江苏省南京市文昌中学2024届数学九上期末统考试题含解析

江苏省南京市文昌中学2024届数学九上期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n） B．3（m+n） C．4n D．4m3．x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＝0成立？则正确的结论是()A．m＝0时成立 B．m＝2时成立 C．m＝0或2时成立 D．不存在4．下列四个结论，①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等；不正确的是（）A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④5．已知如图，中，，，，边的垂直平分线交于点，交于点，则的长是（）．A． B． C．4 D．66．某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（）A．米 B．20米 C．米 D．30米7．己知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断8．sin30°的值为（）A． B． C． D．9．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：910．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．12．方程的根是____．13．一个三角形的三边之比为，与它相似的三角形的周长为，则与它相似的三角形的最长边为____________.14．如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为．15．如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行于轴，直线交轴于点，，连接，反比例函数的图象经过点．已知，则的值是________．16．若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______17．顺次连接矩形各边中点所得四边形为_____．18．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，，，则__________．三、解答题(共66分)19．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗.公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元.（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗.20．（6分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)求证：．21．（6分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，，，车杆与所成的，图1中、、三点共线，图2中的座板与地面保持平行.问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请写出的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：，，）22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD＝80°，求∠DAC的度数．23．（8分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．24．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？25．（10分）如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，平分，且．（1）求证：；（2）求证：与相切．26．（10分）意外创伤随时可能发生，急救是否及时、妥善，直接关系到病人的安危．为普及急救科普知识，提高学生的急救意识与现场急救能力，某校开展了急救知识进校园培训活动．为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的培训效果，该校举行了相关的急救知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的急救知识竞赛成绩(百．分制)进行分析，过程如下：收集数据：七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，72，75，80，86，59，83，1．八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，1，83，80，81，71，81，72，1，82，80，70，2．整理数据：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年级010a71八年级1007b2分析数据：平均数众数中位数七年级7875c八年级78d80.5应用数据：（1）由上表填空：a＝；b＝；c＝；d＝．（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分及以上的共有多少人？（3）你认为哪个年级的学生对急救知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案．【题目详解】∵已知∠ACB的度数和AC的长，∴利用∠ACB的正切可求出AB的长，故①能求得A，B两树距离，∵AB//EF，∴△ADB∽△EDF，∴，故②能求得A，B两树距离，设AC＝x，∴AD＝CD+x，AB＝，AB＝；∵已知CD，∠ACB，∠ADB，∴可求出x，然后可得出AB，故③能求得A，B两树距离，已知∠F，∠ADB，FB不能求得A，B两树距离，故④求得A，B两树距离，综上所述：求得A，B两树距离的有①②③，共3个，故选：C．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．2、D【题目详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．3、A【解题分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－bx＋b－2＝0的两个实数根∴Δ=（b-2）2+4>0x1+x2=b，x1×x2=b-2∴使＋＝0，则故满足条件的b的值为0故选A.4、D【分析】根据确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理逐一判断即可得答案.【题目详解】过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故①错误，圆的内接四边形对角互补，故②错误，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故④错误，综上所述：不正确的结论有①②③④，故选：D.【题目点拨】本题考查确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.5、B【分析】根据勾股定理求出BC,根据线段垂直平分线性质和勾股定理可求AE.【题目详解】因为中，，，，所以BC=因为的垂直平分线交于点，所以AE=EC设AE=x,则BE=8-x,EC=x在Rt△BCE中，由BE2+BC2=EC2可得x2+（8-x）2=62解得x=.即AE=故选：B【题目点拨】考核知识点：勾股定理，线段垂直平分线.根据勾股定理求出相应线段是关键.6、A【分析】由堤高米，迎水坡AB的坡比，根据坡度的定义，即可求得AC的长．【题目详解】∵迎水坡AB的坡比，∴，∵堤高米，∴(米).故选A.【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键7、A【分析】在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离，然后再利用d与r的大小关系进行判断；在直线与圆的问题中,充分利用构造的直角三角形来解决问题，直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交.【题目详解】∵的解为x=4或x=-1，∴r=4，∵4＜6，即r＜d，∴直线和⊙O的位置关系是相离.故选A.【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式，掌握直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键.8、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【题目详解】解：sin30°＝故选C【题目点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．9、B【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．【题目详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∵AB：BC＝4：3，∴DE：AB＝3：4，∵△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝DE：AB＝3：4，∴．故选：B．【题目点拨】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10、B【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【题目详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，

∴△ABC∽△DEF，

∴，即，

解得，DE=故选：B．【题目点拨】本题考查的是位似变换，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、17°【题目详解】解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.故答案为17°.12、，【分析】把方程变形为，把方程左边因式分解得，则有y=0或y-5=0，然后解一元一次方程即可．【题目详解】解：，∴，∴y=0或y-5=0，∴．故答案为：．【题目点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，其步骤为：移项，化积，转化和求解这几个步骤．13、18cm．【分析】由一个三角形的三边之比为3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，又由与它相似的三角形的周长为39cm，即可求得答案．【题目详解】解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，∵与它相似的三角形的周长为39cm，∴与它相似的三角形的最长边为：39×=18（cm）．

故答案为：18cm．【题目点拨】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例．14、π．【题目详解】解：如图连接OE、OF．∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长=．故答案为π．考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算．15、1【分析】设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，由平行四边形的性质可得出∠BAC＝∠CEO，结合∠BCA＝∠COE＝90°，即可证出△ABC∽△ECO，根据相似三角形的性质可得出BC•EC＝AB•CO＝mn，再根据S△BCE＝3，即可求出k＝1，此题得解．【题目详解】解：设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，∵CD平行于x轴，AB∥CD，∴∠BAC＝∠CEO．∵BC⊥AC，∠COE＝90°，∴∠BCA＝∠COE＝90°，∴△ABC∽△ECO，∴AB:CE＝BC:CO，∴∴BC•EC＝AB•CO＝mn．∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点D，∴k＝mn＝BC•EC＝2S△BCE＝1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，由△ABC∽△ECO得出k＝mn＝BC•EC是解题的关键．16、9cm【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【题目详解】解：设母线长为l，则=2π×3

，解得：l=9cm．故答案为：9cm．【题目点拨】本题考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．17、菱形【题目详解】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为菱形．考点：三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的性质．18、【分析】由，，即可求得的长，又由，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．【题目详解】解：，，，，，．故答案为：．【题目点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元；（2）这所中学购买了80棵树苗.【分析】（1）由题意按照每棵120元进行计算；（2）设设购买了棵树苗，根据单价×数量=总价列方程，求解.【题目详解】解：（1）∵，∴（元），∴答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.（2）∵购买60棵树苗时所需支付的树苗款为元元，∴该中学购买的树苗超过60棵.又∵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好降至100元.∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价仍为100元，此时所需支付的树苗款超过10000元，而，∴该中学购买的树苗不超过100棵.设购买了棵树苗，依题意，得，化简，得，解得（舍去），.答：这所中学购买了80棵树苗.【题目点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意弄清题目中的等量关系是本题的解题关键.20、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解题分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；

（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【题目详解】解：证明：(1)连接OD，∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴直线CD是⊙O的切线；(2)连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21、的长度发生了改变，减少了.【分析】根据图形的特点构造直角三角形利用三角函数求出变化前BC与变化后的BC长度即可求解.【题目详解】图1：作DF⊥BC于F点，∵∴BF=EF=BDcos≈30×=18∴BC=2BF+CE图2：作DF⊥BC于F点，由图1可知∠DE’F=53°，∴∠DE’C=180°-∠DE’F=127°∵DE∥BC，∴∠E’DE=∠DE’F=53°根据题意可知DE’=DE,CE’=CE,连接CD，∴△DCE≌△DCE’∴∠DEC=∠DE’C=127°∴∠ECB=360°-∠DEC-∠DE’C-∠E’DE=53°，作EG⊥BC于G点∴BC=BF+FG+GC=BDcos+DE+CE∠ECB30×+30+40×=76-72=4cm，答：的长度发生了改变，减少了.【题目点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的运用.22、40°【解题分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠CAO，得到答案．【题目详解】如图：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO＝∠BAD＝40°，【题目点拨】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23、【解题分析】连接OC,由垂径定理可得:EM⊥CD,即可求得的半径.【题目详解】解：连接OC，∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝4则有：CM＝CD＝2，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是．【题目点拨】本题考查的是圆，熟练掌握垂径定理是解题的关键.24、（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）点P（﹣2，1）在这个二次函数的图象上，【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）代入x=-2求出y值，将其与1比较后即可得出结论．【题目详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1；∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），（2，﹣5），则有：解得；