微分中值定理与导数的应用习题课课件

第三章微分中值定理与

导数的应用习题课(三)导数的应用

第三章微分中值定理与

导数的应用习题课(三)导数的应用1一、函数的极值与单调性

1．函数极值的定义2．函数的驻点3．函数的单调区间的判别

则为的驻点。

在上，若，则单调增加；

若，则单调减少；

为极大值.)(),()(),,(000。xfxfxfxUx£Îd一、函数的极值与单调性1．函数极值的定义2．函数的驻点3．21．函数凹凸性定义2．函数的拐点称曲线为凹的；

称曲线为凸的。

3．函数凹凸性的判别二、函数的凹凸性及拐点凹弧与凸弧的分界点。

凹；凸。

1．函数凹凸性定义2．函数的拐点称曲线为凹的；称曲线为凸的31．第一充分条件三、函数极值的充分条件则在处取得极大值；则在处取得极小值；（3）若

时，的符号保持不变，则在处没有极值；（1）若

时，而

时，（2）若

时，而

时，1．第一充分条件三、函数极值的充分条件则42．第二充分条件（2）当时，函数在处取得极小值；（1）当时，函数在处取得极大值；设函数在处具有二阶导数且，，那么

设函数在其定义区间上连续，且除有限个

导数不存在的点外，导函数连续，且，，

，在处导数不存在。且

2．第二充分条件（2）当时，5

不存在不存在极小拐点极大拐点分别研究函数在各个部分区间上单调性、凸凹性、极值及拐点。，则可用将划分，五、求函数极值的解题方法不存在不存在极小拐点极大拐点分别研究函数在各个部分区间上单6求的极值为极大值求定义域为驻点变号由正到负求Yes第一充分条件第二充分条件Yes在内求的驻点及不可导点为极小值为极值为极值在变号为极小值为极大值非极值YesNoNoNoNoNo解题方法流程图

求的极值为极大值求定义域7六、典型例题

解:【例1】确定函数的单调区间。

因为，故知的不可导点仅有,令

，得，。从而有当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调增加；

当时，，故在内单调减少；

六、典型例题解:【例1】确定函数8【例2】设可微函数由方程所确定，

试确定此函数的单调区间。解:在方程两边对求导，得，即。令，得，。从而有当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调减少；

当时，，故在内单调减少；

【例2】设可微函数由方程9【例3】当时,

证明：设故

在上单调增加，而

因此

即因为【例3】当时,证明：设故10【例4】证明：当时，有不等式.证明：设,则；从而在内单调增加，即有

因此在内单调增加，于是有

即

亦即

【例4】证明：当时，有不等式11【例5】试确定函数中的，使得

为函数的驻点，点为函数的拐点，并求出拐点.解：，。由于点为拐点，必有,即，。又点

为驻点，必有，即，

从而函数为，注意到

当时，，图形是凸的；

当时，，图形是凹的；

而。故曲线

的拐点为。【例5】试确定函数12【例6】求函数

的极值.解：（1）函数的定义域为

（2）

（3）令得驻点；（4）利用第一充分条件。当

时，；当时，.同理在

处取得极大值,极大值为.本题的第四步也可用第二充分条件来判别：因而,函数在处取得极小值，极小值为

.【例6】求函数13（4’）利用第二充分条件。所以，

在处取得极小值,极小值为;【例7】求函数

的极值.解：函数的定义域

为令

,得驻点,且在内只有一个驻点,而无不可导点.在处取得极大值，且极大值为

.（4’）利用第二充分条件。所以，在14从而，函数在

处取得极小值，极小值为0.【例8】求函数

的极值.解：（1）函数的定义域

为;（2）当时,

;当时,不存在.（3）函数在内无驻点,只有一个不可导点;（4）由于在内,,函数单调增加;在内,,函数单调减少;极大值为.又函数在处连续,于是函数在

处取得极大值,从而，函数在处取得极小值，极小值为0.【例815【例9】求函数在区间上的最大值与最小值。解:令

得驻点将这些点处的函数值与区间端点处的函数值

进行比较得：最大值为最小值为【例9】求函数16【例10】要造一圆柱形油罐，体积为,问底半径

和高等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：由题设可知,其中为常量;表面积令得唯一驻点表面积最小，这时底直径与高的比为1:1.由实际问题的意义和唯一性可知，当和【例10】要造一圆柱形油罐，体积为,问底半径和17解：无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:得驻点令得特殊点令补充点:

【例11】作函数的图形.解：无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值18极大值拐点极小值极大值拐点极小值19【例12】求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径。则在

处的曲率为解：因为

,所以顶点为.曲率半径为

【例13】对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。解：由题设可得：【例12】求抛物线