2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 　 第二章　3　导数的计算 课件（32张）

知识梳理一、函数f(x)在x=x0处的导数求解步骤(1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).(2)确定函数y=f(x)从x0到x0+Δx处的平均变化率名师点析函数y=f(x)在点x0处的导数即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.微思考导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征?提示

导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度.微练习1已知函数f(x)在x=x0处的导数为1,则

=(

)

A.1 B.-1 C.3 D.-3答案

B微练习2利用导数定义求函数f(x)=x2-2在x=5处的导数值.二、导函数一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数

f'(x)的值与Δx无关,同时又是关于x的函数

那么称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y'.微思考你会区分“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数”吗?提示

“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f'(x0)是其导函数y=f'(x)在x=x0处的一个函数值.微练习设f(x)=2x+1,则f'(x)=

.答案

2三、基本初等函数的导数公式表

微点拨目前,求解函数导数只适用基本初等函数的求导,若形式不一致,则需先化简后求导.如f(x)=sin(x+)可先化为f(x)=cosx之后再求导.微判断(1)若y=sin60°,则y'=cos60°.(

)(2)若f'(x)=sinx,则f(x)=cosx.(

)××√课堂篇探究学习探究一求函数在某一点处的导数例1(1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且

=a,则f'(x0)=

.

(2)利用导数的定义求函数y=f(x)=x3在x=1处的导数.(1)答案

a反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤①求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).变式训练1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0.探究二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数:反思感悟(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求导.(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导,变式训练2求下列函数的导数.素养形成(一)利用导数公式解决切线问题典例1(1)已知P,Q为抛物线f(x)=x2上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为

.

答案

(1,-4)解析

由抛物线方程,得f'(x)=x,∴kPA=4,kQA=-2.∵P(4,8),Q(-2,2),∴直线PA的方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.直线QA的方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.(2)已知两条曲线y1=sinx,y2=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?请说明理由.解

设存在一个公共点(x0,y0),使两曲线在该点处的切线互相垂直,则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=cos

x0,k2=-sin

x0.要使两切线垂直,必须有k1k2=cos

x0(-sin

x0)=-1,即sin

2x0=2,这是不可能的.∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.反思感悟解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用以下三个条件联立方程解决:(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上.(二)利用导数公式求最值问题典例2求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.解

依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短.设切点坐标为(x0,),∵y'=2x,反思感悟(1)利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切线方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算.(2)利用公式计算求解,体现了数学运算的核心素养.变式训练1已知直线y=kx是曲线y1=lnx的一条切线,则k=

.

变式训练2已知A,B,C三点在曲线f(x)=上,其横坐标依次为1,m,4,1<m<4,当△ABC的面积最大时,m的值为

.

解析

如图,在△ABC中,边AC是确定的,要使△ABC的面积最大,则点B到直线AC的距离应最大,可以将直线AC作平行移动,显然当直线与曲线相切时,距离达