2021-2022学年北师大版九年级数学上册试题《相似三角形的性质》习题（含答案）

4.7《相似三角形的性质》习题3

一、选择题

1.如图，小颖为测量学校旗杆45的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，

她在与旗杆底部A同一水平线上的“处放置一块镜子，然后推到。处站立，使得

刚好可以从镜子6看到旗杆的顶部氏已知小颖的眼睛〃离地面的高度5=1.6勿,

她离镜子的水平距离〃=1.2"，镜子？离旗杆•的底部4处的距离M?=3.6加，且

4a夕三点在同一水平直线你上，则旗杆位?的高度为（）

2.如图，小明为了测量一凉亭的高度48（顶端力到水平地面物的距离），在凉

亭的旁边放置一个与凉亭台阶比等高的台阶应'（〃£=纪=0.6米，求力、6、C

三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=12米，然后沿直

线磔后退到点£处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端4,测得6£=2米，小

明身高*1.6米，则凉亭的高度约为（）

A.9米B.9.6米C.10米D.10.2米

3.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到

旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m,旗杆底部与平面镜的水平距

离为16m.若小明的眼睛与地面的距离为1.6m,则旗杆的高度为（单位：m）（）

t

A.12.4B.12.5C.12.8D.16

4.如图，小颖为测量学校旗杆48的高度，她在£处放置一块镜子，然后退到。

处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部反已知小颖的眼睛。离地面的高度切

=1.5加，她离镜子的水平距离B=0.5加，镜子£离旗杆的底部力处的距离力£=

2偈且4C、£三点在同一水平直线上，则旗杆46的高度为（）

B

D/

A.4.5Z/7B.4.8mC.5.5nlD.6m

5.已知AABC与AADE是位似图形，且相似比为3:2,若AABC的面积为27,

则IDE的面积为（）

A.7B.12C.10D.18

6.如图，AABC与ADEF形状完全相同，且AB=3.6,BC=6,AC=8,EF=2,贝！］DE

的长度为（）

A.1.2B.1.8C.3D.7.2

7.如图，P、Q是。0的直径AB上的两点，P在0A上，Q在OB上，PCLAB交。0

于C,QD_LAB交。。于D,弦CD交AB于点E,若AB=20,PC=0Q=6,则0E的长为

A.1B.1.5C.2D.2.5

二、填空题

1.有一个三角形的三边长为2,4,5,若另一个和它相似的三角形的最短边为4,

则第二个三角形的周长为.

2.△46。与△处尸的相似比为3：4,则△49C与△颂的面积的比为.

3.如果RtA/lBCsRtADEF,NC=NE=90。，AB=5,BC=3,Z）E=15,则=

三、解答题

L如图，花丛中有一路灯AB.在灯光下，小明在点D处的影长OE=3m,沿BD方

向行走到达点G,DG=5m,这时小明的影长GH=5m.如果小明的身高为1.7m,

求路灯AB的高度.（精确到0.1m）

2.小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与

树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C

处，人在点F处正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在点。处，人在点F

处正好在镜中看到树尖A.已知小军的眼睛距地面1.7m,量得CC'=12m,CF=1.8

m,C'F'=3.84m.求这棵古松树的高度.

3.小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是

片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量

路灯的高度但是他没有带任何测量工具.于是，小明调整自己的步伐，尽量

使得每一步步长相同.小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长OF为2

步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长EC为5步，回家后小明上网查资料得

到羽毛球网杆高£>M=NE=L55米，网长MN=6.1米，同时测得1步~1米，求

路灯的高度（结果保留一位小数）

BDE

4.如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的

D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到

墙的底部0处.

(1)求路灯AB的高度.

(2)请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长.

⑶如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子

有多高？

5.如图，ZSOAB是等腰直角三角形，ZA0B=90°,0A=0B=4.折叠该纸片，使

点A落在线段0B上，折痕与边0A交于点C,与边AB交于点D.

(1)若折叠后使点A与点0重合，此时0C=；

(2)若折叠后使点A与边0B的中点重合，求0C的长度；

(3)若折叠后点A落在边0B上的点为E,且使DE〃OA,求此时0C的长度.

6.如图，平行四边形ABCD中，CE是NDCB的角平分线，且交AB于点E,DB与

CE相交于点0,

(1)求证：△EBC是等腰三角形；

CR

(2)已知：AB=7,BC=5,求——的值.

7.如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm,AD=20cm,两只小虫P和Q同时分别

从A,B出发沿AB,BC向终点B,C方向前进，小虫P每秒走1cm,小虫Q每秒

走2cm,请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D

为顶点的三角形相似？

8.在平面直角坐标系中，四边形OABC的边0C在x轴上，0A在y轴上，0为坐标

AB//OC,线段OA,AB的长分别是方程期-9x+20=0的两个根(OA〈AB).

(1)求点B的坐标；

(2)P为0A上一点，Q为0C上一点，0Q=5,将APOQ翻折，使点。落在AB上的

点0'处，求线段A0'的长；

(3)在(2)的条件下，M为x轴上一点，在平面内是否存在点N,使以O',Q,M,

N为顶点四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

9.如图l,RtAABC中，ZC=90°,BC=8cm,AC=6cm,点D是BC上的一个定点.动

点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以

lcm/s的速度沿D-B方向运动.点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点

达到B时，另一个点随之停止.图2是当0WtW5时4BPQ的面积S(cm2)与点P

的运动时间t(s)的函数图象.

(1)CD=,S=cm2；

(2)当点P在边AB上时，t为何值时，使得ABPQ与AABC为相似？

⑶运动过程中，求出当ABPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值.

10.如图，运XABC中，ZC=90°,BC=8cm.AC：

AB=3：5,点P从B点出发，沿BC向

点C以lcm/s的速度匀速移动；点Q从C点出发，沿CA向

点A以2cm/s的速度匀速移动.两点同时出发，当一个点到达终点

时，另一个点也随之停止运动：

(1)经过多少秒时，SAOPC=^SAABC；

(2)经过多少秒时，以C,P,Q为顶点的三角形恰好与aABC相

似？

11.在△ABC中，ZACB=90。，AB=20,BC=U.

(1)如图1,折叠AABC使点A落在AC边上的点D处,折痕交AC、AB分别于。、

H,若£八8©=95乙。“0,则〃Q=.

(2)如图2,折叠AABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于

E、F.若FMHAC,求证：四边形是菱形.

⑶如图3,在(1)(2)的条件下，线段CQ上是否存在点P,使得！CMP和△HQP

相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.

12.如图，"BO中，ZACB=90°,AC=6,BC=S.AB=10,点D是BC的中点，OE_L

直线1于点E,点C在直线/上，AB//直线/.点P以每秒2个单位长度的速度，

从C点沿CfAf8路径向终点B运动，运动时间设为t秒.

(1)如图1,当。=2时，PC=______.作PF_L直线/于点F,此时与ACED全

等吗？请说明理由.

⑵如图2,当点P在AB上时，作PG_LAC于点G,PH_LBC于点H.

①是否存在APAG或APB”与ACEO全等的时刻？若存在，求出t的值；若不存在,

请说明理由.

②连结PC,当NACP=45。时，求PG的长.

13.如图，在△力比'中，AB^A(=6,贻8,点。是比1边上的一个动点，点£在4。

上，点。在运动过程中始终保持N1=N6,设物的长为x(0<xV8).

(1)求证：ADCEs4ABD；

⑵用含x的代数式表示位的长；当诲2时，求x的值;

(3)当x为何值时，^ADE为等腰三角形(直接写出结果).

答案

一、选择题

1.C.2.D.3.C.4.D.5.B6.A.7.C.8.B9.A.10.C.

二、填空题

1.22

2.9：16

3.12.

三、解答题

1.由题意，得AB工BH,CDYBH,FGYBH,

，CD//AB.：.ACDEs/sABE.

・4=DE

"ABBD+DE

同理，,

•生——吧―②

"ABHG+GD+DB

又；CD=FG=1.7,

，由①，②可得DE=——HG——

BD+DEHG+GD+BD

35

即°=

BD+35+5+6。’

解得BD=7.5.

将5£>=7.5代入①，得AB=5.95=6.0.

故路灯AB的高度约为6.0m.

2.设这棵古松树的高度=BC=ym.

VABIBC,EF±BC,

：.ZABC=NEFC=90。,

又；ZACB=/ECF,

，AABCs^EFC,

.EFCF

VABIBC,E'F'LC'F',

：.NABC=NE/'C'=9()。，

又：ZAC'fi=ZE'C'F',

，AABC'^AE'F'C,

EFC'F'

,:EF=EF',

,CFC'F'1.83.84

.*---=---79即an-7T.

BCBCyy+12

gpBC=—m.

17

又••空—空

ABBC'

1.7_1.8

/.T=T80.

77

解得x=10,即AB=10m.

答：这棵古松树的高度为10m.

3.解：QDM//AB,

：NFMD:7FAB,

MDFD

一而一而

设A8=x,BD=y

1.552

x2+y

QNE//AB,

:NCNE:NCAB,

NECE

x5+6.1+_y

1.55_2_5

x2+y5+6.1+y

1.55_________5-2_______

x(5+6.1+y)-(2+y)

答：路灯的高度约为4.7米.

4.解:(1)：30=20米，8=17米,

，30=30—00=20—17=3米，

,?£>G=1米，

:.3G=BO+Z)G=3+1=4米，

：AB、CD都与地面B0垂直，

，△ABG~ACDG,

.CDDGm1.6I

ABBGAB4

：.AB=6.4米；

⑵小亮的位置如图所示：

.交=殁即9=空

"ABB0'6.420

二尸0=5米;

(3)如图，过点M作B0的平行线，交AB于点H,交P0于点K,连接AM并延长交

P0于点L,

.•小亮距离墙2米，

♦.ON=MK=2米,

♦.9=20-2=18米，

.•AB=6.4米，M7V=1.6米,

47=6.4—1.6=4.8米，

:AAHM〜ALKM,

.KLMKKL2

----=----,即——,

AHHM4.818

/.KL=3米，

30

.•.墙上的影子长为米.

5.解：（1）：折叠后使点A与点0重合,

/.AC=C0=^-A0=2,

故答案为2.

⑵如图1中，

由折叠可知，AC=EC,设AC=EC=x,则0C=4-x,

V0E=EB=y0B=2,

在RtZXOCE中,VZ0=90°,

/.OC2+OE2=EC2,

/.(4-x)2+22=x2,

解得x=2.5,

.*.0C=4-2.5=1.5.

⑶如图2中，

图2

；DE〃AC,

Z0CE=ZCED,

由折叠可知,ZA=ZCED,

ZA=Z0CE,

AECAB,

/.△OCE^AOAB,

.PCOE

••正一丽’

V0A=0B,

.*.OC=OE,

设0C=0E=m,则EC=AC=4-m,

在RtAOCE中，VEC2=OC2+OE2,

/.(m-4)2=m2+m2,

解得m=-4+4&

或-4-4夜(不合题意舍弃)，

0C=-4+4A/2.

6.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，

二CD//AB,

：./DCE=NBEC,

'：CE平分/BCD,

：.ZDCE=NBCE,

：.ABEC=ZBCE,

：.BC=BE,

，AEBC是等腰三角形；

(2)VCDIIBE,

，ZDCE=ZBEC,ZCDO=NEBO,

:.ACOD~EOB,

.CDOD

,:CD=AB=1,BE=BC=5,

.CDOD7

.OB5

••―T.

OD7

7,解：①设经x秒后，△PBQs/^CDA,

由于NPBQ=NADC=90°,

PB_BQ,10-x2x功/口_

当----时，即----——,解付x=5；

CDDA1020

②设经x秒后，/xCiBPsacDA,

由于NPBQ=NADC=90°,

当而喂时，即寸方解得*=2

故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形

相似.

8.解:⑴解方程噌-9x+20=0,

(x-4)(x-5)=0,

得：X|=4,x?=5.

因为OA<AB,

所以0A=4,AB=5,

所以B(5,4)；

(2)因为AB//0C,0Q=AB=5,

所以四边形AOQB为平行四边形。

-,-ZAOQ=90°

所以四边形AOQB为矩形，

所以BQ=0A=4,由aPOQ翻折，可得OQ=OQ'=5

:.O'B=3,AO'=2.

(3)存在，点N的坐标为(5,4)或

分四种情况：

①如图3,M在x轴的正半轴上，四边形NO'MQ是矩形，此时N与B重合，则N(5,

4)；

.B(N)

图3

②如图4,M在X轴的负半轴上，四边形NMO'Q是矩形,过0,作O'D_Lx轴于D,

过N作NH±x轴于H,

)•

O'B

N

.四边形NMO'Q是矩形,

.,.MN=0'Q=5,MN〃O'Q,

/.ZNMO=ZDQO',

VZNHM=ZQD0'=90°,

.,.△NHM^AO'DQ(AAS),

.♦.NH=0'D=4,DQ=MH=3,

由(2)知：A0'=2,

设PO=x,则O'P=x,AP=4-x,

在Rt^APO'中，由勾股定理得:AP2+A0'2=0'P2,

即x2=22+(4-x)2,

解得：x=g,

2

•'-P(0,g),

2

设PO'的解析式为：y=kx+b,

r[,3

,5k=一

b=-4

则2,解得：；，

2k+b=4b=)

12

35

.,.PO'的解析式为：y=—x+—,

42

35

当y=0时，—x+—=0,

42

._io

--x=---,

.•.OM2，

3

.八八101

AOH=OM-MH=一—3=-,

33

•*'N(—,-4)；

③如图5,M在y轴的正半轴上，四边形MNQO'是矩形,

由②知：M(0,1),O'(2,4),Q(5,0),

**-N(3,-：)；

④如图6,M在y轴的负半轴上，四边形MNO'Q是矩形，过0'作O'D_Lx轴于D,

ZM0Q=ZQD0',Z0MQ=ZDQ0

.,.△MOQ^AQDO',

.OM_OQmOM_5

•,⑧一DO，'□亍="

4

V0!(2,4),Q(5,0),

/.N(-3,y),

4

1?1

综上，点N的坐标为：N(5,4)或(一耳，-4)或(3,-§)或(-3,­.

9(1)当点P运动到点A时,ABPQ的面积为18,

—x6xBZ)=18

2

：.BD=6

:.CD=BC-BD=2

当t=5时，AP=2x5-6=4,点Q在D点，点P在AB上，如图1,作PH_LBC于H

图i

在RUABC中，AC=6,BC=8

：.AB=y]AC2+BC2=10

•.­PHIIAC

:ABPH~ABAC

,_P__H____B__P_

"AC~AB

PH10-4

~1T10

:.PH=—

5

1x6x1^54

…°APBQ25T

54

:.ST

故答案为：2,—；

(2)点P在边AB上,

当3Vts5时，点Q在D点，BP=16-2t,

若P£＞，BC,ABPQ〜ABAC

BPBD16-2t6

——=——a即n----=-

BABC108

17

*t=---•

4，

当5<tK8时，点DQ=t-5,则

B2=8-2-(r-5)=ll-r,BP=16—2r

当NPQB=90。时，ABPQ~ABAC,如图2,

图2

△BPQ~^BAC

BPBQ

"AB~~BC

即些=四

108

解得t=3,不合题意舍去；

当ZBPQ=90。时，ABPQ~ABAC如图3

图3

1.,ABPQ〜ABCA

BPBQ

即1^3=Lkl

810

解得t=6

17

综上所述，当1=二或t=6时，ABPQ与AABC为相似;

4

(3)PB=16-2t,BQ=ll-t,

当BP=BQ,则解得t=5；

当PB=PQ,作PM1BCTM,如图4,

则BM=-BQ=-(lX-t)

22

PM//AC

:qBPM~ABAC

BPBM

'BA~BC

gp16-2t_2(lbt)

Ios-

73

解得1=打

73

综上所述，当ABPQ是以BP为腰的等腰三角形时，t的值为5或石.

10.解：(1)设AC=3x,AB=5x,则

(5x)2-(3x)2=8?

/.x=2,

AC=6cm,

设经过t秒，s△帆=gs△瓯

则PC=8-t,CQ=2t,由题意列方程得:

-(8-f)-2r=-xlx6x8

222

解得：3=2,t2=6

t2=6,不合题意，舍去.

答：经过2秒时，SAQPC=；SAABC；

⑵分两种情况分析，

CPco

当一=*时，有△CBAs^CPQ,

当当=鲁时，有△CABS/XCPQ,

CAC£>

即生2=口

68

•t3

5

答：经过与秒或3秒时，以C,P

Q为顶点的三角形恰好与

△ABC相似.

11.⑴如图，

在AABC中，

VZAG5=90°,AB=20,8c=12,

AC=>/202-122=16.

设HQ=X,

■:HQUBC,

/^AHQ^Z^ABC,

.AQ=HQ即些—

''AC~BC'16-12'

八4

A,Q——x,

S/MPC=9s,

114

二一xl6xl2=9x—xxx—x

223

整理得：x2=16,

解得：%=4,马=-4（舍去）,

：.HQ=4.

⑵如图

由翻折的性质可知：AE=EM,AF=FM,ZAFE=ZMFE,

'：FM//AC,

:.ZAEF=4MFE,

,ZAEF=ZAFE,

/.AE=AF,

:.AE=AF=MF=ME,

，四边形AEMF是菱形；

⑶如图,连接MP、HP,

设A£=EM=fM=AF=4m.

则BM=3m,FB=5m,

,20

4m+5m-20,解得加=亍

80

AE=EM

~9

EC=AC-AE=i6--=—

99

/.CM=《EM?-EC?=—

3

•.•"=4,AQ=g

32

:.Qc=§

设PQ=x,

①当/\HQP^/\MCP时,

4x

.QH=PQ

1632-

"CM~PC-----x

T3

32

解得：%=y

32

P