北京市西城区第八中学高三上学期月月考数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年度第一学期高三数学12月练习一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分)1。如图，在复平面内，点对应的复数为，则复数(）．A。B。C。D.【答案】D【解析】由题意，所以．故选．2。当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】时，，时,,时，,时,，时，,此时，所以输出．故选．点睛：本题考查的是算法与流程图,对算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.3.数列的前项和，若,且,则的值为（）．A。B.C。D。【答案】C【解析】∵，且，∴，，∴,,，．故选．4."”是""的（)．A。充分不必要条件B。必要不充分条件C.充分必要条件D。既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，则，∴单调递增,且，∴“”是”"的必要条件．故选．5.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）．A.B.C。D.【答案】B【解析】试题分析：解：F（2,0）K（-2，0），过A作AM⊥准线,则｜AM｜=｜AF|，∴｜AK｜=|AM|，∴△AFK的高等于｜AM|，设A（m2，2m）（m＞0)则△AFK的面积=4×2m•=4m又由|AK｜=｜AF|,过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形,所以m=∴△AFK的面积=4×2m•=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．6.如图，点为坐标原点,点，若函数（，且)及（，且）的图象与线段分别交于点，,且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足（)．A.B.C.D.【答案】A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以，，∵点为坐标原点，点，∴直线为,∵经过点,则它的反函数也经过点,又∵（,且）的图象经过点，根据对数函数的图象和性质可知：,∴．故选．7。已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（）．A.B。C。D。【答案】D【解析】根据题意可得函数的图象和直线只有一个交点，直线经过定点，斜率为，当，，当时，，如图所示,故．故选．8.已知点在曲线上，⊙过原点,且与轴的另一个交点为，若线段,⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点,，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）．A.曲线上不存在"完美点”B。曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C。曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于D。曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于【答案】B【解析】如图，如果点为“完美点”则有,以为圆心，为半径作圆(如图中虚线圆)交轴于，（可重合），交抛物线于点,当且仅当时，在圆上总存在点,使得为的角平分线,即,利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点"，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况：设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时,;故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选．二、填空题(共6小题，每小题5分,共30分）9。若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则__________．【答案】—3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为,∵其中一条渐近线的倾斜是，∴，故．10.在中，角，，的对边分别为，，．若，,,则__________，__________．【答案】（1).2（2).【解析】∵，由正弦定理可得：，∴，,∴．11。已知直线，．若，则实数__________．【答案】-1【解析】若，则，且,解得．12.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】试题分析:由题意，由,可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束条件，如图所示，可得，则实数m的取值范围．考点:线性规划．13。如图,线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边,在第一象限内作矩形，．设为原点,则的取值范围是__________．【答案】【解析】令，则，，，，∴，∵，∴的取值范围是．点晴：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式,一是利用向量数量积的定义式，二是利用向量数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系,表示出相关点的坐标，本题中表示并化简可得,进而可得的取值范围是.14。对于函数，若在其定义域内存在，使得成立,则称函数具有性质．()下列函数中具有性质的有__________．①②③④（）若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．【答案】(1）.①②④（2）。或【解析】（）在时,有解，即函数具有性质，①令，即，∵，方程有一个非实根,故具有性质．②的图象与有交点，故有解,故具有性质．③令，此方程无解，故，不具有性质．④的图象与的图象有交点，故有解，故具有性质．综上所述，具有性质的函数有：①②④．（)具有性质，显然，方程有根，∵的值域为，∴，解得或．三、解答题(共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15。函数的部分图象如图所示．（Ⅰ)写出及图中的值．（Ⅱ)设，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）最大值，最小值．【解析】试题分析:（1）将点代入,由已给条件可求得;由并结合图象可求得。（2）由（1）可得到,由，得，可得在和时,函数分别取得最大值和最小值。试题解析：（Ⅰ)∵图象过点,∴，又，∴，由，得或，，又的周期为，结合图象知，∴．(Ⅱ)由题意可得，∴，∵，∴，∴当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看"原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦"；(3)三看“结构特征",分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.16。甲、乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次,射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲乙(Ⅰ)若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率．（Ⅱ）如果，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为,求的分布列和数学期望．（Ⅲ)在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出的所有可能取值．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ)见解析（Ⅲ）的可能值为，,．【解析】试题分析:（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局的情况有种情况，然后分析得分情况相同的情况,即可求出其概率；(2）分析出的所有可能取值,然后分别求出其概率即可求出分布列和数学期望；(3）由甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定，能写出x的所有可能.试题解析：（Ⅰ)由已知可得从甲的局的比赛中，随机选取局的情况有种，得分恰好相等的有种，所以这局的得分恰好相等的概率为．（Ⅱ）当时，的可能取值有，，，，所以，，,，所以的分布列为：．(Ⅲ)的可能值为，,．点晴:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法,概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积,以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.17。如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，,，且，．（Ⅰ)若点为上一点且，证明：平面．（Ⅱ）求二面角的大小．（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ)见解析（Ⅱ)（Ⅲ）上存在点使得，且．【解析】试题分析：（Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行，由线面平行的性质定理知平行线是过的平面与平面的交线，由已知过点作，交于，连接，就是要找的平行线;(Ⅱ)求二面角，由于图中已知两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系,可用向量法求得二面角，只要求得两个面的法向量,由法向量的夹角与二面角相等或互补可得（需确定二面角是锐二面角还是钝二面角）;(3）有了第（2）小题的空间直角坐标系，因此解决此题时,假设存在点，设，由求得即可．试题解析：（Ⅰ）过点作，交于，连接，因为，所以．又，，所以．所以为平行四边形,所以．又平面,平面，（一个都没写的，则这1分不给）所以平面．（Ⅱ）因为梯形中，，,所以．因为平面,所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，取得到,同理可得，所以,因为二面角为锐角，所以二面角为．（Ⅲ)假设存在点，设，所以，所以,解得，所以存在点,且．考点:空间的角平面法向量的求法平行18.已知函数（为实常数）．（Ⅰ）若为的极值点，求实数的取值范围．(Ⅱ)讨论函数在上的单调性．(Ⅲ）若存在,使得成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ)见解析(Ⅲ）．【解析】试题分析：（1)，由题，为的极值点，可得，即．（2)，，分，，三种情况讨论函数的单调性即可。(3)结合(2)的单调性,分别求和以及时a的范围，综合取并集可得。试题解析:（Ⅰ），∵为的极值点，∴,．（Ⅱ）∵，，当，即时，,，此时，在上单调增，当即时，时,，时，，故在上单调递减,在上单调递增，当即时，，,此时，在上单调递减．(Ⅲ）当时，∵在上单调递增，∴的最小值为，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∵，∴,，∴,∴．当时,在上单调递减，∴的最小值为，∵，，∴，综上可得：．19.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上，短轴长为，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．(Ⅰ）求椭圆的方程．(Ⅱ）当直线的斜率为时，求的面积．（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得经，为领边的平行四边形是菱形?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ）（Ⅲ)．【解析】试题分析：(1)由短轴长为得，由两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点得，由此求出，即可求出椭圆方程；(2)先写出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出的坐标，从而求出，由点到直线的距离公式求出点到到直线的距离即可求三角形的面积；（3)设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形，设出直线方程，与椭圆方程联立，由韦达定理计算，即可求出的取值范围。试题解析：（1）设椭圆方程为，根据题意得所以，所以椭圆方程为；（2）根据题意得直线方程为，解方程组得坐标为，计算，点到直线的距离为，所以,;(3)假设在线段上存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．坐标为，由得，，，计算得:，其中,由于以为邻边的平行四边形是菱形,所以，计算得，即，，所以.（可以设点，也可以设直线得到和的函数关系式）考点：1.椭圆的标准方程与几何意义；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点晴】本题考查椭圆的标准方程、几何性质与直线与椭圆的位置关系,属中档题；求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题．20.设函数，为曲线在点处的切线．（Ⅰ）求的方程．（Ⅱ）当时,证明:除切点之外，曲线在直线的下方．（Ⅲ）设，,，且满足，求的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再求的值,根据导数的几何意义可知切线的斜率即为.由点斜式可得直线方程。（Ⅱ）即证明，恒成立。变形可得即证恒成立即可。令求导,讨论导数的正负，根据导数的正负可得函数的单调性.根据单调性可求其最值,其最大