北京市第一五九中学高二上学期期中考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市第一五九中学2017-2018学年度第一学期高二期中数学试题一、选择题（每个小题只有一个选项是正确的，每小题5分）：1．直线过一、三、四象限的条件是（)． A．且 B．且 C．且 D．且【答案】D【解析】当直线斜率大于，纵轴上截距小于时，直线过一三四象限，∴斜率，截距,∴且．故选．2．已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线,那么下列情形可能出现的是(）． A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】是平面的一条斜线,，为过点的一条动直线,则若,，则，与是平面的一条斜线矛盾，若，,则或，若,，则或，∴、、情况不可能出现．故选．3．圆与圆的位置关系是（）． A．内含 B．相交 C．外切 D．外离【答案】D【解析】，．，．圆心，，圆心，,,∴两圆外离．故选．4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆心，∴，,∴，∴，整理得．故选．5．在正四面体中，，,分别是,,的中点，下列四个结论中不成立的是（)． A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】C【解析】错，，分别是，中点，∴,∵平面,平面,∴平面．错，在正中，，设正四面体高为，平面且,点,∴平面．对，设与交点为，,是中点,∴，又∵，∴为平面与平面的二面角，设正四棱锥边长为,,,,∵，,即平面与平面不垂直．错,由知,平面且平面．∴平面平面．6．过直线上的一点作圆的两条切线,,当直线，关于对称时，它们之间的夹角为（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】设过直线上一点作圆切线，圆心．∵直线,关于对称，∴直线与垂直，点到直线的距离，又∵圆的半径为，，与直线的夹角均为,∴与夹角为．故选．二、填空题(每小题5分）:7．过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程是__________．【答案】或【解析】由题意直线斜率一定存在，设为，∴，，当时，，当时，,∴,解出或，整理得或．8．直线与圆有公共点,则的取值范围为__________．【答案】【解析】圆，．圆心到直线的距离，解出或．9．直线与平行，则__________．【答案】【解析】两直线平行,则，解出或，当时，两直线分别为，．当时,两直线分别为，．重合(舍）综上时，符合要求．10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图可知：，，．11．已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，且过点，则椭圆的方程为__________．【答案】或【解析】设椭圆短轴为，长轴为,∴椭圆标准方程为或，代入，解出或，∴椭圆标准方程为或．12．已知两点,,点是圆上任意点，则面积的最小值是__________．【答案】【解析】圆，，由题意即为在圆上找一点到线段的距离最小即可，直线，，∴线段，圆心到其距离,∴圆上某点到线段的距离最小值为，，．13．点关于直线的对称点的坐标为__________．【答案】【解析】设对称点为，∴①，（对称点与该点的连线垂直于直线）对称点与该点所成线段的中点为在直线上,∴②,联立①②解出对称点为．14．如图,在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行;④当时，是定值．其中正确的说法是__________．【答案】①③④【解析】①正确,由面面平行性质定理知：当固定时,在倾斜的过程中，且平面平面，∴水的形状或棱柱状．②错误，水面四边形改变．③正确，∵，水面，水面．④正确，∵水量是定值，且高不变，∴底面面积不变，∴当时，是定值，综上正确的有①③④．三、解答题：15．(分)如图,在四棱锥中，底面是菱形，，平面,是的中点，是的中点．（）求证：平面．（)求证：平面平面．【答案】见解析【解析】（)证明：取中点为点，连接，∵、分别是,中点,∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面,∴平面．（）∵在菱形中，，连接，则为等边三角形,∵是中点,∴,又∵面,∴,∵点，、平面，∴平面，平面，∴平面平面．16．（分）半径小于的圆经过点,圆心在直线上，并且与直线相交所得的弦长为．（）求圆的方程．（）理：已知点，动点到圆的切线长等于到的距离，求的轨迹方程．文：已知点，轴上一点到圆的切线长等于到的距离，求的坐标．【答案】（） （）理： 文：【解析】（）∵圆心在直线上,设圆心,则圆半径,∴圆方程为，∵圆心到直线的距离，，又∵圆与直线所交得弦长,∴，∴，代入解出或，当时，，符合要求．当时，，舍去，∴圆的方程为．（）理：设点坐标为,∵动点到圆的切线长等于到点距离，设切点为．∴，，∵，，,,，，∴，解出,即点轨迹为．文：设，由题知，到圆的切线长等于到的距离,设切点为，，∴,∵，，，,∴，解出，∴点坐标为．17．（本小题满分分）如图所示，已知多面体中,四边形为矩形，,,平面平面，、分别为、的中点．(）求证:．（）求证：平面．（)若过的平面交于点，交于，求证：．【答案】见解析【解析】（）证明：∵平面平面,平面平面，在矩形中，，平面，∴平面,∴,又∵,点,、平面，∴平面，∴．(）取中点为，连接，，∵、分别为,中点,∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，平面，∴平面．（）∵,∴过直线存在一个平面,使得平面平面，又∵过的平面交于点,交于点，平面，∴，∴．18．（分）矩形中，，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．（)求边所在直线的方程．（）求矩形外接圆的方程．（）若过点作题（）中的圆的切线，求切线的方程．【答案】(） (） （）或【解析】（）∵直线方程为：，斜率，∵，∴,∵在直线上，∴,整理得．（)由，解得，∵，中点为外接圆心，∵圆半径，∴矩形的外接圆为．（），设切线为，整理得，圆心到切线的距离，，解出或，当时，切线为，当时,切线为．19．（分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直．，,．（）求证：平面．(）求证:平面．（）在直线上是否存在点，使得平面？并说明理由．【答案】见解析【解析】（)设与交于点,∵,，，∴四边形为平行四边形,∴，∵平面，不在平面内,∴平面．（）连接,∵,，，∴平行四边形为菱形，∴，∵四边形为正方形，∴,又∵平面平面且平面平面，∴平面，∴，又∵点,∴平面．（）不存在,以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，，∵,，,,，，设平面一个法向量，，,∴，设,，∵平面，∴，但即与不会平行,∴不存在点使平面．20．（分）四边形的顶点，，，，为坐标原点．（）此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程,若没有，请说明理由．(）记的外接圆为,过上的点作圆的切线，设与轴、轴的正半轴分别交于点、,求面积的最小值．【答案】