人教版八年级数学下册 （勾股定理）教育教学课件(第2课时)

勾股定理第2课时八年级下册

会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题010203灵活运用勾股定理进行计算会运用勾股定理解决相应的折叠问题学习目标重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.学习重难点1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c

，∠C＝90°，则a、b、c

三者之间的关系是

；2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是

；3.

叫做无理数.a2+b2=c2无限不循环小数

知识回顾在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C

′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′

′′思考证明:∵△ABC和

△A′B′C′是直角三角形,∴AC²=AB²-BC²,∴A′C′²=A′B′²-B′C′².∵AB=A′B′,

BC=B′C′,∴AC²=A′C′²,∴AC=A′C′.在△ABC和△

A′B′C′中,∵∠C=∠C′,

AC=A′C′,

BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′.

ABCABC′

′′证明

探究ACBl

注意

变式利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.归纳

例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.

例题BC

lC举一反三

例2在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．

例题如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.D举一反三1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25A

2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间B课堂练习

15课堂练习

5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．课堂练习问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）求△ABC的面积；拓展应用（2）若△ABC三边的长分别为(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．解：如图,∴△ABC即为所求，ABC拓展应用利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常与网格求线段长或面积结合起来通常用到方程思想总结再见第十七章

勾股定理17.1勾股定理

学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想。（重点也是难点）

2.会用勾股定理进行简单的计算。（重点）即四个词：了解、认识、证明和计算。勾股定理的历史勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系（即直角三角形三边关系），古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。勾股定理也有很多别称，也叫毕达哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驴桥定理和埃及三角形等。

勾股定理被誉为“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。在我们今后的几何计算题和推理题中都有着广泛的应用。迄今为止，勾股定理大约有500多种证明方法，是证明方法最多的定理之一。探究新知勾股定理的认识及验证

相传2500多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，看到朋友家用砖铺成的地面图案，发现了直角三角形三边的某种关系（如图）：ABC问题1

试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？

问题2

图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？ABC一直角边2+另一直角边2=斜边2等腰直角三角形三边的关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。问题3

网格中为一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？探究新知方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：根据前面求出的C的面积直接填出下表：

A的面积B的面积C的面积左图右图491316925也就是说，由这三个正方形围成的直角三角形的三边也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。一直角边2+另一直角边2=斜边2由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想：命题1

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）abc下面动图形象的说明命题1的正确性我们的猜想该如何证明呢？abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.=abc∵S大正方形＝c2，又∵S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形赵爽弦图b-a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.妙解归纳：两种方法计算一个图形的面积，得到一个等量关系，从而解决问题.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，证法2

毕达哥拉斯证法如图，图中的四个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.公式变形：abc归纳总结勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.ABC

现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.勾股勾2+股2=弦2小贴士

为什么叫勾股定理这个名称呢？

国外又叫毕达哥拉斯定理

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°(2)在Rt△ABC中，∠C=90°CAB新知应用abc注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长2.规范书写格式（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设a=x,b=2x,由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳新知应用CABabc【变式2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图

当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²当堂练习3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=

.

（2）若c=13，b=12，则a=

.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.17574或24当堂练习5.图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x