(1)是真命题.

当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以(2)为假命题.

x∈R，有3x2＋2>0，所以(3)为真命题．

如存在整数3只有正因数1和3，所以(4)为真命题．

【练习】已知命题“任意1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

因为“任意1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

所以x2－m≥0，即m≤x2对任意的1≤x≤2恒成立，

【解析】因为y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，

所以y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1．

所以m≤1，

所以实数m的取值范围是{m|m≤1}．

【练习】已知命题“存在1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

【解析】因为y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，

所以y＝x2在1≤x≤2上的最大值为