【数学课件】第1课时用空间向量研究距离问题 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第一课时(用空间向量研究距离问题)一、探究新知

我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢?

下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离.二、向量法求点线距

已知直线l的单位方向向量为

,A是直线l上的定点，P是直线l外一点，如何利用这些条件求点P到直线l的距离?

设

，则向量

在直线l上的投影向量

.在Rt△APQ中，由勾股定理，得

类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离?三、向量法求点面距

类比点到平面的距离的求法，如何求(1)平面的平行直线到这个平面的距离？(2)两个平行平面之间的距离?

如图，已知平面α的法向量为

,A是平面α内的定点，P是平面α外一点.

过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则

是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是

在直线l上的投影向量

的长度，因此

四、典型例题例1如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中

点，F为线段AB的中点.

(1)求点B到直线AC1的距离；

(2)求直线FC到平面AEC1的距离.四、典型例题例2如图，在直三校柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，

点E在棱BB1上，EB1=1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，

EF与B1D相交于点H.

(1)求证：B1D⊥平面ABD;

(2)求证：平面EGF//平面ABD;

(3)求平面EGF与平面ABD的距离.五、课堂小结1.向量法求点到直线的距离2.向量法求点到平面的距离3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉

及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它

们之间的距离和夹角等问题；(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.六、巩固提升课堂练习:

第3

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