湖南省益阳市第十五中学高一数学文测试题含解析

湖南省益阳市第十五中学高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列{an}定义为：a1=cosθ，an+an+1=nsinθ+cosθ，n≥1，则S2n+1等于（

）（A）ncosθ+n(n+1)sinθ

（B）(n+1)cosθ+n(n+1)sinθ（C）(n+1)cosθ+(n2+n–1)sinθ

（D）ncosθ+(n2+n–1)sinθ参考答案：B2.已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（

）A

B

C

D参考答案：B3.设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝()（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D=4.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为（

）A.

20

B.29

C.30

D.59参考答案：D5.设=（﹣1，2），=（1，﹣1），=（3，﹣2），且=p+q，则实数p、q的值分别为（）A．p=4，q=1B．p=1，q=﹣4C．p=0，q=1D．p=1，q=4参考答案：D【考点】平面向量的坐标运算；相等向量与相反向量．【分析】利用向量的线性坐标运算法则和向量相等即可得出．【解答】解：∵=（﹣p+q，2p﹣q），且=p+q，．∴，解得．故选D．6.在等差数列{an}中，，且，Sn为其前n项和，则使的最大正整数n为（

）A.202 B.201 C.200 D.199参考答案：D【分析】根据条件判断出等差数列中正负项的分界点，然后再结合等差数列的前项和公式和下标和的性质求解即可．【详解】由条件得，等差数列的公差，∵，且，∴，即．∴，，∴使的最大正整数为．故选D．【点睛】解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．7.函数的最小正周期是（

）A.6π B.2π C. D.参考答案：C【分析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】,，故本题选C.【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.8.已知四边形ABCD为平行四边形，A（﹣1，2），B（0，0），C（1，7），则点D的坐标是（）A．（﹣9，9） B．（﹣9，0） C．（0，9） D．（0，﹣9）参考答案：C【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】设D的坐标为（x，y），根据向量的坐标运算求出，=（1，﹣2），=（1﹣x，7﹣y），再根据=，即可求出x，y的值．【解答】解：设D的坐标为（x，y），∵A（﹣1，2），B（0，0），C（1，7），∴=（1，﹣2），=（1﹣x，7﹣y），∵四边形ABCD为平行四边形，∴=，∴1﹣x=1，7﹣y=﹣2，解得x=0，y=9，故选：C．9.已知，i是虚数单位，若，则的值为（

）A.1 B. C. D.参考答案：D【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模.【详解】故选D【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.10.如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为(

)A．n≤2？ B．n≤3？ C．n≤4？ D．n≤5？参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若sinα＞0，cosα＜0，则角α在第象限．参考答案：二【考点】三角函数值的符号．【分析】利用三角函数在各个象限的三角函数的符号，判断α的象限即可．【解答】解：sinα＞0，说明α在一、二象限，cosα＜0，说明α在二、三象限，所以α在第二象限．故答案为：二．12.用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长

米，宽

米.参考答案：25,25.13.设关于x的不等式的解集中整数的个数为，数列的前n项和为，则=

.参考答案：10100

14.当时，上面算法输出的结果是

．参考答案：略15.若则_____，_____．参考答案：

－2,16.函数的定义域是_______________.参考答案：略17.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数（，）的图象如图所示，则当秒时，电流强度是

安．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在元旦联欢会上，某校的三个节目获得一致好评．其中哑剧表演有6人，街舞表演有12人，会唱有24人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访．（1）求应从这三个节目中分别抽取的人数；（2）若安排其中的A、B、C、D4人逐一作进一步的采访，求A、B2人不被连续采访的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）先求出三个节目的人数比，由此利用分层抽样的方法能求出应从这三个节目中分别抽取的人数．（2）先求出基本事件总数，再求出A、B2人不被连续采访包含的基本事件个数，由此能求出A、B2人不被连续采访的概率．【解答】解：（1）∵三个节目的人数比为6：12：24，用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人，则哑剧表演、街舞、合唱抽取的人数分别为1，2，4．（2）安排其中的A、B、C、D4人逐一作进一步的采访，基本事件总数n==24，A、B2人不被连续采访包含的基本事件个数m==12，∴A、B2人不被连续采访的概率p===．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．19.设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．参考答案：见解析【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．【专题】探究型．【分析】（1）化简集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C=C，得到B?C，然后求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…所以A∩B={x|2≤x＜3}…（2）因为B∪C=C，所以B?C…所以a﹣1≤2，即a≤3…【点评】本题主要考查集合的基本运算以及利用集合关系求参数问题，比较基础．20.如图，在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGD中，平面ABC//平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG.且AB=AD＝DE=DG=2,AC=EF=1.

(Ⅰ）求证：四点B、C、F、G共面；

(Ⅱ）求平面ADGC与平面BCGF所组成的二面角余弦值；

(Ⅲ）求多面体ABC-DEFG的体积.

参考答案：由AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）(1）

∴，即四边形BCGF是平行四边形.故四点B、C、F、G共面.(2），设平面BCGF的法向量为，则，令，则，而平面ADGC的法向量

∴＝故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为.(3）设DG的中点为M，连接AM、FM，则＝＝＝＝.解法二

(1）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE

∴MF//AB，且MF＝AB∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，且BF＝AM又∵M为DG的中点，DG=2,AC＝1，面ABC//面DEFG∴AC//MG，且AC＝MG，即四边形ACGM是平行四边形∴GC//AM，且GC＝AM故GC//BF，且GC＝BF，即四点B、C、F、G共面4分

(2）∵四边形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，

∵MF//DE，且MF＝DE，

∴MF⊥面ADGC在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则显然∠MNF是所求二面角的平面角.∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1∴，

∴＝＝＝∴

，

∴MN＝在直角三角形MNF中，MF＝2，MN∴＝＝＝，＝故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为

(3）＝＝

＝＝.21.（本小题满分12分）数列的前项和（I）求数列通项；（II）又已知若，求的取值范围。参考答案：（I）

∴

（II）∵∴∴解得解得的取值范围：22.已知函数有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）若a=4，求f（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值；（2）若x∈[1，3]时，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，可得f（x）的最小值为f（2），最大值为f（3）；（2）讨论①若即0＜a≤1，②若即1＜a＜9，③若即a≥9，求出单调性，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）a=4时，f（x）=，则f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，fmin（x）=f（2）=4，fmax（x）=max{f（1），f（3）}=；（2）①若即0＜a≤1，则f（x）在[1，3]上单调递增，fmin（x）=f（1）=1+a．所以，1+a≥2，即a≥1，所以a=1．

②若即1＜a＜9，则f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，3]上单调递增，fmin（x）=f（）=2．