北京市海淀区高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市海淀区2016-2017学年高二(下)期中数学试卷（理科)（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为(

）A、i

B、1

C、

D、﹣2、xdx=（

）A、0

B、

C、1

D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（

）A、﹣2

B、2

C、﹣2i

D、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+,c+这三个数中不小于2的数(

）A、可以不存在

B、至少有1个

C、至少有2个

D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x)和g(x),其各自导函数f′（x)f和g′（x）的图象如图所示,则函数F（x)=f（x)﹣g(x）极值点的情况是(

）A、只有三个极大值点，无极小值点

B、有两个极大值点,一个极小值点

C、有一个极大值点，两个极小值点

D、无极大值点,只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（

)A、1

B、﹣

C、

D、或﹣7、函数y=ex（2x﹣1）的大致图象是（

）A、

B、

C、

D、8、为弘扬中国传统文化,某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级,加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社"，还满足如下条件：

①甲同学没有加入“楹联社";

②乙同学没有加入“汉服社”；

③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级;

④加入“汉服社"的那名同学在高一年级；

⑤乙同学不在高三年级．

试问：丙同学所在的社团是（

）A、楹联社

B、书法社

C、汉服社

D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内,复数对应的点的坐标为________．10、设函数f（x),g(x）在区间(0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1,f(1)）处的切线方程是________；函数f（g（x）)在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x)=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0,0)，(4，8）,（8，0),（12，8）四个点，试用“＞，=，＜"填空:(1）________；(2）f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1)，=（x2，y2）,那么•=x1x2+y1y2；空间向量=(x1，y1，z1），=(x2，y2．z2）,那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1,a2,…，an），=(b1，b2，…，bn）,那么•=________．14、函数f（x）=ex﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）

①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；

②对∀a＜0,函数f（x)的导函数f′（x）无零点;

③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；

则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号)三、解答题:15、已知函数f（x)=x3﹣3x2﹣9x+2

(Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;

（Ⅱ）求函数f(x）在区间［﹣2，2]上的最小值．16、已知数列｛an}满足a1=1，an+1+an=﹣，n∈N＊．

（Ⅰ）求a2,a3,a4；

（Ⅱ）猜想数列{an｝的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f(x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．

（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f(x）没有极值点；

(Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f(x)=et（x﹣1）﹣tlnx,(t＞0)

（Ⅰ）若t=1,证明x=1是函数f（x）的极小值点；

（Ⅱ）求证：f(x）≥0．

答案解析部分一、<b>选择题：〈/b〉1、【答案】D

【考点】复数的基本概念

【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．

【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B

【考点】定积分

【解析】【解答】解：xdx=x2｜=，故选：B

【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．

∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i)=﹣2．

故选：A

【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B

【考点】反证法与放缩法

【解析】【解答】解：假设a+，b+，c+这三个数都小于2,∴a++b++c+＜6

∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，

这与假设矛盾，

故至少有一个不小于2

故选:B

【分析】根据基本不等式，利用反证法思想,可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C

【考点】利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】解：F′(x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x)和g′(x）有3个交点,

从左到右分分别令为a，b，c，

故x∈（﹣∞，a）时,F′（x)＜0，F（x)递减，

x∈(a，b）时，F′（x）＞0,F(x）递增，

x∈(b，c）时，F′（x)＜0,F（x）递减，

x∈（c，+∞)时,F′（x)＞0,F（x）递增，

故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，

故选：C．

【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：由题意，f′(x）=，g′（x)=2ax,∵函数f（x）=lnx与函数g(x)=ax2﹣a的图象在点（1,0）的切线相同，

∴1=2a,∴a=，

故选C．

【分析】求导数，利用函数f（x)=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A

【考点】函数的图象

【解析】【解答】解：y′=ex（2x﹣1）+2ex=ex(2x+1），令y′=0得x=﹣,

∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0,

∴y=ex（2x﹣1)在（﹣∞，﹣）上单调递减,在（﹣，+∞）上单调递增,

当x=0时，y=e0（0﹣1)=﹣1，∴函数图象与y轴交于点(0，﹣1）；

令y=ex（2x﹣1)=0得x=，∴f(x）只有1个零点x=，

当x时,y=ex(2x﹣1)＜0,当x时，y=ex（2x﹣1）＞0，

综上，函数图象为A．

故选A．

【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A

【考点】进行简单的合情推理

【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社"，与②矛盾，所以乙在高二，根据③,可得乙加入“书法社",

根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社,

故选A．

【分析】确定乙在高二,加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社"，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、〈b>填空题：</b>9、【答案】（﹣1，﹣1)

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】解:复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标(﹣1，﹣1)．故答案为:（﹣1,﹣1）．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12

【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：f′（1)=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1）)处的切线方程是y=3x﹣1,［f(g（x））]′=f′(g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2))g′(2）=3×4=12，

故答案为y=3x﹣1；12

【分析】求出f′(1）=3，f（1)=2，即可求出曲线f(x）在点（1，f(1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g(x))在x=2处的导数值，11、【答案】π+2

【考点】定积分在求面积中的应用

【解析】【解答】解:由图象可得S=（1+sinx)dx=（x﹣cosx）｜=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为:π+2

【分析】由图象可得S=（1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞

(2）＜

【考点】函数的图象

【解析】【解答】解:（1.）由函数图象可知=，==2，∴．

（2.）∵f（x)在(4,8)上是减函数，在（8，12)上是增函数，

∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，

∴f′（6）＜f′（10）．

故答案为(1）＞，（2）＜．

【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解:由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．

【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③

【考点】命题的真假判断与应用

【解析】【解答】解:对于①，函数f（x）=ex﹣alnx的导数为f′（x）=ex﹣，

设切点为(m，f(m）），则e=em﹣，em=em﹣alnm，

可取m=1，a=0，则∃a∈R,使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；

对于②，∀a＜0，函数f（x)的导函数f′（x）=ex﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0,

则导函数无零点,故②正确；

对于③，对∀a＜0，函数f(x）=ex﹣alnx，

由f（x）=0，可得ex=alnx，

分别画出y=ex和y=alnx,（a＜0）的图象，可得它们存在交点,

故f（x）总存在零点,故③正确．

故答案为：①②③．

【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m））,可得切线的斜率,由已知切线的方程可得a,m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0,即可判断②；由f（x)=0，可得ex=alnx，分别画出y=ex和y=alnx,（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、〈b>解答题：〈/b>15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x)=0，得x=﹣1或x=3，

当x变化时，f′（x)，f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞﹣1）﹣1（﹣1，3)3（3，+∞）f′（x)+0﹣0+f(x)↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3,+∞）；单调递减区间是（﹣1,3);

（Ⅱ)因为f（﹣2)=0,f（2)=﹣20,

再结合f（x）的单调性可知，

函数f（x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣20

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ)根据函数的单调性求出f(x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解:（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=,a3+a2=﹣1,a4+a3=2﹣解得:a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣

（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N＊，an=﹣，

当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．

假设当n=k(k∈N＊)时，猜想成立，即

ak=﹣

则由ak+1+ak=﹣，得ak+1=﹣，

即当n=k+1时，猜想成立，

由①、②可知，对任意的n∈N＊，猜想成立，

即数列｛an｝的通项公式为an=﹣

【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法

【解析】【分析】（Ⅰ)由数列｛an}的递推公式依次求出a2，a3，a4；(Ⅱ)根据a2，a3,a4值的结构特点猜想{an｝的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x)的定义域是(0，+∞）．当a=1时，f(x）=x﹣2lnx﹣，

函数f′（x）=≥0，

所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增,

所以当a=1时,函数y=f（x）没有极值点；

(Ⅱ)f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）

令f′(x）=0,得x1=1，x2=a，

①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，

所以函数f(x）的增区间是(1，+∞）；

②当0＜a＜1时，由f′(x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，

所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞)；

③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，

所以函数f（x)的增区间是(0,1),（a，+∞）；

④当a=1时，

由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时,函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；

当0＜a＜1时,所以函数f（x）的增区间是（0,a）,（1,+∞)；

当a=1时，函数f（x）在定义域（