2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版2019）

期中测试卷01

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

测试范围：选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.对于空间任意一点。和不共线的三点4、B、C,有如下关系：OP=-OA+-OB+-OC,则（）。

632

A、四点。、4、B、C必共面

B、四点P、4、B、C必共面

C、四点。、P、B、C必共面

D、五点0、P、4、B、C必共面

2.已知平面a、6的法向量分别为K=（一1,y,4）、7=（x,-1,一2）且a16，则x+y的值为（）。

A、-8

B、-4

C、4

D、8

3.若a?+/=2c?（c羊0）,则直线ax+by+c=0被圆/+必=1所截得的弦长为（）。

A、-

2

B、,

2

C、1

D、V2

4.已知三条直线ax+2y+8=0、4x+3y=10和2%—y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角

形的三边，则实数Q的值为（）o

A、—1

B、0

C、1

D、2

5.直线&y=px（p是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那

么满足条件的直线2有（）。

A、6条

B、7条

C、8条

D、无数条

6.过点P（0,3）的直线［与圆C：（x-2）2+（y-3）2=4交于4、B两点，当=30。时，直线2的斜率为（）。

A、土豆

-3

B、.

3

C、+V3

D、V3

7.已知4（1,-2,3）、B（2,1,-1）两点，则直线4B与空间直角坐标系中的yOz平面的交点坐标为（）。

A、（0,0,0）

B、（0,-5,7）

C、*0.1）

D、（：，i,0）

8.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k丰1）

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点4、B间的距离为2,动点P与4B距离之比为

V2.当P、4、B不共线时，4P4B面积的最大值是（）。

A、立

3

B、咨

3

C、V2

D、2V2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.若平面内两条平行线I］：x+（a-l）y+2=0与％：ax+2y+1=0间的距离为?，则实数a=（）。

A、-2

B、-1

C、1

D、2

10.己知3、7、X和才为空间中的4个单位向量，且方+7+2=3，|下一才|+|7—才|+|2—才|可

能等于（）。

A、2

B、3

C、4

D、5

11.给出下列命题，其中不正确的为（）。

A、若荏=次,则必有4与C重合，8与D重合，4B与CD为同一线段

B、若Zv0,则vN,7＞是钝角

C、若同+CD=~S,则荏与就一定共线

D、非零向量3、%、X满足才与X1与X,X与K都是共面向量，则水?、工必共面

12.已知圆M：（*-l）2+y2=1,过点A（O,2）向圆M作切线，切点为P，再作斜率为的割线交圆”于8、

C两点，则4PBe的面积为（）。

56

A、—

65

64

B、—

65

211

C>-----

325

256

D、---

325

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正方体ABCD-4/也1。1中，索=；砧，若版=*巩+丫（同+屈），则x

y=o(本小题每空2.5分)

14.已知直线百*-y+2=0及直线百x-y-10=0截圆C所得的弦长均为8,则圆C的面积是.

15.如图所示，平行六面体ABCD—28停1。1中，4B=4D=44i=l，/.BAD=/LBAA1=120°.

ND441=60°,则线段4cl的长度是,

16.己知点P(x,y)是直线1：kx-y+4=0(k>0)上的动点，过点P作圆C：二十好+=。的切线p4,

4为切点。若|P川最小为2时，圆M：/+y?-狙丫=o与圆c外切，且与直线/相切，则m的值为。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

如图所示，三棱柱ABC-&BC中，M、N分别是上的点，且BM=2&M，C】N=2BJV。设4B=R，

斤=成，AA{=N。

(1)试用力另、2表示向量函正

(2)若ZB4C=90°，NB441=NCA41=60",AB=AC=AAj,=1,求MN的长。

18.(本小题满分12分)

过点P(4.1)作直线2分别交*、y轴正半轴于4、B两点。

(1)当440B面积最小时，求直线1的方程。

(2)当|04+|0B|取最小值时，求直线［的方程。

19.(本小题满分12分)

如图所示，在2MBe中，/.ABC=。为4B边上一点，且30B=30C=24B,2D4=240=P0,P01平

4

面ABC，且D4〃P0。

(1)求证：平面PBD平面C。。；

(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值。

A

B

20.(本小题满分12分)

已知平行四边形4BCD的三个顶点的坐标为4(一1,4)、B(-2,一1)、C(2,3)。

⑴在44BC中，求边4c中线所在直线方程；

⑵求平行四边形4BCD的顶点。的坐标及边BC的长度；

(3)求44BC的面积。

21.(本小题满分12分)

如图1,在直角梯形A8CD中，AD//BC，4BAD=1AB=BC=1，AD=2，E是4D的中点，。是AC与BE

的交点。将44BE沿BE折起到441BE的位置，如图2。

(1)证明：CD1平面&OC;

(2)若平面4BE1平面BCDE,求平面4BC与平面&CD夹角的余弦值。

22.(本小题满分12分)

如图所示，直四棱柱4BCD-Ai&CiDi的底面是菱形，=4,4B=2,/.BAD=60°，E、M、N分别是BC、

BB「&D的中点。

(1)证明：MN〃平面CRE：

(2)求二面角4-MAt-N的正弦值。

C

AB

期中测试卷。1（解析）

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

测试范围：选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1―►1—*1—

1.对于空间任意一点。和不共线的三点A、B、C,有如下关系：。尸=—OA+—O3+—OC,则（）。

632

A、四点0、A、B、C必共面

B、四点P、A、B、C必共面

C、四点。、P、B、C必共面

D、五点0、P、A、B、C必共面

【答案】B

【解析］由OP=±OA+±OB+上OC得：-+-+-=1,可得四点P、A、B、C必共面，故选B。

632632

2.已知平面a、p的法向量分别为"=（—1,y,4）、B=（x,—1,—2）且则x+y的值为（）。

A、-8B、-4C、4D、8

【答案】A

【解析】由己知得a/=（）,BP-x-y-8=0,则x+y=-8,故选A。

3.若/+62=202（0/0）,则直线如+外+。=0被圆/+>2=1所截得的弦长为（）。

A,-B,—C、1D,V2

22

【答案】D

［解析］；圆心（0,0）到直线ax+by+c=0的距离d=尸,=—.

yja2+Z;22

因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于（等）2=专，.•.弦长为五，故选D。

4.已知三条直线依+2y+8=0、4x+3y=10和2x-y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形

的三边，则实数。的值为（）。

A、-1B、0C、1D、2

【答案】A

【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立+解得这两条直线的交点为（4,_2）,

［2x-y=10

代入奴+2y+8=0可得a=—1,故选A。

5.直线/：y=px（〃是不等于0的整数）与直线y=x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），

那么满足条件的直线/有（）。

A、6条B、7条C、8条D、无数条

【答案】B

【解析】联立卜=川，.•.px=x+i。.„10，八10

即riX=------,V=10d--------,

[y=x+10/?-Ip-\

"一1=±1或±2或±5或±10,p值有7个，直线有七条，故选B。

6.过点P（0,3）的直线/与圆C：（x-2）2+（y-3）2=4交于A、8两点，当/C4B=30°时，直线/的斜率为

（）。

A、±—B、—C、±V3D、百

33

【答案】A

【解析】由题意得NAC3=120°,则圆心C（2,3）到直线/的距离为1,

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=O,此时直线/与圆相切，不合题意，舍去，

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=fcr+3,则2-3+3l=W^==l，

解得&=±走，故选A。

3

7.已知A。,-2,3）、3（2,1,-1）两点，则直线A5与空间直角坐标系中的yOz平面的交点坐标为（）。

A、（0,0,0）B,（0,-5,7）C、q,O,g）D、（（,；,0）

【答案】B

【解析】设AS连线与平面yOz的交点为尸（0,必，4）,

；A、B、4三点共线，则丽=九次+（1-入）•丽，

则（0,%，Z|）=X,（1,—2,3）+（1—A.）,（2,1,—1）,

0=X+2-2X=2-X[九=2

则|y=一2九+1-九二1一3九，解得卜]=—5,则尸（0,—5,7）,故选B。

Z]=3入-1+九二4九—1Zj=7

8.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数々（攵＞0且Zwl）

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A、8间的距离为2,动点P与A、B距离

之比为亚，当P、A、8不共线时，面积的最大值是（）。

A、@B、也3MD、2V2

33

【答案】D

【解析】如图，以经过A、8的直线为x轴，线段48的垂直平分线为y轴，建系，A(-1,0)、3(1,0),

..।幺.«X+lf+y2_

设P(x,y),

22

画J(x-I)+y

两边平方并整理得：一+/一6*+1=()=(x-3)2+y2=8,

AftAB面积的最大值是』x2x2近=2收，故选D。

2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.若平面内两条平行线4：x+(a—1)>+2=0与4：办+2)+1=0间的距离为平，则实数。=()。

A、-2B、-1C、1D、2

【答案】BD

【解析】•.,/,///,,：.a(a-1)=2,解得。=一1或a=2,

。=一1时〃=垣，符合，当。=2时1=还，符合，故选BD。

54

10.已知〃、务、c和Z为空间中的4个单位向量，且。+1+。=6,|。一1|+|3-6/|+|。一1|可能等于()o

A、2B、3C、4D、5

【答案】CD

［解析］,•*\a-d\+\b-d\+\c-d\>\a-d+b-d+c-d\=\a+h+c-3d\,而4+B+c=6,

：.\a-d\+\b-d\+\c-d\>\-3d|=3,

又,：a、b>c、Z是单位向量，且a+B+c=6,:.a-d、h-d>c-d一定不共线，

：.\a-d\+\b-d\+\c-d\>3,故选CD。

11.给出下列命题，其中不正确的为()。

A、若而=而，则必有A与C重合，5与。重合，AB与8为同一线段

若〃.至<0,则<〃工>是钝角

c、若丽+而=6,则荏与而一定共线

D、非零向量a、b>c满足a与3,%与c,c与a都是共面向量，则a、b>c必共面

【答案】ABD

【解析】对于A,考虑平行四边形A3OC中，满足砺=而，

不满足A与C重合，8与。重合，AB与8为同一线段，故A错,

对于B,当两个非零向量"、否的夹角为兀时，满足"石<0,

但它们的夹角不是钝角，故B错，

对于C,当M+而=6时，AB=-CD,则而与而一定共线，故C对，

对于D,考虑三棱柱ABC—A5G，砺=7、AC=b.AA}=c,

满足〉与Z,3与］，Z•与［都是共面向量，但"、%、最不共面，故D错，

故选ABD。

7

12.已知圆M：(x-l)2+y2=i,过点A(0,2)向圆M作切线，切点为P,再作斜率为-‘的割线交圆〃于

B、C两点，则APBC的面积为()。

56064C、迫D、*

AA、D、—

6565325325

【答案】BD

7

【解析】由题意知”(1,0),过点A(0,2)作斜率为-的割线BC,v

则直线3c的方程为7x+4y-8=0,

点M到直线BC的距离为4=.,7-81■■=

772+42

则弦|叼=沙2一片=2鹏=提,

过点A作圆M的切线，其中一条为y轴,切点为。轴，

|081

则点。到直线3C的距离"，=;~=8

'<72+42夜，

AP3C的面积即为AOBC的面积，故SXPBC~~1BCI-=—XX,

BC2-2V65V6565

又另一条切线为AP,设直线AP的方程为丘-y+2=0,由题意得〃PJ_AP,

且点M到直线AP的距离|MP\=耳理=1,解得％=—3,4

则直线AP的方程为3x+4y-8=0,

与圆M的方程联立易得P(|,1),

|-x7+~x4-8|2

点P到直线的距离&=55_=,

V72+425V65

16

MS_132_256

综上所述APBC的面积为上64或丝256，故选BD。

65325

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知正方体ABCQ-45GA中，港=；而，^AE=xAA]+y(AB+AD),贝ijx=,

y=.(本小题每空2.5分)

【答案】I-

4

【解析】vAXE=-^A{C}-/.A£=^+^(^1B1+AlD1)=A4,+-(Afi+AD),：.x=\,y=\

14.已知直线岳-y+2=0及直线岛-y-10=0截圆C所得的弦长均为8,则圆C的面积是

【答案】2571

【解析】•.•已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，

...圆心到直线的距离d为两平行直线距离的•半，即d=1x及叫=3,

2V3TT

又直线截圆C所得的弦长为8,.•.圆的半径r=5/32+42=5,...圆C的面积是25兀。

15.如图所示，平行六面体A5CD—A|8|CQ|中，AB=AD=AA［=\,ABAD=ZBAAt=120°,ND4A=60°,

则线段AG的长度是________。

［答案］^\

［解析］•：ACt=AB+AD+AA］,VVj_\\

--*2*2•2,2►►►►►・\'\

AAC1=AB+AO+朋+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-A4,\A/A

=l+l+l+2xlxlx(-)+2xlxlx(-)+2xlxlx—=2,

222

IAq|=V2o

16.己知点P(x,y)是直线/：依—y+4=0(%>0)上的动点，过点P作圆C：/+/2+2丫=()的切线”,

A为切点。若|P4|最小为2时，圆M：一+丁―机)，=0与圆c外切，且与直线/相切，则加的值为。

【答案】26—2

【解析】圆C的圆心为C(0,—1),半径为1,

当CP与/垂直时，।小।的值最小，此时点c到直线，的距离为d=，+旬，

J1+严

由勾股定理得『+22=（，+4]）2,又%>0,解得％=2,

Jl+%2

圆M的圆心为M（0,9,半径为|£|,

:圆M与圆C外切，.•.|匕|+1=|-一1）|,

22

m

|--+4|

•.•圆M与直线/相切，.••'=—2=—,解得机=2后-2。

2V5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图所示，三棱柱ABC-44G中，M、N分别是48、81cl上的点，且8W=2A|M,C、N=2B、N。

设AS=a,AC=b,AAt=ca

（1）试用a、b.c表示向量MN；

⑵若Nfi4c=90°,NMj=NCM|=60°,AB=AC=AA}=1,求MN的长。

【解析】(1)赤=丽+丽+丽=g明+Q+；而

2分

1f——]-*—1-171■*

=—(c-a)+a+—(b-a)=—a+—b^-—c；4分

33333

——♦—c—*2—2—2—*—*—►—♦—•—

⑵(a+〃+c)2=a+b+c+2a-b-^-2a-c+2b-c6分

=l+l+l+0+2xlxlx—+2xlxlx—=5,8分

22

^\a+h+c\=y[5,：.\MN\=^\a+b+c\=^-.

10分

18.（本小题满分12分）

过点P（4,l）作直线/分别交x、y轴正半轴于A、3两点。

（1）当A4OB面积最小时，求直线/的方程。

⑵当|041+1081取最小值时，求直线I的方程。

【解析】设直线/：土+上=1(。>0，8>0),:宜线/经过点P(4,l),...9+,=1,

2分

abab

41

(1)-+-=1>2A^>16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,4分

ah

，当a=8,Z?=2时，5乂08=：。人最小,

此时直线/的方程为]+]=l,即x+4y-8=。；6分

41

(2)V-+-=1,a>0,b>0,

ab

41ci4b/a4b

：.\OA\+\OB\=a+b=(a+bX-+-)=5+-+—>5+2^~•—=9,9分

abba\ba

当且仅当a=6,2=3时等号成立，10分

...当|。41+1OB|取最小值时，直线/的方程为x+2y-6=0。12分

19.(本小题满分12分)

冗

如图所示，在A4BC中，NABC=—,。为AB边上一点，且3O5=3OC=2AB,2DA=2AO=PO,PO1.

4

平面A3C,旦DA/IPO。

(1)求证：平面PBOL平面COD；

(2)求直线PD与平面所成角的正弦值。

乂尸O_L平面ABC，OCu平面ABC，.,.PO,OC，2分

又；PO、ABu平面以8,PO[}AB=O,

...CO,平面尸A8，即CO_L平面P3Z),3分

又COu平面COD，，平面平面CQD；4分

⑵解：以OC、OB、O尸所在射线分别为X、y、Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设Q4=1,则PO=08=OC=2,ZM=1,则C(2,0,0),5(0,2,0),尸(0,0,2),D(0,-l,l),

/.PD=(0,-l,-l),就=(2,-2,0),丽=(0,-3,1),6分

n-BC=O[2x-2y=0

设平面3ZX7的一个法向量为〃=(x,y,z),[-3y+z=0

n•BD=0

令y=1,贝ijx=1,z=3,n=(1,1,3),9分

设PD与平面g/x7所成的角为e,

75n,,lxO+lx(-l)+3x(-l),2>/22

则sin0=|-----：z-Il//।-

IPD""IJ。?+(_])2+(_])2*J]2+俨+32H

即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为2叵。

12分

11

20.(本小题满分12分)

已知平行四边形A8CO的三个顶点的坐标为A(-1,4)、8(-2,-1)、C(2,3)。

(1)在A4BC中，求边AC中线所在直线方程；

(2)求平行四边形A3CD的顶点D的坐标及边3c的长度;

(3)求A43c的面积。

【解析】如图建系，

17

⑴设AC边中点为M，则M点坐标为(5,]),1分

2+1

->十190

二直线—=-，二直线3M的方程为：y-(-l)=-(x+2),3分

-+255

2

即：9x—5y+13=0,AC边中线所在直线的方程为：9x-5y+13=0；4分

⑵设点。的坐标为(x,y),由已知得M为线段8D的中点,

—2+x

2x=3

有4解得厂8，・,・0(3,8),6分

-1+^7

2-2

又••,以一2,-1)、C(2,3),则|5cb卜2-2)2+㈠-3产=4也；8分

⑶由8(—2,—1)、C(2,3)得直线3C的方程为：x-y+\=0,9分

BC12分

/.A到直线BC的距离4._)=1序”=2四，,SMBC=gx4后x2夜=8。

21.(本小题满分12分)

TT

如图1,在直角梯形ABCO中，AD//BC,/区4。=上，AB^BC=\,AD=2,E是AO的中点，。是AC

2

与3E的交点。将A45E沿BE折起到AA3E的位置，如图2。

(1)证明：CD，平面A|OC；

(2)若平面4BE，平面BCDE,求平面A,BC与平面AXCD夹角的余弦值。

图1图2

rr

【解析】(1)证明：在图1中，AB=5C=1,AD=2,E是4。的中点，ZBAD=~,：.BErAC,

2

即在图2中，BE±O\.BEYOC,1分

乂oanoc=o,。4、OCu平面AOC，8EJ•平面AOC，3分

又CD//BE，,CDL平面AQC；4分

(2)解：由已知，平面平面5cDE,又由(1)知，BE_LO4、BE1OC，

二/4。。为二面角4-BE-C的平面角，ZA|OC=/,5分

如图，以。为原点，OB.OC,两为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,

：48=4£=8C=£D=1,BC//ED,

：.8（坐,0,0）、E（一卓0,0）、4（0,0,*）、C（0，¥，0）,

.,.瓦=（一与,¥，0）,冠=（0,g,-与），CD=~BE^（-72,0,0）,7分

，一一[%•BC=01-M+y=0

设平面A/C的法向量〃1=（如外"，贝4上一,即'