专题4-4三角函数的图象与性质9大考点

专题4-4三角函数的图象与性质9大考点知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无一、三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．二、三角函数值域或最值的3种求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；3、换元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)三、求三角函数单调区间的2种方法1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．四、已知单调区间求参数范围的3种方法1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq\f(1,4)周期列不等式(组)求解。五、三角函数周期的求解方法1、公式法：（1）三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的最小正周期分别为2π，2π，π；（2）y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)；2、图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期。六、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．常见的结论有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．七、三角函数对称性问题的2种求解方法1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；2、公式法：（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z考点一求三角函数的定义域【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】令，解得：，，∴定义域为，.故选：C.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为.【答案】【解析】由题意，，所以，．故答案为：．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为.【答案】∪【解析】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.故答案为：∪.【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）在区间[0，2π]上，函数的定义域为．【答案】【解析】由题意得，且，即且，所以，得，所以函数的定义域为，故答案为：【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为．【答案】【解析】由题意得，解得，令k=-1，解得，令k=0，解得，令k=1，解得，综上，定义域为.故答案为：考点二求三角函数的值域(最值)【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为.【答案】【解析】设，因为，可得，因为正切函数在上的值域为，即函数在的值域为.故答案为：.【变式2-1】（2023·西藏昌都·校考模拟预测）已知函数，的最小值为.【答案】【解析】因为，所以当时，取得最小值为.故答案为：.【变式2-2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）若函数的最小值为，则．【答案】/【解析】∵，∴函数的最小值为，此时，即.故答案为：.【变式2-3】．（2022秋·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）函数的最小值是．【答案】【解析】，令，则，且，，∴，，∴当时，，即的最小值为.故答案为：.【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域为．【答案】【解析】因为，所以，，则当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：.【变式2-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，求函数的最值及对应的取值；（2）若，求函数的最大值.【答案】（1）有，有；（2）答案见解析【解析】（1）由题设，所以，当，即时，；当，即时，；（2）由，当，即时，当，即，；当，即时，当时，；当，即时，当，即时，；综上，时；时；时.考点三根据三角函数的值域求参数【例3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知函数，当时，取得最小值，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为当时，取得最小值，即，所以，即，解得：，当时，，当时，，所以的最小值是.故选：C【变式3-1】（2023·四川·成都玉林中学校考模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，因为且，要使的值域是，只要，即；解法二：由题，可知，由的图象性质知，要使的值域是，则，解之得．故选：D.【变式3-2】（2023秋·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为当时，，要使有最大值，则时，函数值的范围不超过可得解得.故选：A.【变式3-3】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为．【答案】【解析】，因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，由，得，所以，即.故答案为：【变式3-4】（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则m的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为值域为，所以.又，所以，根据正弦函数的图象可知，解得，所以m的最大值是.故选：C.【变式3-5】（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，根据函数在的最大值为7,最小值为3，所以，即，根据正切函数在为单调增函数，则，在上单调减函数，，，则，，，，，故选：B.考点四求三角函数的单调区间【例4】（2023秋·湖北·高三武汉市第六中学校考）函数在上的单调递减区间是．【答案】（开区间也对）【解析】由，得，故函数的单调递减区间为再结合，可得函数在上的递减区间为.故答案为：.【变式4-1】（2022秋·湖北·高三恩施土家族苗族高中校联考）函数在的单调递增区间是.【答案】；（注：也正确）【解析】因为函数令解得且，令，则即的单调递增区间为故答案为:【变式4-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（）A．B．C．，D．，【答案】D【解析】可化为，故单调增区间：，，解得，.令，，令，.，所以的单调递增区间是.故选：D【变式4-3】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数，则（）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递增D．在上单调递增【答案】D【解析】依题意可知，，记，则，对于A选项，因为，所以，则在上不单调，则在上不单调，故A错误；对于B选项，因为，所以，则在上不单调，则在上不单调，故B错误；对于C选项，因为，所以，则在上单调递减，则在上单调递减，故C错误；对于D选项，因为，所以，则在上单调递增，则在上单调递增，故D正确.故选：D.【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列选项中，是函数的单调递增区间的有（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】令可得函数的单调递增区间为令，函数的单调递增区间为，B正确；令，函数的单调递增区间为，C正确，故选：BC.【变式4-5】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，所以从递减到，从递减到，A错误；当从增加到时，从递减到，从1递减到，所以从递增到，从递减到，B错误；当从增加到时，从递减到，从递减到，所以从递增到，从递减到，C错误；当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，所以从递增到，从递增到，D正确；故选：D考点五已知函数单调性求参数范围【例5】（2023·全国·高三对口高考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向左平移（）个单位长度，可得到，其减区间满足:，即，所以函数的减区间为又在区间上单调递减，则则且,即且，所以，的最小值为：.故选：C.【变式5-1】（2023·陕西·镇安中学校考模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数在区间上单调递减，得，可得，又由，必有，可得.故选：A【变式5-2】（2023·陕西·安康中学校考）已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得.令，由，得.因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，解得，所以.故选：A【变式5-3】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由，所以，又，所以，且函数在上单调递增，所以，解得，即的取值范围为.故选：D【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且在区间上单调递增，则的取值范围为.【答案】【解析】因为，当时，，因为函数在区间上单调递增，则，所以，，其中，解得，所以，，解得，因为，且，则.当时，；当时，.综上所述，的取值范围是.故答案为：.【变式5-5】（2022秋·山西大同·高三统考阶段练习）函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为.【答案】（答案不唯一）【解析】因为正切函数的单调递增区间为，，又函数在区间上为增函数，所以.故答案为：（答案不唯一）考点六三角函数的奇偶性问题【例6】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数为奇函数，，对于B，函数为非奇非偶函数，，对于C，函数为奇函数，，对于D，，函数为奇函数，，故选：D【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数【答案】B【解析】因为是奇函数，由题意，画出函数的图像，可知其为偶函数.所以遵循“内奇同外”的原则有：，所以原函数为偶函数.故选:B【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象两个相邻的对称中心的间距为，则下列函数为偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数可化为，因为函数图象两个相邻的对称中心的间距为，所以函数的周期为，所以，又，所以，所以，所以，函数为奇函数；，所以当时，，当时，，所以函数不为偶函数；，所以函数为偶函数；因为，所以当时，，当时，，所以函数不为偶函数.故选：C.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）函数，则（）A．若，则为奇函数B．若，则为偶函数C．若，则为偶函数D．若，则为奇函数【答案】B【解析】的定义域为，对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；对B：若，，，故为偶函数，B正确；对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；对D：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；故选：B【变式6-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，因为为偶函数，可得，所以，令，可得.故选：A.【变式6-5】（2023·全国·高三专题练习）写出使“函数为奇函数”的的一个取值．【答案】（答案不唯一）【解析】因为函数为奇函数，所以.即的一个取值为.故答案为：（答案不唯一）【变式6-6】（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则．【答案】【解析】由于，即，故，令，则，即在定义域内是奇函数，满足，则，故．故答案为：考点七三角函数的周期性问题【例7】（2023春·上海·高三大同中学校考）函数的最小正周期为．【答案】【解析】函数的最小正周期为.故答案为：.【变式7-1】（2023·辽宁抚顺·校联考二模）函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以函数的最小正周期.故选：D.【变式7-2】（2023秋·山东·高三青岛第五十八中学校考开学考试）已知函数的最小正周期为.若，则（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】因为的最小正周期为，所以，则，因为，，所以，所以，.故选：D.【变式7-3】（2023秋·江西·高三南昌二中校考开学考试）已知，则的值为（）A．2B．C．1D．0【答案】B【解析】，所以最小正周期为，且，所以.故选：B.【变式7-4】（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业）已知函数，则．【答案】2022【解析】易知函数的最小正周期，而，由周期性知，这样连续六项的和均为，而共有项，，所以．故答案为：【变式7-5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则的最小正周期的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数，由，可得，因为，当时，可得，要使得在区间内恰好存在两个不同的，使得，则满足，解得，所以的最小值为，则的最小正周期的最大值为．故选：A.考点八三角函数的对称性问题【例8】（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的对称中心的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，，所以，函数的对称中心的是，.对于A项，由，可得，故A项错误；对于B项，由，可得，故B项错误；对于C项，由，可得，故C项错误；对于D项，由，可得，故D项正确.故选：D.【变式8-1】（2023·江苏扬州·统考模拟预测）以点为对称中心的函数是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A选项，对称中心为，故不选A；对于B选项，对称中心为，故不选B;对于C选项，对称中心为，故C选项正确；对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.故选：C.【变式8-2】（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）（多选）已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有（）A．函数的最小正周期为B．函数的一个单调增区间为C．函数的一个对称中心是D．函数的一条对称轴是【答案】AD【解析】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；对于B，当时，，因为在上单调递减，所以在上递减，所以B错误；当时，，所以函数的一个对称轴是，所以C错误；对于D，当时，，函数取得最小值，所以函数的一条对称轴是，所以D正确．故选：AD【变式8-3】（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，Z,

解得，Z,所以当时，的最小值为，故选：.【变式8-4】（2023秋·湖南·高三校联考开学考试）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，则，即，且，解得，可得，又因为关