椭圆的参数方程5704

椭圆的几何性质(5)——椭圆的参数方程（教案）一．齐鲁石化五中翟慎佳目的要求：1．了解椭圆参数方程，了解系数a、b、含义。2．进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。3．培养理解能力、知识应用能力。二．教学目标：1．知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。2．能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。3．德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。三．重点难点：1．重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。2．难点：椭圆参数方程的推导及应用。四．教学方法：引导启发，计算机辅助，讲练结合。五．教学过程：（一）引言（意义）人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关）1．求曲线方程常用哪几种方法答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。2．举例：含参数的方程与参数方程xt2ykxkt（参数）是参数方例如：=+1（参数）含参方程，而y4t1

程。3．直线及圆的参数方程各系数意义（三）推导椭圆参数方程1．提出问题（教科书例5）例题．如图，以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆。点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANO，垂足为xN，过点B作BMAN，垂足为M。求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。2．分析问题本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法——参数法。引导学生阅读题目，回答问题：（1）动点M是怎样产生的M与A、B的坐标有何联系（2）如何设出恰当参数设∠AOX=为参数较恰当。3．解决问题（板演）解：设点M的坐标(x,y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角，取为参数，那么x=ON=|OA|cos，y=NM=|OB|sin即ybsinxacos①引为点M的轨迹参数方程，为参数。4．更进一步（板演：化普通方程）xcos分别将方程组①的两个方程变形，得a两式平方后相加，ysinb消去参数得方程xa2y212b2由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。为参数，为离心角，常数a、b分别是椭圆长半轴和短半轴长。5．加深理解xacos（为参数），参数有明显几何意义。（1）椭圆参数方程ybsinMOX离心角与∠一般不同。参数方程提供了设点的方法。（2）椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参←→消参”。（3）椭圆的参数方程也可由xy1（a>b>0）三角换元直接得出，22a2b2即令xcos，ysin。双曲线也有类似换元。b（4）可仿P95例3，将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程a（四）参数方程的应用（例题分析）3cosx例1．参数方程普通方程互化（1）（2）x2y12y5sin1628costxx2y2例2.练习：参数方程普通方程互化（1）（2）169y10sint例3．在椭圆2x8y28上求点P，使P到L：x-y+4=0的距离最小。分析1：（目标函数法）设P(x,y)为椭圆上任一点，由x28y28得x88y，则P到L的距离d|88y2y4|22再想办法求最值，但太繁不可取。分析2：（几何法）把直线L平移到L与椭圆相切，1此时切点P为所求的点。即设L：x-y+m=0,1xym0由，x8y282y整理得9y2-2my+m2-8=0.由△=4m2-4·9(m2-8)=0得m=±3.如图可知m=3时最小.可计算平行线间的距离，LxL1d|43|2，此时P（-8,1）2332分析3：（参数法）设P（22cos,sin），则有d|22cossin4||3sin()4|，其中tan22222d有最小值2当时，，22231即P（-8,1）则cossinsincos，333方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单（2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程例4．P(x,y)为椭圆2y21上任一点，求2x+y的最大值。x4x4cos(是参数)上一点P，使OP与x轴正向所成例5．设椭圆y23sin角∠POX=，求P点坐标。3分析：本题容易产生错误：认为=，代入椭圆参数方程3x=2,y=3，从而P（2，3）。事实上，若注意P对应参数与∠POX关系，可避免此误。P与x轴正向所成的角为，3解：设P（4cos，23sin），由tan323sin4cos，即tan=2.而sin>0,cos>0,525545415P点坐标为（，）。cos=,sin=555（四）教学小结：1．坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了a、b、的几何意义2．通过学习，完善了对椭圆的认识。椭圆的两个定义及两种方程都是等价的。3．参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。4．通过学习增强运用参数解题的意识。（五）补充练习1．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x-3y-16=0的距离的最大值为（）1213A．B.1316131324132813D.13C.1322．P是椭圆y21上任意一点，xF、F是两个焦点，且满足PFPF的21212点P有（）A．1个个个个22y3．已知直线y=kx-1与椭圆1相切，xa则k,之间关系式为（）4aaA．+4k2=-1aB.4k2-=1=1+4k2=124．点P（0，1）到椭圆xy21上点最大距离是________2aaa5．设为大于0的常数，椭圆x2-2x+2y2=0的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为112A．B.2C.2或D.222xy6．已知点P在圆x2+(y-4)2=1上移动，点Q在椭圆1上移动，24求|PQ|的最大值