2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 章末综合题复习

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数章末综合题复习

1、已知抛物线的顶点为(一1,-3),与y轴的交点为(0,-5).

(1)求抛物线的表达式；

(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会

得到怎样的抛物线？

(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件

的抛物线的表达式.

2、如果将抛物线y=2x2+bx+c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度,

再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y=2x2-4x+3.

(1)试确定b,c的值；

(2)求出抛物线y=2x2+bx+c的对称轴和顶点坐标.

3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市

场进行了试销.经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间关系是

一次函数的关系，部分数据如下：

销售里价

•••20253035・・・

x/元

每月销售量

•・・60504030•・・

y万个

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不

得高于50%),请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最

大利润.

4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形

ABFE和矩形DCFE),原材料刚好全部用完.设窗户边框AB长度为x米，窗户总

面积为S平方米(注：窗户边框粗细忽略不计).

(1)求S与x之间的函数关系式；

(2)若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求

此时窗户总面积S的最大值和最小值.

5、已知二次函数y=ax2的图象与直线y=x+2交于点(2,m).

(1)判断y=a卡的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以

及当x>0时，y的值随x值的增大而变化的情况；

(2)设直线y=x+2与抛物线丫=2一的交点分别为A,B,如图所示.试确定

A,B两点的坐标；

(3)连接OA,0B,求AAOB的面积.

6、如图，已知二次函数y=-x?+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,

0),与y轴交于点B.

(1)求此二次函数的关系式和点B的坐标；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得4PAB是以AB为底边的等腰三角

形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7、如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(l,-4).

(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标；

(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使SAPAB=|SAMB?若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与y轴的交点

为A(0,3),与x轴的交点分别为B(2,0),C(6,0).直线AD〃x轴，在x轴上

位于点B右侧有一动点E,过点E作平行于y轴的直线1与抛物线、直线AD的

交点分别为P，Q.

(1)抛物线的表达式为;

(2)当点E在线段BC上时，求4APC面积的最大值；

(3)是否存在点P,使以A,P,Q为顶点的三角形与AAOB相似？若存在，求

出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知直线1：y=kx+l与抛物线y=x?-4x.

(1)求证：直线1与该抛物线总有两个交点；

(2)如图，设直线1与该抛物线两个交点分别为A,B,0为原点，当k=-2

时，求AOAB的面积.

10、如图，抛物线y=-x?+2x+3与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,

在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APAC的周长最小？若存在，请求出

点P的坐标及aPAC的周长；若不存在，请说明理由.

11、如图，己知二次函数y=x?—4x+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴

交于点C,若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A,B,P,

F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标.

12、如图，顶点为M的抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于A,B两点，与y

轴交于点C,在y轴上是否存在一点P,使得aPAM为直角三角形？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，说明理由.

13、如图所示，抛物线y=ax：+bx+4的顶点坐标为(3,竽)，与y轴交于

点A.过点A作AB〃x轴，交抛物线于点B,点C是第四象限的抛物线上的一个动

点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点E在y轴的负半轴上，且AE=AD,直线CE交抛物线y=ax?+bx+4

于点F.

①求点F的坐标；

②过点D作DG_LCE于点G,连接OD,ED,当NODE=NCDG时，求直线DG

的函数表达式.

14、如图，抛物线y=ax'+bx+3(aW0)与x轴、y轴分别交于A(—1,0),

B(3,0),C三点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)x轴上是否存在点P,使PC+jpB最小？若存在，请求出点P的坐标及

PC+如的最小值；若不存在，请说明理由;

(3)连接BC,设E为线段BC的中点.若M是抛物线上一动点，将点M绕点E

旋转180°得到点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N

的坐标.

备用困

15、如图，已知抛物线yuax'+bx+c与直线y=gx+；相交于A(T,0),

B(4,m)两点，抛物线y=ax'+bx+c交y轴于点C(0,—|),交x轴正半轴于点

D,抛物线的顶点为M.

(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；

(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当APAB的面积最大时，求此时

△PAB的面积及点P的坐标；

(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMNs^MAD(点Q与点M对

应)时，求点Q的坐标.

16、如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax?+bx—5,与x轴交

于A(—1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与AABC相似，

求点D的坐标；

(3)如图2,CE〃x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的

动点，过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H

运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

(4)若点K为x轴上一点，连接CK,请你直接写出2CK+KB的最小值.

图1图2备用图

参考答案

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数章末综合题复习

1、已知抛物线的顶点为(一1,-3),与y轴的交点为(0,-5).

(1)求抛物线的表达式；

(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会

得到怎样的抛物线？

(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件

的抛物线的表达式.

解：(1)根据题意设抛物线的表达式为

y=a(x+l)~—3,

将(0,—5)代入,得a—3=-5.解得a=-2.

二抛物线的表达式为y=—2(x+l)2—3=—2x2—4x—5.

(2)y=-2(x—I)2.

(3)所求抛物线的表达式为y=2(x-l)2.

2、如果将抛物线y=2x2+bx+c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度,

再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y=2x2-4x+3.

(D试确定b,c的值;

(2)求出抛物线y=2x2+bx+c的对称轴和顶点坐标.

解：(1)Vy=2x2-4x+3=2(x-l)2+l,

.♦.现将其向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度可得原函数，即y

=2(x—4)+3.

y=2x2—16x+35..*.b=—16,c=35.

(2)由y=2(x—4)?+3,得顶点坐标为(4,3),对称轴为直线x=4.

3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市

场进行了试销.经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间关系是

一次函数的关系，部分数据如下：

销售里价

・・・20253035•・・

x/元

每月销售量

・・・60504030・・・

y万个

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不

得高于50%),请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最

大利润.

解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.

把(20,60),(30,40)代入，得

f20k+b=60,[k=-2,

<解得.

30k+b=40,[b=100.

Ay与x之间的函数关系式为y=-2x+100.

⑵•.•每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%,

(1+50%)X16=24.

设该公司每月获得的利润为w万元，则

w=y(X—16)

=(-2x+100)(x-16)

=-2X2+132X-1600

=-2(X-33)2+578.

•••图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，

.•.当x=24时，w最大，最大值为416.

答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元.

4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形

ABFE和矩形DCFE),原材料刚好全部用完.设窗户边框AB长度为x米，窗户总

面积为S平方米(注：窗户边框粗细忽略不计).

(1)求S与x之间的函数关系式；

(2)若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求

此时窗户总面积S的最大值和最小值.

AED

RFC

解:⑴由题意可得，S=x•更U2s=一|x』9x.

⑵由题意可得，2当＜更萨，

解得2WxV3.6,

3,,.

VS=——x-+9x,2WxV3.6,

乙

27

.,.当x=3时，S取得最大值，此时5=万；

当x=2时，S取得最小值，此时S=12.

答：窗户总面积S的最大值是£27•平方米，最小值是12平方米.

5、已知二次函数y=ax'的图象与直线y=x+2交于点(2,m).

(1)判断y=ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以

及当x>0时，y的值随x值的增大而变化的情况；

(2)设直线y=x+2与抛物线丫=2-的交点分别为A,B,如图所示.试确定

A,B两点的坐标；

(3)连接OA,0B,求AAOB的面积.

解：(1)把点(2,m)代入y=x+2,解得m=4,

二交点坐标为(2,4).

把点(2,4)代入y=ax2，得

a=1.

二二次函数的表达式为y=x2.

抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0),

当x>0时,y随x的增大而增大.

(2)由题意,得X2=X+2,

解得Xi=2,x2=-1,则力=4,y2=l.

AA(2,4),B(-l,1).

(3)设直线y=x+2与y轴的交点为D,则点D坐标为(0,2),

••S^AOB=S/iDOB-!-SADOA

1,1

=-X2Xl+-X2X2

乙乙

—3.

6、如图，已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,

0),与y轴交于点B.

(1)求此二次函数的关系式和点B的坐标；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得aPAB是以AB为底边的等腰三角

形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)把点A(4,0)代入二次函数，得

0=-16+4b+3,

13

解得b=^.

，二次函数的关系式为y=-x2+yx+3.

当x=0时，y=3,

...点B的坐标为(0,3).

(2)作AB的垂直平分线交x轴于点P,连接BP,则BP=AP,此时点P即为

所求.

设BP=AP=x,贝U0P=4—x,

在RtaOBP中,BP2=OB2+OP2,

即(=3?+(4—x)2,

解得x=U.

O

2577、

/.OP=4--=-,即nnP([,0).

ooo

...在X轴的正半轴上存在点P,使得4PAB是以AB为底边的等腰三角形，且

_7

点P的坐标为Q，0).

O

7、如图是二次函数y=(x+m)?+k的图象，其顶点坐标为M(l,-4).

(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标；

(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使SAPAB=^SA«?若存在,求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(IL.•抛物线y=(x+m)2+k的顶点坐标为M(l,-4),

y=(x—I)2—4.

令y=0,即(x—I)?—4=0.

解得Xi=3,x2=—1.

0),B(3,0).

(2)VAPAB与AMAB同底，且SX,\B=/.B，

二=1><4=5,即yp=±5.

又♦.•点P在二次函数y=(x—l)2—4的图象上，

yp2一4....yp=5.

令(x—l尸一4=5,解得Xi=4,x2=—2,

...存在这样的点P,其坐标为祥，5)或(一2,5).

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax'+bx+c(aWO)与y轴的交点

为A(0,3),与x轴的交点分别为B(2,0),C(6,0).直线AD〃x轴，在x轴上

位于点B右侧有一动点E,过点E作平行于y轴的直线1与抛物线、直线AD的

交点分别为P,Q

⑴抛物线的表达式为y=$—2x+3；

(2)当点E在线段BC上时，求aAPC面积的最大值；

(3)是否存在点P,使以A,P,Q为顶点的三角形与AAOB相似？若存在，求

出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(2)设直线AC的表达式为y=kx+m,

6k+m==0,1k=一小

解得〈2

m—3.I

〔m=3.

「・直线AC的表达式为y=-^x+3.

设AAPC的面积为S,直线1与AC的交点为F.

设P(t,^t2-2t+3)(2^t^6),

113

则F(t,—/l+3).「.PF=—7I+51.

・・S=SAPFA+SAPPC

=；PF•t+^PF・(6—t)

1/12,3、3/、2,27

=7(—7f+7t)X6=-j(t-3)-+—

乙V乙x4t

27

，当t=3时，S最大=彳，

27

即aAPC面积的最大值为了.

⑶存在点P,使以A,P,Q为顶点的三角形与AAOB相似.

理由：连接AB,则在aAOB中，ZA0B=90o,A0=3,B0=2,

设E(n,0)(n>2),则Q(n,3),P(n,卡-2n+3),

当;r?—2n+3=3时，此时，点P,Q重合，

即n=0(舍)或n=8,不能构成△APQ,/.n^8.

①当2<n<8时，AQ=n,PQ=—~n~+2n,

什Ar,A0OB

右△AOBS^AQP,则许=而，

Ayqr

n1,

一严9+2n

.,.n=0(舍)或门=学..”($0).

iA,A0OB

右△AOBS/^PQA,则n而=6，

即2=T-.

n1,

一严9+2n

・・・n=0(舍)或n=2(舍)；

②当n>8时，AQ=n,PQ=%—2n,

HAA0OB

右△AOBS^AQP,则nl诉=6，

.,.11=0(舍)或门=等.，.£吟，0).

iA,A0OB

右△AOBS^PQA,则n而二元，

ryy/i

即2=1―

n1

.一92n

.,.n=0(舍)或n=14..，.E(14,0).

综上所述，存在点P,使以A,P,Q为顶点的三角形与aAOB相似，此时点

E的坐标为(¥，0),(与，0)或(14,0).

9、已知直线1：y=kx+l与抛物线y=x?-4x.

(1)求证：直线1与该抛物线总有两个交点；

(2)如图，设直线1与该抛物线两个交点分别为A,B,0为原点，当k=-2

时，求△OAB的面积.

y=kx+l,

解:(1)证明:联立

.y=x2-4x,

化简，得

X2—(4+k)x—1=0,

二A=(4+k)2+4>0.

直线1与该抛物线总有两个交点.

(2)当k=-2时,y=—2x+l.

设直线AB交x轴于点C.

令y=0,则一2x+l=0,

1A1

•*.x=-AC(­,0x).••・0C=5.

乙乙乙

过点A作AF±x轴于点F,过点B作BE±x轴于点E,

(2

y=x—44x,

联立＜

.y=-2x+l,

x=l+镜，x=l—

解得《或《

.y=-l—2/y=2y[2~l.

.".A(1—^2,2y[2—1),B(l+q^,—1—2^2).

.•.AF=2/一1,BE=l+2用

••S/\AOB=S/XAOc+S△BOC

1,1

=TOC-AF+TOC•BE

乙乙

=1oc•(AF+BE)

=1x^X(2^2-14-1+2^2)

=近

10、如图，抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,

在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APAC的周长最小？若存在，请求出

点P的坐标及aPAC的周长；若不存在，请说明理由.

解：在y=—x'+2x+3中，令y=0,则一x2+2x+3=0.解得Xi=-1,x2

=3.

/.A(-l,0),B(3,0).

在y=­x?+2x+3中，令x=0,则y=3..,.C(0,3).

连接BC交抛物线的对称轴于点P,连接AP,则点P即为所求.此时APAC

的周长最小，等于AC+BC.

VA(-1,0),B(3,0),C(0,3),

.,.AC=^/l2+32=V10,BC=A/32+32=3V2.

.,.AC+CB=m+3用

.,.△PAC的周长最小为亚+3小.

设直线BC的表达式为y=kx+t.

把点B(3,0),C(0,3)代入，得

3k+1=0,k=-1,

解得

上=3.t=3.

J直线BC的表达式为y=-x+3.

/.yp=-1+3=2.

存在点P(l,2)使APAC的周长最小，最小值为｛历+3啦.

11、如图，已知二次函数y=x?—4x+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴

交于点C,若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A,B,P,

F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标.

解：在y=x'—4x+3中，令y=0,则x：'—4x+3=0,解得Xi=l,x2=3.

.\A(1,0),B(3,0).

①当AB为平行四边形一条边时，如图1,

则AB=PF=2.

•.•抛物线的对称轴为直线x=2,

...点P的坐标为(4,3)；

当点P在对称轴左侧时，点P的坐标为(0,3)；

②当AB是平行四边形的对角线时，如图2,

AB的中点坐标为(2,0).

设点P的横坐标为m,则PF的中点坐标为(吟，0),••.吟=2,解得m

乙乙

=2.

...点P的坐标为(2,-1).

综上所述，点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).

12、如图，顶点为M的抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于A,B两点，与y

轴交于点C,在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，说明理由.

解：在y=—x'+2x+3中，令y=0,则一x'+2x+3=0.

解得Xi=3,x2=—1.

AA(3,0),B(-l,0).

Vy=­x'；+2x+3=—(x—1)2+4,

4)..,.AM2=(3-l)2+42=20.

设点P坐标为(0,p),

则AP2=32+p2=9+p2,

MP2=12+(4-p)2=17-8p+p2.

①若NPAM=90°，则AM?+AP2=MP2.

3

.•.20+9+p=17-8p+p,解得2-

/3、

，P(0,--).

乙

②若NAPM=90°,则AP2+MP'2=AM2.

22

.,.9+p+17-8p+p=20,解得口=1,p2=3.

/.P(0,1)或(0,3).

③若NAMP=90°，则AM?+MP2=AP2.

7

/.20+17—8p+pJ=9+pJ,解得P=].

/7、

，p(o,5).

37

综上所述，当点P的坐标为(0,-5)或(0,1)或(0,3)或(0,5)时，4PAM

为直角三角形.

13、如图所示，抛物线y=ax°+bx+4的顶点坐标为(3,干)，与y轴交于

点A.过点A作AB〃x轴，交抛物线于点B,点C是第四象限的抛物线上的一个动

点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点E在y轴的负半轴上，且AE=AD,直线CE交抛物线y=ax?+bx+4

于点F.

①求点F的坐标；

②过点D作DG_LCE于点G,连接0D,ED,当N0DE=NCDG时，求直线DG

的函数表达式.

解：⑴：抛物线y=ax?+bx+4的顶点坐标为(3,争,

/\2।252..25

,y=a(x—3)~+1=ax-6ax+9a+-

,251

A9a+-=4.Aa=—7.

44

i3

抛物线的表达式为y=-p2+p+4.

1Q

⑵①设C(m,-/+那+4).

VAD=AE,AD〃x轴，CD〃y轴，.*.AD=AE=m.

V0A=4,/.0E=m-4.

•.•点E在y轴的负半轴上，."(0,4-m).

设直线CE的表达式为y=kx+b.

{b=4-m,

13

mk+b=—^mJ+^m+4.

5

2-

i5

二直线CE的表达式为y=(--m+-)x+4—m.

i315

联立两个函数表达式，得一/+留+4=(一m+w)x+4—m.

%乙iLi

，一；x?+(；m—l)x+m=O,x2+(4—m)x—4m=0,(x+4)(x—m)=0,

解得Xi=-4,X2=m....定点F(—4,—6).

②如图，过点E作EH_LCD于点H,交DG于点Q,连接0Q,由①知0E=m—

VZDAE=ZADH=ZEHD=90°,AD=AE,

...四边形AEHD是正方形.

/.ZEDH=45°,

AD=AE=DH=EH.

VZ0DE=ZCDG,

AZ0DE+ZEDQ=ZEDQ+ZCDG=45°,即N0DQ=45°.

/.ZAD0+ZCDG=45°.

在0A的延长线上取AP=QH,连接PD,

又•.•NPAD=NQHD=90°,AD=DH,

.,.△PAD^AQHD(SAS).

/.PD=DQ,ZADP=ZCDG.

AZADP+ZAD0=45°=ZODQ.

又•.,OD=OD,

.,.△PDO^AQDO(SAS)..*.OP=OQ.

VEH=DH,ZEHC=ZDHQ,ZGEH=ZCDG,

.,.△EHC^ADHQ(ASA).

1.315

.♦.CH=QH=^’—那一4一(m—4)=a'-那=AP.

,,1,5

.•.0Q=0P=0A+AP=4+x--m.

V0E=m-4,EQ=EH-QH=m-

在RtZSOEQ中，由勾股定理，得OE2+EQ2=OQ2,

2=(4+^m2—|m)2,

(m—4)

m'!—10m'—24m=0,

解得n=0(舍)，m2=12,2(舍).

.\D(12,4),Q(6,-8).

设直线DG的表达式为y=k'x+b',

12k'+b'=4,.k'=2,

则6k7+b'=-8,解得‘

b'=-20.

直线DG的函数表达式为y=2x-20.

14、如图，抛物线y=ax'+bx+3(aW0)与x轴、y轴分别交于A(―1,0),

B(3,0),C三点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)x轴上是否存在点P,使PC+|PB最小？若存在，请求出点P的坐标及

PC+》B的最小值；若不存在，请说明理由;

(3)连接BC,设E为线段BC的中点.若M是抛物线上一动点，将点M绕点E

旋转180°得到点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N

的坐标.

解:(1”.•抛物线丫=2*2+6乂+3色/0)与x轴交于点A(—l,0),B(3,0),

设抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-3)=ax2—2ax—3a.

•••-3a—3.-1.

...抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.

⑵在x轴下方作NABD=30°,交y轴负半轴于点D,则BD=20D.

VB(3,0),AOB=3.

根据勾股定理，得BD2—OD?=32,

.,.4OD2-OD2=9.

：.QD=\[3,BD=2近

•.•抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,

/.C(0,3).，0C=3.，CD=3+/.

过点P作PB'J_BD于点B',

在Rt^PB'B中，PB'=|PB,

.,.PC+|PB=PC+PBZ.

当点C,P,B在同一条直线上时，PC+；PB最小，最小值为CB',

VSABCD='|CD•OB=1BD•CB',

,CD-OB(3+m)X33(V3+D

,,CB24=2'

即PC+；PB的最小值为3.

V0B=0C=3,.*.Z0BC=Z0CB=45°.

.,.ZDBC=45°+30°=75°.

/.ZBCP=90o-75°=15°./.Z0CP=30°.

V0C=3,：.OP=y[3.0).

(3)如备用图，设M(m,—mJ+2m+3),

•.•以B,C,M,N为顶点的四边形是矩形，

.,.ZBMC=90°.

•.•点A在x轴负半轴上，且NB0C=90°,

.•.点M在x轴上方的抛物线上.

过点M作ME_Lx轴于点E,MF_Ly轴于点F,

AZME0=ZMF0=90°=ZE0F.

二四边形OEMF是矩形.

,ZEMF=90°ZBME=ZCMF.

又•.•NBEM=NCFM=90°,

.BE_ME

••而=而

____3—m______—m'+2m+3

—m-+2m+3—3m

但或3(舍去).

乙

(亨，亨)或(与啦，汨&

33

•・•点N是点M关于点E(5,5)的对称点，

乙乙

点N的坐标为(掾，》)或(中I呼.

15、如图，已知抛物线y=ax°+bx+c与直线y=；x+；相交于A(—1,0),

B(4,m)两点，抛物线y=ax''+bx+c交y轴于点C(0,—1),交x轴正半轴于点

D,抛物线的顶点为M.

(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；

(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当APAB的面积最大时，求此时

△PAB的面积及点P的坐标；

(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMNs^MAD(点Q与点M对

应)时，求点Q的坐标.

1]55

解：(D把点B(4,m)代入y=/x+5中，得m=],...B(4,j).

53

把点A(—1,0),B(4,-),C(0,—])代入y=ax'+bx+c中，得

a—b+c=O,

,5

16a+4b+c=-,

乙解得<b=­l,

33

-

c--2-c=-2

13

2

•••抛物线的表达式为2-X-X-2-

Vy=-x'—x--=-(x-1)'—2,

...点M的坐标为(1,-2).

⑵如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H,设点P的坐标为(m,

则H(m,gm+g),

3、1,3,

APH=—m-])=_即2+即+2.

•••点P为直线AB下方的抛物线上一动点,

—l<m<4.

1/、1,1,,3,、5,3、2,125

，

•.SAPAB=7XHP,(xB—xA)=7><(一3犷+理+2)X5=—7(m—.

乙乙乙乙xCu1U

53,«.«M125

一广0,...当m=5时，S附取大,取大为记

3

此时点pq.

13

⑶如图2所示，在丫=犷一x—J中，令y=0,解得x1=-1,X2=3,AD(3,

乙乙

0).

VM(1,-2),A(-l,0),

/.△AMD为等腰直角三角形.

VAQMN^AMAD,

/.△QNM为等腰直角三角形，

且NMQN=90°,MQ=NQ.

i3

设点N的坐标为(n,尹一n—5),

易证：AQEN丝ZSMFQ,

1,3

；.FQ=EN=2,MF=EQ=Tn2-n--

乙乙

13

n--+l=n+2.解得n=5或一1(舍).

.•.点Q的坐标为(7,