复合函数零点问题的求解策略

复合函数零点个数问题的求解策略王伯龙宁夏彭阳县第三中学756599函数零点问题在高中函数知识模块中占有极其重要的地位，它把函数与方程、不等式、导数等知识紧密的联系在一起，是各级各类考试的重点与热点题型，随着高考对函数零点问题考查的日渐深入，其题型也显得愈加灵活多变.而复合函数零点问题又是函数零点问题中比较典型的一类，也是函数零点问题中的一个难点.对于形如的复合函数涉及内外层函数，零点问题往往需要结合内外层函数的图像，利用数形结合法来解决.文[]尽管通过两个特殊例题涉及到复合函数零点个数问题，但没有给出此类问题的一个程序化的求解策略，笔者另辟蹊径，借助于内层函数与的交点个数与值之间的关系，给出复合函数的零点问题的解决策略，下面通过例题来展示.例函数，当在上变化时，函数的零点个数有个.-2e图1O-31yx解设，在同一坐标系中作出函数与的图像.如图所示，由图像可知，的图像与的公共点个数与的取值之间的关系如下表.-2e图1O-31yx此时，函数的零点问题就转化为方程的根.因为，方程有两个异号的实根，不妨设为，，且，又知.当时，，由表知，方程有个实根；当时，，由表知，方程有个实根；当时，，由表知，方程有个实根.综上可知，对于对于任意实数，函数的零点个数为个.例已知，若关于的方程（为实常数）有个实数解，则实数的取值范围为.解设，在同一坐标系中作出函数与的图像.如图所示，由图像可知，与的公共点个数与的取值之间的关系如下表.OxOxy图2由表可知，关于的方程（为实常数）有个实数解，就转化为关于的方程在内必有一个实数解，而另一个实数解为或.当时，由得，此时，方程的另一个实根为，符合条件；当方程的两个根一个在内，另一个在内时，由区间根的分布知识得，此不等式组无实数解.综上可知，实数的取值范围为.例若有个零点，则实数的取值范围是.图4Oyt-8xy图3O解因为，另，则.设，在同一坐标系中作出函数与的图像.如图所示，由图像可知，与的公共点个数与的取值之间的关系如下表.图4Oyt-8xy图3O此时，函数的零点问题就转化为方程的根，因为，由表知，对应函数的两个零点，由于函数有个零点，所以函数在上有且仅有一个零点，且不为零，也不为.即函数与直线在上的公共点有且仅有一个，且不为零，也不为.利用求导数运算，画出在上的图像如图所示，由图像可知实数的取值范围是.例已知函数，若关于的方程恰有两个实数解，，且，求实数的值，使得有最小值，并求其最小值.O-1xy图5解设，在同一坐标系中作出函数与的图像.如图所示，由图像可知，的图像与的公共点个数与的取值之间的关系如下表.O-1xy图5由表可知，关于的方程恰有两个实数解的问题就转化为方程在上有解，即由得，由得.由于，因而易得，所以设，.于是，原问题即为求在上的最小值.，当时，，函数在上单调递减；当时,，函数在上单调递增，所以当时，函数有最小值，且最小值.此时，.故当时，有最小值，且最小值为.形如的复合函数的零点问题通常有两类常见的题型：=1\*GB3①已知参数的范围，求函数的零点个数；=2\*GB3②已知函数的零点个数，求参数的取值范围.对于这两类问题的解答我们可以进行一般化的程序，结合以上例子的解法，可以将复合函数零点问题的解决策略程序化如下：=1\*GB2⑴利用换元法，将复合函数零点个数问题转化为关于的方程组的解的个数问题.=2\*GB2⑵在同一坐标系中画出函数与的图像，并结合图像找出与交点个数与值之间的关系，列表格表示.=3\*GB2⑶借助于表格，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的分布情况或具体值.=4\*GB2⑷结合