2020-2021学年北师大版九年级数学上册4.2平行线分线段成比例

4.2平行线分线段成比例

一.选择题

1.如图，直线a,b,c被直线/i,/2所截，交点分别为点A,C,E和点B,D,F.已知a

//b//c,且AC=3,（7E=4,则吆的值是（）

BF

/ih

壬

A-4B.AC.3D.A

377

2.如图，在△ABC中，EF//BC,坐：JL,则空=（）

AB3AC

A

BC

A-2B.2C.AD.3

332

3.如图，AB//CD//EF,若BF=3DF,则蚂的值是（）

CE

“\

A.AB.2C.AD.3

23

4.如图，若/l〃/2〃/3,且区＞=2,则正确的是（）

CE3

B

A•器W-f4CDF=3_口AC=2

BF5DF3

5.如图，在△ABC,。是8c上一点，BD-.CD=l：2,E是A£>上一点，DE：AE=1：2,

连接CE,CE的延长线交AB于F,则AF：48为（）

A.1：2B.2：3C.4：3D.4：7

6.如图，AB//CD"MN,点M,N分别在线段A。，BC上，AC与MN交于点E,则（）

CDC=ABD.

,MEENAMDM

7.如图，在△ABC中，DE//BC,NADE=NEFC,AE：EC=5：3,8尸=10,则C尸的长

C.4D.6

8.如图，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,则下列结果正确的是)

BBF=EFrAE=BFnEC=BD

,BCAD,ECFE,ACAB

9.如图，已知£>E〃BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是（)

ACG=CFBEG=ADCDE-ADD.EF=CG

.DGBF.FGBD,BCBDABCD

10.如图，DE//BC,DF//AC,那么下列比例式中正确的是（)

A.理=空RCF_CE「CE.BFD.BF=AE

ABBFBFEAEAFC而AC

11.如图，AB//CD//EF,AO=4,BC=DF=3,则BE的长为()

C.4D.6

4B-T

12.如图,在△ABC中,点。、E、尸分别是边AB、AC,BC上的点，DE//BC,EF//AB,

且A。：DB=3：5,那么CF：CB等于（）

C.5：8D.2：5

13.A4BC中，尸是4c的中点，D、E三等分BC、BF与AD、AE分别交于尸、Q,则BP：

PQ：QF=()

A

14.如图所示，AQ是△ABC的中线，E是A。上一点，AE：£0=1：3,BE的延长线交AC

15.如图，AD是△A8C的中线，E是AC边上一点，且CE：AE=1：2,3E交于点F,

则AF：FD为（）

16.如图AB〃CO〃EF,AF.BE相交于0,若40=04=。/=3cmBE=10cm,则B。的

长为（）

二.解答题

17.如图，已知AC〃尸E〃BO,求证：迪+理=1.

ADBC

18.如图，在RtZXABC中，NACB=90°,NBAC=60°，AC=6,AZ）平分NBAC,交边

BC于点£>,过点。作CA的平行线，交边4B于点E.

(1)求线段OE的长;

(2)取线段AQ的中点M,联结交线段OE于点尸，延长线段交边AC于点G,

求变的值.

PR-PS.

20.如图，点C是线段A8上的任意一点(C点不与A、8点重合)，分别以AC、BC为边

在直线AB的同侧作等边三角形△ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD

与CE相交于点M

(1)求证：MN//AB；

(2)若A8的长为10cm当点C在线段A8上移动时，是否存在这样的一点C,使线段

的长度最长？若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由.

D

E

21.如图，已知在△ABC中，EF//CD,AF=3,AD=5,AE=4.

(1)求CE的长;

(2)当48=空时"，求证：DE//BC.

22.已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点。，AC//EF,BC//DF,求证：AB//DE.

'B

参考答案与试题解析

选择题

1.解:'：a//b//c,

.ACBD3

••二二,

CEDF4

•BD33

••二------=,

BF3+47

故选：C.

2.解：'JEF//BC,

•••—AEAF,

ABAC

T7••AEh1—，

AB3

•空=工

*,ACT

故选：C.

3.解：\'AB//CD//EF,

•ACBD3DF-DF,

•♦二=--------------二力

CEDFDF

故选：B.

4.解：且旦•=2,

CE3

.BD2

DF3

•DF=3.

BF5

故选：C.

5.解：过。作£>H〃AB交CF于H,如图，

"：DH//BF,

•DH=CD

,"BFCB)

,:BD：CD=1：2,

:.CD：BC=2：3,

：.BF=1.DH,

2

'：DH//AF,

•AF—AE_0

DHDE

:.AF=2DH,

：.AF：BF=2DH：30H=4：3,

2

：.AF：A8=4：7.

故选：D.

6.解：,:ME//CD,

•DM=CE,

,*AMAE)

•AE=CE

*'AMDM'

故选：D.

7.解："."DE//BC,

：.NADE=ZB,

NADE=NEFC,

:.NB=NEFC,

J.EF//AB,

•CF=CE

"'CBCA"

VAE：EC=5：3,B尸=10,

•CF=3.

"CF+103^5)

解得：CF=6,

故选：D.

8.解：'JDE//BC,EF//AB,

.•.坦=理，故A选项错误;

ABBC

BF=^=AD(故8选项错误；

FCECEF

处=电，故C选项错误；

ECFC

毁=胆，故。选项正确.

ACBA

故选：D.

9.解：A、'：DE//BC,EF//AB,.•.匹里，正确；

DGDEBF

B、,JDE//BC,EF//AB,=D1JBF^AD,正确;

FGFCGCFCECBD

C.'CDE//BC,EF//AB,.•.还=^1,错误；

BCAB

D、•:DE〃BC,EF//AB,.•.里正确；

ABCD

故选：c.

10.解：'：DF//AC,

•BF=BD(

,,而AD'

'：DE//BC,

•BD=CE

,*ADEA)

•CE=BF

,•前FC-

故选：C.

11.解："."AB//CD//EF,

•BC=AD

"CEDE'

又；AO=4,BC=DF=3,

•J_=l,

"CET

：.CE=1,

4

BE=BC+CE=3+2=红

44

故选：B.

12.解：'：DE//BC,EF//AB,

：.AE：EC=AD：DB=BF：CF=3：5,

CF：CB=5：8,

故选：c.

13.解：过F作FN〃BC,交AE于M,AD于N,

为AC中点，

.•.尸M是中位线，

：.MF=1-CE,CE=2FM,

2

,:BD=DE=CE,

:.BE=2CE=4FM,

'：FM//BC,

：./\FMQs丛BEQ,

•IQ=FM=2

*'BQBET

「FN是△AOC的中位线，

:.FN=%D=CE=BD,

2

'：FN//BC,

:.丛FNPs丛BDP,

.BP_BD_,

PFFN

:.BP=PF,

•♦FQ=1

*BQ丁

•FQ=1

,*BFT

：.FQ=^BF,

:BP=LBF,FQ^l-BF,

25

:.PQ=PF-QF=LBF-ljBF=-^-BF,

2510

:.BP：PQ：QF=（UF）：（28产）：（工BF）=5：3：2.

2105

故选：A.

14.解：作DH〃BF交AC于H

・・・AQ是△ABC的中线，

***BD=DC,

：.FH=HC,

■:DH//BF,

.AF二四J

••瓦京苜

：.AF：FC=1：6,

AAF：AC=1：7,

故选：D.

15.解：过。作。G〃AC交BE于G,

TA。是△ABC的中线，

，OG=/EC

又AE=2EC,

：.AF：FD=AE：DG=2EC：J-EC=4：1.

故选：B.

16.解：AB//CD//EF,AF,BE相交于O,AO=OD=DF,

：.由B平行线等分线段定理得：OB=OC=CE,

：.BO=1^E=^-,

33

故选：A.

二.解答题

17.证明："：AC//EF,

•BEBF公

..而京①‘

,JFE//BD,

.•迪£②，

ADAB^

①②，得：

+BE_+M_JBF_+^L=_4L=1,

BCADABABAB

即_型耳

ADBC

18.解：(1)平分NBAC,NB4C=60°,

.,.ND4c=30°,

在RtZ\4CD中，ZACD=90°,NZMC=30°,AC=6,

:.CD=2瓜

在RtZXACB中，NACB=90°,NR4C=60°,AC=6,

：.BC=6y[3,

:.BD=BC-CD=，M，

,JDE//CA,

•DE_BD2,

*'CA=BC

；.£)E=4；

(2)如图，

G

点M是线段AO的中点,

：.DM=AM,

,JDE//CA,

.DF_DM；

"AG"AM"

：.DF=AG,

'：DE//CA,

.EF_BFBF_BD

"AG"BG"前记

.EF_BD

*'AG'BC"

,:BD=4«,8C=6百，DF=AG,

•EF2

,,n一一.

DF3

19.证明：

;台。〃直线m,

.PN=CP)PR=CP(

,•而CG"BGCG"

•PN=PR|

*'GDBG"

.PN=GD

"PRBG"

：8。〃直线机，

•PM=APPS=AP

**BGAG"GDAG'

.PM=PS

**BG而，

.PS=GD

*'PMBG"

•PN=PS

丽，

；.PM・PN=PR，PS.

m

MNRS

20.(1)证明：；△ACO与aBCE是等边三角形,

：.AC=CD,CE=BC,

：.NACE=NBCD,

在AACE与ADCB中，

'AC=CD

；ZACE=ZBCD-

CE=BC

：.AACE^ADCB(SAS),

：.NCAE=NBDC,

在△ACM与△OCN中，

rZCAE=ZBDC

AC=CD，

,ZACM=ZDCN

，/\ACM^/\DCN,

：.CM=CN,

又：NMCN=180°-60°-60°=60°,

.♦.△MCN是等边三角形，

:.NMNC=4NCB=60°

即MN//AB；

(2)解：假设符合条件的点C存在，设4C=x,MN=y,

MN//AB,

•MN=EN

"AC而，

即y=10-x-y

x10-x

y=-J-(x-5)2+2.5(0<x<10),

10

当x=5时，ymax=2.5cm.

21.解：(1)'：EF//CD,

.AF=AE

"ADAC"

'：AF=3,AD=5,AE=4,

•-.3_4f

5AC

解得：AC=型,

3

'：AE=4,

：.CE=AC-4£=型-4="

33

（2）：AB=空，AD=5,AE=4,4C=型，

33

•AD=AE=3

''ABACT

/A=/A,

二AADE^AABC,

，NADE=NB,

：.DE//BC.

22.证明：-：AC//EF,

-QA=QC；

"OE而，

'：BC//DF,

•OB=OC

"ODOF'

•OA=OB

**0EOD*

NAOB=NDOE,

J.AB//DE.

4.3相似多边形

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.下列说法中，正确的是（）

A.所有的等腰三角形都相似

B.所有的菱形都相似

C.所有的矩形都相似

D.所有的等腰直角三角形都相似

2.把一个长方形划分成三个全等的长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原

长方形的长a与宽如勺关系是（）

\[2：=炳=2

A.B?eJ

3.下列命题中的真命题是（）

A.所有的平行四边形都相似B.所有的菱形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的等腰梯形都相似

4,下列两个图形一定相似的是（）

A.任意两个等边三角形B.任意两个直角三角形

C.任意两个等腰三角形D.两个等腰梯形

5.下列说法正确的是（）

A.两个矩形一定相似B.两个菱形一定相似

C.两个等腰三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似

6.如果两个相似多边形的相似比为L5,则它们的面积比为（）

A.1：2EB.1：5C.1：2.ED.1：'1弓

7.两个相似多边形的一组对应边分别为3c"和2c",那么它们的相似比是（）

3639

A%B.WC?D”

8.下列说法中，错误的是（）

A.所有的等边三角形都相似

B.和同一图形相似的两图形相似

C.所有的等腰直角三角形都相似

D.所有的矩形都相似

9.把一个矩形对折成两个相等的矩形后，与原来矩形相似，则原矩形长与宽之比为（）

A.V'2+1B.A/2-1C.v,2D.H

10.如图，过尸点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且

AP：PC=AD：AB=4:3,下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（）

A.甲、乙不相似B.甲、丁不相似C,丙、乙相似D.丙、丁相似

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

11.把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到倍，其面积扩大到

________倍,

12.同一底片印出来的不同尺寸的照片也是.

13.已知四边形ABCD和四边形A/iGD］相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是

10cm和4crr,如果四边形A/IGD］的最短边的长是6CK,