北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》课件

第五章

函数应用[数学文化]——了解数学文化的发展与应用华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”数学来源于生活，又服务于生活.在人类用智慧架的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.我国古代数学家和国外的数学家对方程的求解都有很多的研究.第五章函数应用[数学文化]——了解数学文化的发展与应用1[读图探新]——发现现象背后的知识方程解法时间图·中国[读图探新]——发现现象背后的知识2方程解法时间图·西方方程解法时间图·西方3判定方程的解判定方程的解4§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性§1方程解的存在性及方程的近似解5课标要求素养要求1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在定理、会判断函数零点的个数.通过本节内容的学习，使学生体会函数的零点，方程的根，图象与x轴交点的横坐标之间的转化在研究函数中的应用，提高学生数学抽象，直观想象的素养.课标要求素养要求1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与6新知探究路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？新知探究路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面7将这个实际问题抽象成数学模型.问题1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？将这个实际问题抽象成数学模型.82.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.提示1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反.2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0.3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件91.零点是一个数，而不是一个点使得f(x0)＝0的数______称为方程f(x)＝0的解，

也称为函数f(x)的______.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的________.函数的零点x0零点横坐标1.零点是一个数，而不是一个点使得f(x0)＝0的数____102.零点存在定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即____________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.f(a)·f(b)<02.零点存在定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象11拓展深化[微判断]判断下列说法的正误.1.函数的零点是一个点的坐标.(

)2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

)3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

)

提示1.是横坐标.2.当f(a)·f(b)>0时，函数也可能有零点.××√拓展深化××√12[微训练]1.函数f(x)＝log2(x－1)的零点是(

) A.(1，0) B.(2，0) C.1 D.2

答案D2.函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(

) A.(0，1) B.(－1，0) C.(2，3) D.(1，2)

答案D[微训练]133.函数f(x)＝lg

x＋x－3的零点有________个.

答案13.函数f(x)＝lgx＋x－3的零点有________个14[微思考]

函数y＝f(x)在[a，b]上是连续不间断的图象，当f(a)·f(b)<0时，函数零点个数是否唯一？

提示不一定唯一，零点存在定理只是说明有零点，但零点不一定唯一.[微思考]15北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》课件16解得x＝－1，故选B.(2)令f(x)＝21－x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.答案

(1)B

(2)－2

(3)3解得x＝－1，故选B.17规律方法探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.规律方法探究函数零点的两种求法18【训练1】求下列函数的零点：解(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln

x＝0，解得x＝e2.【训练1】求下列函数的零点：解(1)当x≤0时，令x2＋19(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0，即3m＋n＋4＝0，①f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0，即6m＋n＋10＝0，②由①②可解得m＝－2，n＝2.(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，20代入函数y＝logn(mx＋1).故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1).令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0.∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.代入函数y＝logn(mx＋1).21题型二确定函数零点的个数【例2】判断下列函数零点的个数：题型二确定函数零点的个数22(2)法一

函数对应的方程为ln

x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln

x与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln

x的图象只有一个交点.从而方程ln

x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln

x＋x2－3有一个零点.(2)法一函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函23法二

由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln

x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.法二由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，24规律方法判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根对应函数就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法25答案

C答案C26题型三判断函数零点所在的区间【例3】

(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(

)A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞)x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6题型三判断函数零点所在的区间不求a，b，c的值，判断方程a27答案

(1)A

(2)C解析

(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理，方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.答案(1)A(2)C解析(1)易知f(x)＝ax2＋b28规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法29【训练3】

(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(

) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) (2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝(

) A.－2 B.1 C.－2或1 D.0解析(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0，1)内有零点.【训练3】(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个30答案(1)C

(2)C答案(1)C(2)C31题型四二次函数的零点问题【例4】关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a＝1，求a为何值时： (1)方程有一个正根和一个负根； (2)方程的两个根都大于1.解令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1.(1)当方程有一个正根和一个负根时，f(x)对应的草图可能如图①，②所示.题型四二次函数的零点问题解令f(x)＝ax2－2(a＋132所以当0<a<1时，方程有一个正根和一个负根.(2)当方程的两个根都大于1时，f(x)对应的草图可能如图③，④所示.所以当0<a<1时，方程有一个正根和一个负根.33因此f(x)＝0的两个根都大于1等价于所以不存在实数a，使方程的两个根都大于1.因此f(x)＝0的两个根都大于1等价于所以不存在实数a，使方34规律方法此类题可利用数形结合求解，由判别式、根与系数的关系列不等式组求解.规律方法此类题可利用数形结合求解，由判别式、根与系数的关系35【训练4】已知方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时： (1)方程有唯一实数根； (2)方程的一个根大于1，一个根小于1.【训练4】已知方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a36所以当a>0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.(2)令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1.因为方程的一个根大于1，一个根小于1.f(x)的草图可能如图①，②所示.所以当a>0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.(2)令f37一、素养落地1.通过本节内容的学习，培养学生直观想象素养，提升学生数学抽象素养.2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.两类基本初等函数的和、差、积、商，要学会将其拆分来研究，这体现了简化函数式的原则.5.函数与方程有着密切的联系，处理问题时注意它们可以相互转化.一、素养落地38二、素养训练1.函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有(

) A.0个

B.1个 C.2个

D.不能确定

解析

由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点.

答案

C二、素养训练392.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是(

)解析

由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.答案

B2.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()解析由f(40答案

B答案B414.若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________.4.若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的42北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》课件43北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》课件44满分示范解(1)关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y2＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0).……………4分(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.∴m的取值范围是(3，＋∞).……………8分满分示范(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.45北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》课件46满分心得函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.满分心得471.2利用二分法求方程的近似解1.2利用二分法求方程的近似解48课标要求素养要求1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理素养.课标要求素养要求1.探索用二分法求方程近似解的思路.通过本节49新知探究在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10km长的线路大约有200多根电线杆.可是维修线路的工人师傅至多爬7次电线杆就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？新知探究在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话50每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.问题上述背景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？提示二分法.如下图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩511.二分法对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)f(b)<0，则每次取区间的______，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.中点1.二分法对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数522.二分法求函数零点近似值的步骤2.二分法求函数零点近似值的步骤53拓展深化[微判断]判断下列说法的正误.1.所有函数的零点都可以用二分法来求.(

)2.二分法所求出的方程的解都是近似解.(

)3.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(

)

提示1.二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的不能用二分法求解.2.可以是具体的解.3.不一定在右侧，也可能在左侧.×××拓展深化×××54[微训练]1.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(

) A.(－1，0) B.(0，1) C.(2，3) D.(1，2)

答案D2.用二分法求函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为(

) A.(1，2) B.(1.75，2) C.(1.5，2) D.(1，1.5)

答案C[微训练]553.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(

)A.ε越大，零点的精确度越高B.ε越大，零点精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关答案B3.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()564.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能用二分法求解的零点是________.答案x34.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能用二分法求解的57[微思考]

已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间呢？

提示

可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间.[微思考]58(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.题型一二分法概念的理解【例1】

(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(

)(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根59解析(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).答案

(1)B

(2)(1，2)解析(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，60规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件61【训练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(

) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3

解析

图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.

答案

D【训练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以62题型二用二分法求函数的零点【例2】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).解经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：题型二用二分法求函数的零点解经计算，f(1)<0，f(163因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)<0(1.3125，1.375)1.34375f(1.34375)>0(1.3125，1.34375)1.328125f(1.328125)>0(1.3125，1.328125)1.3203125f(1.3203125)<0因为|1.328125－1.3203125|＝0.0064规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则65【训练2】证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).解∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5).取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).【训练2】证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)66取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).取x4＝1.1875，f(1.1875)＝－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875，1.25).∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0＝1.25.取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(167题型三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，由于f(x)的单调，该零点唯一，即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解.取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.题型三用二分法求方程的近似解解令f(x)＝2x3＋3x－68由于|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，如69【迁移】(变结论)用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3在(0，1)上的一个零点，至少要经过多少次等分后精确度达到0.1.解至少需要n次等分，∴n≥4，至少需要4次等分.【迁移】(变结论)用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－370规律方法用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.规律方法用二分法求方程的近似解的思路和方法71【训练3】求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1).解设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以可以确定区间(2，3)作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，列表如下：【训练3】求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)72由上表的计算可知，|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1.从而方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4375.由上表的计算可知，73一、素养落地1.通过本节课的学习，使学生有逻辑的思考问题，培养学生逻辑推理素养及数学抽象素养.2.二分法就是通过不断地将被选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，达到精确度.3.并非所有函数都可以用二分法求零点，只有满足：①在区间[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)＜0，才可以用二分法.一、素养落地74二、素养训练1.下列函数中能用二分法求零点的是(

)二、素养训练75解析在A和D中，函数虽然有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点.在B中，函数无零点.在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点.答案

C解析在A和D中，函数虽然有零点，但它们均是不变号零点，因此762.用二分法求关于x的方程ln

x＋2x－6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是(

) A.(2，3) B.(0，2) C.(1，2) D.(0，＋∞)

解析

令函数f(x)＝ln

x＋2x－6，可判断f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵f(1)＝－4，f(2)＝ln2－2