万有引力导学案

《万有引力》导学案【考纲规定】主题内

容规定阐明万有引力定律万有引力定律及其应用围绕速度第二宇宙速度和第三宇宙速度经典时空观和相对论时空观ⅡⅡⅠⅠ

经典时空观和相对论时空观只是理解【考点解读】从近几年高考考纲来看，万有引力应用、人造卫星仍然为命题热点.处理此类问题，重要考察天体的形成和天体的运动；人造地球卫星的发射、运行、变轨、对接和回收；地球的自转；三种卫星的比较；在外星球表面进行的多种试验活动及力学规律的综合应用.题型既有选择题，又有计算题，考察基本概念和基本规律多以选择题出现，重要考察万有引力应用和卫星问题.即：（1）分析确定行星或卫星运动的圆心和轨道半径：绕恒星运行的行星及行星的卫星的运动均可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。（2）地球（或外星球）表面附近的重力等于地球对物体的万有引力，即eq\f(GMm,R2)＝mg；（3）．在卫星变轨问题中应用动能定理、动量守恒定律和能量守恒定律.【本章知识体系】开普勒三定律万有引力定律万有引力万有引力三种宇宙速度人造卫星多种人造卫星卫星变轨问题随地球自转重力与万有引力的关系不考虑自转万有引力的基本概念【开普勒三大定律】1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的爱好，并有杰出的数学才华，开普勒在其导师弟谷持续对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基础上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是，太阳则处在这些椭圆轨道的一种上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都．即【例题1】（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方成正比，即，是一种对所有行星都相似的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的体现式.已知引力常量为，太阳的质量为.（2）开普勒定律不仅合用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立.经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s，试计算地球的质.（G=6.67×10-11Nm2/kg2，成果保留1【万有引力定律】(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的成正比，跟它们的成反比，引力方向沿两个物体的方向。公式：（1687年）叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的互相作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许运用扭秤装置测出。万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤试验原理是力矩平衡。试验中的措施有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m，有（式中RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到。(2)定律的合用条件：严格地说公式只合用于的互相作用，当两个物体间的距离远远不小于物体自身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r是两球心间的距离．当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再合用，不能依公式算出F近为无穷大。注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时互相作用的万有引力．【例题2】对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的体现式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列说法中对的的是()A．公式中的G是引力常量，它不是由试验得出的，而是人为规定的B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C．m1和m2所受引力大小总是相等的D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力【例题3】牛顿以天体之间普遍存在着引力为根据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律.在创立万有引力定律的过程中，牛顿（）A．接受了胡克等科学家有关“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜测B．根据地球上一切物体都以相似加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即的结论C．根据和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出D．根据大量试验数据得出了比例系数G的大小【万有引力和重力】OO′NOO′Nωmmg甲NωoF引丙NF引oω乙在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有F＝F向＋m2NωoF引丙NF引oω乙物体在两极时，其受力状况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和支持力N是一对平衡力，此时物体的重力mg＝N＝F引。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，因此大量的近似计算中忽视了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即≈mg2．重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，Geq\f(Mm,R2)＝mg，g＝eq\f(GM,R2).(R为星球半径，M为星球质量)(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg′，g′＝eq\f(GM,R＋h2)伴随高度的增长，重力加速度逐渐减小．【例4】)英国《新科学家(NewScientist)》杂志评比出了世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A．108m/s2B．10C．1012m/s2D．10【例5】假设地球是二分之一径为R.质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A．1－EQ\F(d,R) B．1+EQ\F(d,R) C． D．第二节万有引力的应用【天体质量和密度的估算】1．处理天体圆周运动问题的一般思绪运用万有引力定律处理天体运动的一般环节(1)两条线索①万有引力提供向心力F＝Fn.②重力近似等于万有引力提供向心力．(2)两组公式①Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r②mgr＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r(gr为轨道所在处重力加速度)2．天体质量和密度的计算(1)运用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通过观测卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算．①由万有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天体的卫星在天体表面附近围绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可见，只要测出卫星围绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．【例6】已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的措施：同步卫星绕地心做圆周运动，由Geq\f(Mm,h2)＝m(eq\f(2π,T2))2h得M＝eq\f(4π2h3,GT\o\al(2,2)).(1)请判断上面的成果与否对的，并阐明理由．如不对的，请给出对的的解法和成果．(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的措施并解得成果．【例7】已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的二分之一，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为()☆A．6小时B.12小时C.24小时D.36小时【例8】一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上.已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为()A. B. C. D.【对人造卫星的认识及变轨问题】1．人造卫星的动力学特性万有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝m(eq\f(2π,T))2r2．人造卫星的运动学特性(1)线速度v：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，伴随轨道半径的增大，卫星的线速度减小．(2)角速度ω：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，伴随轨道半径的增大，卫星的角速度减小．(3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，伴随轨道半径的增大，卫星的运行周期增大．3．卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么状况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．满足的公式：Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r).(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度忽然变化时(启动或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．①当v增大时，所需向心力eq\f(mv2,r)增大，即万有引力局限性以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离本来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增长．②当卫星的速度忽然减小时，向心力eq\f(mv2,r)减小，即万有引力不小于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离本来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是运用了这一原理)．图3【例9】11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目的飞行器成功实行了初次交会对接。任务完毕后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完毕后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为、。则等于A.B.C.D.【例10】人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为本来的EQ\F(EQ\R(2),4)倍后，运动半径为_________，线速度大小为_________。【例11】5月，航天飞机在完毕对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图3所示．有关航天飞机的运动，下列说法中不对的的有()A．在轨道Ⅱ上通过A的速度不不小于通过B的速度B．在轨道Ⅱ上通过A的动能不不小于在轨道Ⅰ上通过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期不不小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上通过A的加速度不不小于在轨道Ⅰ上通过A的加速度【例12】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。假如不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐减少，在这种状况下飞船的动能、重力势能和机械能变化状况将会是A．动能、重力势能和机械能都逐渐减小B．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C．重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小【围绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星】1．围绕速度与发射速度的比较近地卫星的围绕速度v＝eq\r(G\f(M,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s，一般称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大围绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．不一样高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v＝eq\r(G\f(M,r))，其大小随半径的增大而减小．不过，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大．2．地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空．(2)地球同步卫星与地球自转具有相似的角速度和周期．(3)地球同步卫星相对地面静止．(4)同步卫星的高度是一定的．【例13】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的eq\f(1,81)，月球的半径约为地球半径的eq\f(1,4)，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为()A．0.4km/sB．1.8km/sC．11km/sD．【例14】甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道.如下判断对的的是（）A.甲的周期不小于乙的周期B.乙的速度不小于第一宇宙速度C.甲的加速度不不小于乙的加速度D.甲在运行时能通过北极的正上方【例15】同步卫星传送.假如你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接受到信号所需最短时间最靠近于（也许用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105m/s，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3x108mA.0.1sB.0.25sC.0.5sD.1s【例15】设同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值对的的是（）A．=B．=C．=D．=第三节万有引力综合应用【双星问题】宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽视不计。在这种状况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种构造叫做双星。⑴由于双星和该固定点总保持三点共线，因此在相似时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相似。⑵由于每颗星的向心力都是由双星间互相作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mω2r可得，于是有mm1m2r1r2Oω⑶列式时须注意：万有引力定律体现式中的r表达双星间的距离，按题意应当是L，而向心力体现式中的r表达它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆【例16】月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一种由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A．1∶6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1【例17】如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点一直共线，A和B分别在O的两侧.引力常数为G.(1)求两星球做圆周运动的周期.(2)在地月系统中，若忽视其他星球的影响，可以将月球和地球当作上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比【万有引力定律与抛体运动的结合】【例18】在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽视不计(万有引力常量G未知)．则根据这些条件，可以求出的物理量是()A.该行星的密度B.该行星的自转周期C.该星球的第一宇宙速度D.该行星附近运行的卫星的最小周期【卫星的追击问题】【例19】【例20】A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相似，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为，恒星对行星的引力远不小于得星间的引力，两行星的轨道半径r1＜r2。若在某一时刻两行星相距近来，试求：（1）再通过多少时间两行星距离又近来？（2）再通过多少时间两行星距离最远？【随堂练习】1．9月25日至28日，我国成功实行了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员初次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断对的的是()A．飞船变轨前后的机械能相等B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处在失重状态C．飞船在此圆轨道上运动的角速度不不小于同步卫星运动的角速度D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度不小于变轨后沿圆轨道运动的加速度2．某同学通过Internet查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知()A．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小B．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小C．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低D．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小3．“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T，则月球的平均密度ρ的体现式为(k为某个常数)()A．ρ＝eq\f(k,T)B．ρ＝kTC．ρ＝eq\f(k,T2)D．ρ＝kT24．如图4所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，抵达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，抵达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则()A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为eq\r(g0R)B．飞船在A点处点火时，动能增长C．飞船在