2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 　 第一章　5　数学归纳法 课件（30张）

知识梳理数学归纳法的定义数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.名师点析数学归纳法中的两个步骤之间的关系记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真,结论:P(n)为真.第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真.只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真……,从而完成证明.微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示

不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.微判断(1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.(

)(2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(

)(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定只增加了一项.(

)×××微练习在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为

n(n-3)条时,第一步应验证n等于(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

C解析

边数最少的凸n边形是三角形,故选C.课堂篇探究学习探究一用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+),“从k到k+1”左端增乘的代数式为

.

(1)答案

2(2k+1)解析

令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N+等式都成立.反思感悟用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.所以n=k+1时,等式也成立.综上所述,对于任何n∈N+,等式都成立.探究二用数学归纳法证明不等式即当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N+都成立.反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键:由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N+时均成立.探究三用数学归纳法证明整除问题例3证明:当n∈N+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明

(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,能被64整除.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,则当n=k+1时,f(k+1)=-8(k+1)-9=9×32k+2-8k-17=9×(32k+2-8k-9)+64k+64,故f(k+1)也能被64整除.综合(1)(2),知当n∈N+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.反思感悟用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n=k+1时,代数式可被除数整除,一般利用构造法,构造出含有除数及n=k时的代数式,根据归纳假设即可证明.变式训练3用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除,假设当n=k时,34k+1+52k+1能被8整除,那么当n=k+1时,34(k+1)+1+52(k+1)+1应变形为

.

答案

81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1(或25×(34k+1+52k+1)+56×34k+1)解析

34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81×34k+1+25×52k+1=81×34k+1+81×52k+1-56×52k+1=81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1.素养形成思维流程——归纳—猜想—证明典例将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21)……分别计算各组包含的正整数的和如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.解

(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测S1+S3+…+S2n-1=n4.证明如下:记Mn=S1+S3+…+S2n-1.①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.则当n=k+1时,=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,从而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以当n=k+1时猜想也成立.由①②,可知对任意n∈N+,猜想都成立.反思感悟“归纳—猜想—证明”的一般步骤

(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.当堂检测1.用数学归纳法证明等式1+