2021-2022学年江苏省南京市浦口区江浦高级中学高一（下）期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年江苏省南京市浦口区江浦高级中学高一（下）期

中数学试卷

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.sin70cos370-sin830sin37°的值为()

A.-近B.--D.近

c.—

2222

2.设2=年-，则|z|=（）

l+2i

A.2B.73C.&D.1

3.已知W=（1，1），b=（羽1），"a-L(Z+E),则犬=()

A.-1B.1C.3D.-3

4.随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得

快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.浦口区的张先生计划在住的小区内开一家菜鸟

驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和快宝驿站一周的日收

件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法不正确的是（）

♦英

25C'

鸟

2X亮

站

1M

快

.宝

IX

驿

站

m期一m期二三期三m期三星掂六=

A.菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差

B.菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量

C.菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值

D.菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为s；，s%则

5.在△A8C中，a=百，b=l,NB=30°,则/A=（）

A.30°B.60°C.60°或120°D.120°

6.已知sin则sin（2。+■/-）的值是（）

A.—B.C.-J-D._2®

9999

7.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括

一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称

为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长

的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置

设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即/ABC）为26.5°,夏至正午

太阳高度角（即NACC）为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）

为“，则表高（即AC的长）为（）

Aasin530

'2sin47°

Dn.-2-s-i-n-4-7-°--

asin53

ratan26.5°tan73.5°

tan47°

nasin26.5°sin73.5°

'sin47°

8.若函数/(x)是定义在R上的偶函数，对任意x€R,都有/(x-1)=/(x+l),且当xe[O,

1]时，f(x)=2*-1,若函数g(x)=/(x)-log«(x+2)(a>l)在区间(-1,3)

恰有3个不同的零点，则实数”的取值范围是（）

A.（1,3）B.（3,5）C.（3,5]D.（1,5]

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分。

（多选）9.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确

的是（）

A.若|z|=l,贝ljz=±l或z=±i

B.若2=料-2>贝Ijz的虚部为-2i

C.若点Z的坐标为（-1,/）,则对应的点在第三象限

D.若l4|z|《加，则点Z的集合所构成的图形的面积为7T

（多选）10.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是（）

A.若A>B,则sinAAsinB

B.若。=4,b=5,c=6,则△ABC为钝角三角形

C.若。cosA=bcos3,则△A3C一定是等腰三角形

D.若a=5,b=10,A』兀；，则符合条件的三角形不存在

4

（多选）11.若不共线向量之、E满足1二IEI，则下列结论中正确的是（）

A.向量胃、芯的夹角恒为锐角

B.2r

C.|2b|>|a-2b|

D.12KEi

（多选）12.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,已知a=28cosB,且

bWc,则（）

A.A=2B

B.角8的取值范围是（0,子JT）

C.cosA的取值范围是（0,]■）

D.包的取值范围是（、历，愿）

b

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设一组样本数据无1,X2,…，x〃的方差为0.01,则数据lOxi+1,10尤2+1,…的

方差为.

TT

14.已知Z是单位向量，Z与三的夹角是—「，且G+%I=J7，则阴=.

O

15.在菱形ABCD中，A吟71，AB=2,P为菱形ABCD所在平面内的一点，则

（江-标）•（玩+而）的最小值为-

16.已知函数f(x)=2sin(2x4)+l.当x€［圣，塔＜时，关于x的方程［/COF

-(2，〃+1)/(x)+，〃2+m=0恰有三个不同的实数根，则，〃的取值范围是.

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当实数/n为何值时

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z对应的点在第二象限.

18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知acosC+ccosA=26cos8.

(1)求角B的大小；

(2)b=2,求△ABC周长的取值范围.

19.南京市某报社发起过建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，

打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在“5,

65］之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

(1)求频率分布直方图中，"的值；

(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这60篇文

章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会.求从年龄在［15,35)的作者中选出

参加座谈会的人数；

(3)根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数彳(同一组数据用该区间的

中点值作代表)和80百分位数(结果保留一位小数).

20.如图，在边长为4的正△ABC中，E为AB的中点，。为BC中点，标=3而，令族=

a，AC=b-

(1)试用Z、E表示向量而；

(2)延长线段EF交4c于P,求而.而的值.

A

21.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛8与小岛A、小岛。相距都

为5nmiIe,与小岛。相距为次尺rmile-/BAO为钝角，且sinA^.

5

(1)求小岛4与小岛。之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

(2)记NBDC为a,NCBD为0,求sin(2a+p)的值.

22.已知平面向量之=(1,x),1=(|x2-1|,x+k),函数/(x)=；♦1,xeR.

(1)若％=1,求方程/(x)=0的实数解；

(2)若/(X)在(0,2)上有两个零点xi、X2,求实数々的取值范围，并证明：

X1x2

<4.

参考答案

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.sin7°cos37°-sin83°sin37"的值为（）

A.-近B.--C.—D.近

2222

【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得

解.

解：sin7°cos37°-sin83°sin370

=sin7°cos37°-cos7°sin37°

=sin（7°-37°）

=sin（-30°）

=-sin30°

=1

一'2'

故选：B.

【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三

角函数化简求值中的应用，属于基础题.

2.设2=嵩-，则团=（）

A.2B.百C.近D.1

【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解.

解.由z—3-i-|3-iI3-i|片

解.由z.，得11+2,1|1+2,「五川2.

故选：C.

【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.

3.己知（1,1）,E=（x，1），~^-L（彳+E），则工=（）

A.-1B.1C.3D.-3

【分析】可求出Z+E=（X+1,2），然后根据（彳+^）即可得出；・金+芯）=0,然后

进行数量积的坐标运算即可求出X的值.

解：•a+b=(x+1,2)»a=(1>1),且a_L(a+b),

-*-a*(a+b)=x+l+2=0>解得x=-3.

故选：D.

【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，

属于基础题.

4.随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得

快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.浦口区的张先生计划在住的小区内开一家菜鸟

驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和快宝驿站一周的日收

件量(单位：件)，得到折线图如下，则下列说法不正确的是()

英

鸟

凝

站

快

宝

驿

站

三期三三期匚3第三

A.菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差

B.菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量

C.菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值

D.菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为［，S?，则

【分析】利用极差定义判断A;利用折线图判断B；利用平均数公式判断C；利用方差公

式判断O.

解：对于4,菜鸟驿站一周的日收件量的极差为：200-130=70,

快宝驿站一周的日收件量的极差为160-40=120,

二菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差，故A正确；

对于5,菜鸟驿站星期三的日收件量为130,快宝驿站星期六的日收件量为160,

菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量，故B正确；

对于C,菜鸟驿站日收件量的平均值为：—(160+200+130+150+160+190+180)=U也,

77

宝驿站的日收件量的平均值为：4(50+120+80+40+120+160+120)=粤，

77

.•.菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值，故C正确;

对于菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为sj，S2-

S?=—[2(160-口亚)2+(200-坦必2+(130-Ui上)2+(150-生上)2+(180

177777

_1170_)2+(190-3)21=24800

7749)

2222

g2=A(3X(120-+(50-+(80-+(160-+(40-

2777777

_79000

721一"49-1

，S；〈S会故。错误.

故选：D.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

5.在△ABC中，a=百，b=l,ZB=30°,则NA=()

A.30°B.60°C.60°或120°D.120°

【分析】根据三角形的性质，大边对大角以及正弦定理，即可解出.

解：由可得A>2,

有正弦定理可知，

sinAsinB

即

sinksin30

，sinA=乂二，

2

Ae(30°,180°),

：.A=60°或A=120°,

故选：C.

【点评】本题考查了解三角形，正弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题.

兀1

6.已知sinGy-a)则sin(2a■H23-)的值是()

1o

272c_7_2V2

9,3~T~

【分析】利用角的变换将所要求解的角转化为已知的角表示，再利用二倍角公式求解即

可.

解设

与-a=t,2agm-2t,sin(2aW)=sin$-2t)=cos2t=l-2sin2tq

।1.4NJ.4Ny

故选：A.

【点评】本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了二倍角公式的运用，解决此

类问题的关键是将要求的角转化为己知的角表示，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，

属于中档题.

7.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括

一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称

为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长

的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置

设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即NABC）为26.5°,夏至正午

太阳高度角（BPZADC）为73.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）

为“，则表高（即AC的长）为（）

图1图2

Aasin530

,2sin470

2sin47°

Dn.----------------T-

asin53

ratan26.5°tan73.50

tan47°

nasin26.5°sin73.5°

sin470

【分析】先求出NBA。，然后利用正弦定理求出AD,再在△ADC中，求出AC.

解：由题可知：ZBAD=73.5Q-26.5°=47°,

B

在△54。中，由正弦定理可知：.PDAn=-；-^-―即sin：7。=sin2弋5。

sinZBADsinZABD

则AD=asin2，，

sin47

又在△AC。中，黑•二sinNADC二sin73.5°，

AD

所以人。asin26,5°sin73.5°

sin470

故选：D.

【点评】本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题.

8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意X6R,都有f(x-1)=/(x+l),且当xe［O,

1］时，/(工)=2V-1,若函数g(x)=f(x)-log«(x+2)(a>1)在区间(-1,3)

恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(1,3)B.(3,5)C.(3,5］D.(1,5J

【分析】本题先要根据分析出函数在［-1,OJ上的表达式，以及/CO是以2为周期的周

期函数.然后画出函数/(x)在区间(-1,3)上的大致图象，再根据图象得出两个临

界的对数函数曲线，分别计算出a的值，即可得到实数a的取值范围.

解：由题意，令尤［-1,0］,则-友［0,1J,

f(-X)=2x-1=(A)x-i=/J).

(y)x_l>-l4x<0

(x)

2X-1,0<x<l

:对任意xeR,都有/(x-1)=/(x+l),

令f=x-l,则x=r+l,/(力=/(r+2),

•V(x)是以2为周期的周期函数.

故函数f(x)在区间(-1,3)上的大致图象如下:

••・函数g(x)=f(x)-logu(x+2)(a>l)在区间(-1,3)恰有3个不同的零点，

；.y=/(x)的图象与y=log“(x+2)(41)在区间(-1,3)恰有3个不同的交点.

根据图，当y=log“(x+2)经过点(1,1)时，有两个交点，

此时log”(1+2)=f(1)=1,解得a=3.

当y=log“(x+2)经过点(3,1)时，有4个交点，

此时log”(3+2)~f(3)=1,解得a=5.

...当3<aW5时，恰有3个不同的交点，

即函数g(x)=f(x)-log„(x+2)(6Z>1)在区间(-1,3)恰有3个不同的零点.

故选：C.

【点评】本题主要考查函数的性质及应用，对数函数的性质，以及数形结合思想的应用，

对数的基本计算能力.本题属中档题.

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

(多选)9.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确

的是()

A.若|z|=l,则2=±1或z=±i

B.若z/-2i，则z的虚部为-2i

C.若点Z的坐标为(-1,/),则W对应的点在第三象限

D.若l<|z|《&，则点Z的集合所构成的图形的面积为TT

【分析】由复数的几何意义判断AZ)；由复数的基本概念判断BC.

解：由|z|=l,可得z=a+历(a,/?eR),且。2+按=1,故A错误；

若Z=-2「则z的虚部为-2,故8错误；

若点Z的坐标为(-1,/),则与对应的点的坐标为(-1,-1),在第三象限，故C

正确；

若Iz|<V2-则点z的集合所构成的图形的面积为兀X(、历)2-兀X12=兀，

故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.

(多选)10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,以下说法中正确的是()

A.若A>3,则sinA>sinB

B.若〃=4,b=5,c=6,则△ABC为钝角三角形

C.若acosA=bcosBf则△ABC一定是等腰三角形

jr

D.若a=5,b=10,A--,则符合条件的三角形不存在

4

【分析】由三角形中大边对大角结合正弦定理判断A；利用余弦定理求得cosC判断脱

由正弦定理化边为角判断C；利用正弦定理及正弦函数的有界性判断D.

解：对于A,A>B<^a>b,又一.---=—；---,/.sinA>sinB,故A正确；

sinAsinB

222

对于8,若。=4,b=5,c=6,则cosC=4.J§二.-」■>（）,最大角为锐角，则AABC

2X4X58

为锐角三角形，故8错误；

对于C,若acosA=Z?cos8,贝ijsin4cosA=sin8cos8,即sin2A=sin28,

・・・2A=28或2A+2B=ir,即A=8或4+8=方，则△ABC是等腰三角形或直角三角形,

故C错误；

TT

对于。，若a=5,b=10,A=^,由正弦定理得，sin8=b,sinA>1,

符合条件的三角形不存在，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，是中档题.

（多选）11.若不共线向量之、石满足|a-b|=|bI-则下列结论中正确的是（）

A.向量彳、4的夹角恒为锐角

B-2|m<示

C.|2b|>|a-2b|

D.|2al<|2a-bl

【分析】根据向量的减法及等腰三角形可判断4根据数量积的定义及运算律，结合等

腰三角形的性质可判断BCD.

解：对于A,因为不共线向量Z、三满足|=|EI，所以由向量；、与、W-E组成

的三角形是等腰三角形，

且向量Z是底边，所以向量；，E的夹角恒为锐角，A正确；

对于8，21bl2<a'b=|a||b|cos<a,b>o2|b|<|a|cos<a,b>，

:|b|+|a-b|=2|b|>|a|>|a|cos{a,b〉，所以8不正确；

对于C,

12bl>|a-2bl04|b|?〉|a-2b|2=|a|2-4|a||b|cos<Ca,b)+4|b|2

即41al,|b|cosC,b〉>|a|%故41blcosG，b〉>|a|，

T7-♦2——

乂a-2a*b=0,

•e•2|b|cos（a,b〉=|aI，・'・4|b|cosC,b〉>|a|，故C正确；

对于D，若|2a|<|2a-b|‘类似C中,平方后化简可得

41alCQS<a,b><|b>

所以有81ble0$2<a,b><|b1即8cos?<a,b〉<L

而8cos2<W,E><1不一定成立,

例如<；,所以。不正确.

故选：AC.

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题.

（多选）12.在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知a=26cos8,且

b¥c,则（）

A.A=2B

jr

B.角B的取值范围是（0,个）

C.cosA的取值范围是（0,£）

D.包的取值范围是（&,我）

b

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用判断A、3、C、。的结论.

解：因为a=2bcosB,所以sinA=2sinBcosB=sin2B,

所以A=2B或A+2B=TT.

因为AWc,所以8WC,

所以A+2B7A+B+C=n,则A=2B,故A正确.

因为4+B+C=TT,所以C=7T-A-B=TT-3B.

因为AABC是锐角三角形，

0<A<^-

所以40<B<£，

0<C<-y

0<2B<^-

即《0<B<4，解得?<B<g

264

0<n-3B<^

所以工六<cosB

利用正弦定理：A=sinA=sin2B=2cQsBg（亚，、行），故p错误，。正确.

bsinBsino

TTTP

因为A=23,所以:—

所以0<cosA</,则以正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查

学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设一组样本数据xi,X2,%的方差为0.01,则数据lOxi+1,10x2+1,…，10x,,+l的

方差为1.

【分析】根据样本数据XI,X2,…，X"的方差为52,对应数据61+〃，0X2+6,…，axn+b

的方差为。2s2,计算即可.

解：因为样本数据XI,X2,…，X”的方差为0.01,

所以数据10羽+1,10X2+1,…，10x“+l的方差为102X0.01=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了样本数据方差的定义与性质应用问题，是基础题.

14.已知Z是单位向量，Z与三的夹角是3，且口+三1=近，则8=2.

【分析】把|a+bI坊的两边同时平方，化简即得.

TT

解：•••■；是单位向量，w与E的夹角是g，

0

由l^+bI=V7'得a2+2；『+g2=7,

•,•1+2X|bIXy+|bI=7>

所以|b|2+|b|-6=0-

•••尼1=2或lbI=-3(舍去)•

故答案为：2.

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题.

15.在菱形ABCD中，A号，AB=2,P为菱形ABCD所在平面内的一点，则

(AP-AD)•(BC+CP)的最小值为_il_-

【分析】建立直角坐标系，利用坐标运算化简求值即可.

解：建立如图所示直角坐标系，

则B(0,-1),D(0,1),P(x,y),

所以(AP-AD)•(BC+CP)^DP-BP

=(x,y-1)•(x,y+1)

=^2+>2-12-1,

【点评】本题考查了平面向量坐标表示及应用，属于基础题.

16.已知函数f(x)=2sin(2xW)+l・当x£[%，喑•]时，关于x的方程网》)产

-(2，〃+l)f(x)+/+〃?=()恰有三个不同的实数根，则的取值范围是卜1,0].

【分析】令r=2x-匹•日旦L,1：兀],问题转化为/(x)=h(Z)=2sinf+l与y=机，

366

y=，〃+l的交点个数，结合正弦型函数的值域，讨论m并判断有2个交点情况下机的范

围.

解功：由.「—「7兀，1号3兀5-r]，七有，=C2x-兀亏曰「5兀三，11兀I

izizo00

则/(x)=h(r)=2sinr+l,

而原方程可化为1/(x)-m]\f(x)-(加+1)]=0,可得/(尤)=m,或/(x)=m+1,

所以/(x)=次+1有一个实数解且/(x)=m有两个不同的实数解或/(x)=加有一个

实数解且/(x)=帆+1有两个不同的实数解.当mV-1或m>2时，f(x)=m无解，

不符合题意；当〃?=-1时，则m+1=0,，(冗)=机有一个实数解，f(x)=〃?+1有两个

不同实数解，符合题意；当-IVmWO时，则0Vm+lW2,/(x)=能有两个不同的实数

解，f(x)=m+1有一个实数解，符合题意；当0VnzW2时，则1V"?+1W3,f(x)=m

有一个实数解，/(x)=〃?+1至多有一个实数解，不符合题意.综上所述，机的取值范围

为：[-1,0].故答案为：[-1,0].

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想，属于中档题.

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当实数〃?为何值时

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数;

(3)z对应的点在第二象限.

【分析】(1)令复数z的虚部为0,即可求解；

(2)令复数z的实部为0且虚部不为0,即可求解；

(3)根据第二象限点的符号特征，列出不等式，即可求出机的范围.

解：(1)由题意可得：tn2-m-2=0,

解得：加=-1或2；

(2)由题意可得：m2+机-6=0,且m2_加_2W0,

*.m=2或-3,且机#-1且m#2,

；・m=-3；

、+fm2+m-6<C0

(3)由题意可得：<，

m-m-2>0

解得：-3VmV-1.

【点评】本题主要考查了复数的定义，是基础题.

18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,己知〃cosC+ccos4=20cos3.

(1)求角8的大小；

(2)b=2,求△ABC周长的取值范围.

【分析】(1)由已知等式结合正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,得到

cosB=p结合B的范围且求得交B；

TT

(2)根据(1)中所求，B吟，又b=2,利用余弦定理结合基本不等式求得〃+cW4,

再由a+c>b=2,可得△ABC周长的取值范围.

解：(1);acosC+ccosA=2/?cosB,

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=2sin^cos^,

/.sin(A+C)=sinB=2sinBcosB,

i兀

VsinB>0,cosb=—9得B=&:

乙o

jr

(2)根据(1)中所求，B—，又b=2,

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=(。+。)2-3。。=4,

贝IJ(«+c)2-4=3ac(3・C^)2，即a+c<4,

当且仅当a=c时取得等号，又tz+c>/?=2,...4<a+c+bW6,

△ABC周长的取值范围为(4,6］.

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理、余弦定理及基本不等式的应用，考查

运算求解能力，是中档题.

19.南京市某报社发起过建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章,

打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在［15,

65］之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

(1)求频率分布直方图中，"的值；

(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这60篇文

章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会.求从年龄在［15,35)的作者中选出

参加座谈会的人数；

(3)根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数彳(同一组数据用该区间的

中点值作代表)和80百分位数(结果保留一位小数).

【分析】（1）频率分布直方图列方程，能求出m

（2）按分层抽样抽出的20篇最佳文章的作者，利用分布抽样能求出结果.

（3）利用频率分布直方图能求出样本平均数和参赛作者年龄的第80百分位数.

解：（1）频率分布直方图知：10X（0.01+0.015+m+0.03+0.01）=1,

二，〃=0.035.

（2）按分层抽样抽出的20篇最佳文章的作者，

年龄落在［15,25）的有2人，

年龄落在［25,35）的有3人，共5人.

（3）样本平均数7=20X0.1+30X0.15+40X0.35+50X0.3+60X0.1=41.岁，

参赛作者年龄的第80百分位数为45+10X=45+警=51.7.

【点评】本题考查频率、频数、平均数、面分位数的求法，考查频率分布直方图的性质

等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

20.如图，在边长为4的正△ABC中，E为A8的中点，。为BC中点，屈=3下，令祈=

a，AC=b-

（1）试用W、芯表示向量而；

（2）延长线段E尸交AC于P,求而.市的值.

【分析】（1）利用三角形法则及向量的线性运算即可求解；

»1f1—

（2）利用向量的线性运算可知DP=VaJb，再利用向量的数量积即可求解.

解：（1）正=欣+正=+■定亭同4•（正+祢）

=-1AB吊工4-AB=?标年正崇本；

⑵设下=入瓦，xeco,1），

->—■■»i—■■»»i—♦—♦

EP=EA+AP=EA+入AC谓AB+入AC=-ya+Xb，

由EF与而共线，可知存在《使得而二k而，即《aVb=k（总&+人b），

k1

k1-1-2丁°A

k1、一i，解得人』即即+M，

即(y-y)a+(y-^k)b=0-则，

--Xk=0

6

—♦—♦—♦1—♦Q—*1—^>Q—1—♦I—•1-1—

DP=DC+CP^BC^AC^(BA+AC)-TAC=^AB^AC=^a^b.

■».1—1—1—1—1—2]-"•]—―1—2

所以EF，DP=(?*aqb),(-ya-yb)=：,-a-+*7777afcb77Ta*b-zvb

6121224

_1-21-2Io1-2门

-----a-----b=—X4-----X4=2.

624624

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，考查了转化思想，属于中档题.

21.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛8与小岛A、小岛C相距都

为5nmile,与小岛。相距为刻亏nmile-NB4力为钝角，且式心陪

（1）求小岛A与小岛。之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

(2)记/BOC为a,NCBD为B，求sin(2a+p)的值.

【分析】（1）由sinA求得cosA,在△ABZ）中，由余弦定理列式求得AO；再由A、B、

C、D四点共圆求解sinC与cosC,在△8OC中，由余弦定理解得C£>,再求△ABD、△

BCO的面积，可得四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）在△BQC中，由正弦定理得sina,求出cosa,再求出sin（a+p）与cos（a+））,

然后利用sin（2a+p）=sin[a+（a+0）],展开两角和的正弦求解.

解：(1)VsinA=-1-,且A为钝角，・,.cosA=-Ji.

在△A3。中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2-2AD'AB'cosA,

/.(3V5)2=AD2+52-2AD-5'(4)，WAD2+8AD-20=0,

5

解得：AD—3或A£>=-10（舍去）.

小岛A与小岛。之间的距离为2nmile.

•.•A、B、C、。四点共圆，.'A与C互补，则sinC=E

5

4

cosC=cos(1800-A)=-cosA=­.

5

在△BCC中，由余弦定理得：C£）2+CB2-2CD・CB・COSC=B£>2,

CD2+52-2CD-5-^=(3V5)2，得CD2-8co-20=0,

5

解得CD=-2（舍去）或CD=10.

SwiiimAB