四川省成都市栖贤中学高三数学文模拟试卷含解析

四川省成都市栖贤中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是参考答案：C函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下做出函数的图象，由图象可知函数只有一个零点0，所以选C.2.函数是A.最小正周期为的奇函数

B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数参考答案：A，周期为的奇函数，选A.3.为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新3县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点，已知三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，若用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则容城应抽取的数据个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2参考答案：C【考点】B3：分层抽样方法．【分析】利用三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，求出y，z，根据分层抽样的定义建立比例关系即可．【解答】解：∵三县内观测点的个数分别为6，y，z，依次构成等差数列，且6，y，z+6成等比数列，∴，∴y=12，z=18，若用分层抽样抽取12个城市，则乙组中应该抽取的城市数为=4，故选C．4.设命题的解集是实数集则是的(

)必要不充分条件

充分不必要条件充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：A略5.若函数满足且时，，函数，则函数在区间[-5,5]内的零点的个数为(

)

(A)5

（B）7

(C)8

(D)10参考答案：C6.已知多面体ABCDFE的每个顶点都是球的表面上，四边形ABCD为正方形，，且在平面ABCD内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知2a=3b=m，且a，ab，b成等差数列，a，b为正数，则m=（）A． B． C． D．6参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知得a=log2m，b=log3m，2ab=a+b，从而可得logm2+logm3=logm6=2，从而解得．【解答】解：由2a=3b=m，得a=log2m，b=log3m，又a，ab，b成等差数列，则a+b=2ab，即，∴logm2+logm3=logm6=2，解得m=．故选：C．【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用，是基础题．8.已知集合，,，且，则整数对的个数为(

)A.20

B.25

C.30

D.42参考答案：C略9.已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则=

(

)

A．15 B．22 C．45 D．50参考答案：C略10.已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，且，则的最小值为________参考答案：1612.若的值为

．参考答案：213.在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于__________．参考答案：【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【详解】∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，∴x，r＝1，∴cosα，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1．故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．14.已知函数f（x）=+alnx，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】方法一：由题意可知：当x＞0时，f′（x）＞2恒成立，则a＞2x﹣2x2，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导，由题意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，则a＞h（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：方法一：对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则当x＞0时，f′（x）＞2恒成立f′（x）=x+＞2，在（0，+∞）上恒成立，则a＞2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为g（x）max=1，∴a＞1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．方法二：设g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导g′（x）=f′（x）﹣2，由＞2，则g′（x）=f′（x）﹣2＞0，则f′（x）＞2，即f′（x）=x+≥2，在（0，+∞）上恒成立，则a≥2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为h（x）max=1，∴a≥1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．15.设光线从点A（-2，2）出发，经过x轴反射后经过点B(0，1)，则光线与x轴的交点坐标为___________.参考答案：16.设向量，，满足，则

．参考答案：由题得=（3,2m）,=(-1,4m),由题得-3+，所以m=.故填.

17.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是

．参考答案：7画出函数图象草图，共7个交点．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球(无放回，且每球取到的机会均等)，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．参考答案：(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．…………1分

；

．………………8分故，所求X的分布列为X3456P…………10分(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝．……………12分略19.（本题满分12分）在数列中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：参考答案：（Ⅰ）由条件得由此可得．猜测． 4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立． 7分（Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知．故综上，原不等式成立． 12分20.如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2，将沿折起，使面面，连接，是棱上的中点．（1）求证：（2）若求三棱锥的体积

参考答案：21.（本小题满分12分）ks5u已知正方形的边长为2,分别是边的中点.(1)在正方形内部随机取一点,求满足的概率；(2)从这八个点中,随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望.参考答案：解:(1)这是一个几何概型.所有点构成的平面区域是正方形的内部,其面积是

满足的点构成的平面区域是以为圆心,为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分,它可以看作是由一个以为圆心、为半径、ks5u圆心角为的扇形的内部(即四分之一个圆)与两个直角边为1的等腰直角三角形(△和△)内部构成其面积是

所以满足的概率为

ks5u(2)从这八个点中,任意选取两个点,共可构成条不同的线段.其中长度为1的线段有8条,长度为的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为的线段有8条,长度为的线段有2条.所以所有可能的取值为

且,

,

,,

所以随机变量的分布列为:1

随机变量的数学期望为22.（14分）设函数，其中a∈R．（Ⅰ）a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性；（Ⅲ）当时，证明对?x∈（0，2），都有f（x）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（Ⅱ）求出导数，求得极值点1，2a﹣1，讨论①当2a﹣1≤0，②当0＜2a﹣1＜1，③当2a﹣1=1，④当2a﹣1＞1，求得单调区间，即可得到结论；（Ⅲ）讨论①当时，②当a=1时，③当a＞1时，运用函数的单调性可得（0，2）的最大值小于0，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，，，∴f'（1）=0．又，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0得x=1或x=2a﹣1，①当2a﹣1≤0即时，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．②当0＜2a﹣1＜1即时当x∈（0，2a﹣1）时f'（x）＞0；当x∈（2a﹣1，1）时f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0．③当2a﹣1=1即a=1时．④当2a﹣1＞1即a＞1时，当x∈（0，1）时f'（x）＞0；当x∈（1，2a﹣1）时f'（x）＜0；当x∈（2a﹣1，+∞）时f'（x）＞0．综上所述：当时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；当时，f（x）的增区间为（0，2a﹣1）和（1，+∞）；减区间为（2a﹣1，1）；当a=1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞1时，f（x）的增区间为（0，1）和（2a﹣1，+∞），减区间为（1，2a﹣1）．（Ⅲ）证明：①当时，由（Ⅱ）知：f（x）在（0，2a﹣1）上单调递增，在（2a﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以f（x）≤max{f（2a﹣1），f（2）}．f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0．f（2a﹣1）==，记，，，又∵，∴g'（a）＞0．∴g（a）在上单调递增．∴当时，即成立．又∵，∴2a﹣1＞0．所以f（2a﹣1）＜0．∴当时，x∈（0，2）时f（x）＜0．②当a=1时，f（x）在（0，2）上单调递增，∴f（x）＜f（2）=ln2﹣2＜0．