-第3章-图像变换-PPT幻灯片

数字图像处理的计算方法本质上都可看成是线性的，处理后的输出图像阵列可看作输入图像阵列的各个元素经加权线性组合而得到，这种空间线性处理要比非线性处理简单。正交变换是图像处理技术的一种重要工具，在图像处理中，如图像增强、复原、编码、描述和特征提取等方面，都有着广泛的应用。通过正交变换改变图像的表示域及表示数据，给后续处理工作带来了极大的方便。三大类型:

正弦型变换:傅里叶变换、余弦变换和正弦变换；

方波型变换:哈达玛变换、沃尔什变换、斜变换和Haar变换；基于特征向量的变换:Hotelling变换、K－L变换和SVD变换。4.1图像的正交变换对于数字图像或图像块f(x,y)，其二维离散线性变换的一般形式为： (4.1.1)反变换为： (4.1.2)在变换中，大部分变换核可分离的： (4.1.3) (4.1.4)正变换核4.1图像的正交变换4.2傅里叶变换1.1-DFourier变换

对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设采了N个样,则序列可表示为{f(0),f(1),f(2),….,f(N-1)},借助这种表达,可将离散傅里叶变换对定义为:

(4.2.1) (x:离散实变量,u:离散频率变量) (4.2.2)

与1-D情况类似，2-D傅利叶变换的频谱、相位角和功率谱定义：

(4.2.11)(4.2.12)2.2-DFourier变换(4.2.13)例：2-D图像及其傅频谱的显示例：灰度图像及其傅频谱的显示

djhw例：彩色图像及其傅频谱的显示djhw傅里叶变换结果的频率成分的分布

四角周围对应于低频成分，中央部位对应于高频成分。为使直流成分出现在变换结果数组的中央，可采用对角的换位方法。注意；换位后的数组再进行反变换时，必须先反换位。4.3离散傅里叶变换的若干性质离散傅里叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系，把空间域难以显现的特征在频域中十分清楚地显现出来。二维离散傅里叶变换的性质。1．周期性和共轭对称性若离散博里叶变换和它的反变换周期为N，则有

(4.2.16)共轭对称性可表示为：

(4.2.17)

(4.2.18)4.3离散傅里叶变换的若干性质2．分离性一个二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换来实现。式(4.2.16)可分成下面两式：

(4.2.19) (4.2.20)xyN-1N-1N-1N-1vuxvN-1N-14.3离散傅里叶变换的若干性质3．平移性质傅里叶变换对的平移性可表示为： (4.2.21)和 (4.2.22)21式表明，将f(x,y)与一个指数相乘相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置(u0,v0)。22式表明将F(u,v)与一指数项相乘相当把反变换后的空域中心移位(x0,y0)。从22式还知：对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。4.3离散傅里叶变换的若干性质4．旋转性质首先借助极坐标变换x=rcosѲ、y=rsinѲ，u=ωcosΦ中、v=ωsinΦ将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,Ѳ)和F(ω,Φ)，代入傅里叶变换对：

(4.2.23)上式表明，对f(x,y)旋转Ѳ0的傅里叶变换对应于其傅里叶变换F(u,v)也旋转Ѳ0，反之亦然。

5．分配律

根据傅里叶变换对定义可得： (4.2.24)表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足。6．尺度变换（缩放）给定两个标量a和b，可证明傅里叶变换有以下2式成立：

(4.2.25)(4.2.26)7．平均值

对二维离散函数f(x,y)，其平均值可用下式表示：

如将u=v=0代入(4.2.9)，得：8．离散卷积定理设f(x,y),g(x,y)分别是AXB和CXD的2个离散函数，则它们的离散卷积定义为: (4.2.28)(4.2.27)式中：x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1;M=A+C-1;N=B+D-1对两边进行傅里叶变换： (4.2.29)这就是空间域卷积定理。(4.2.30)4.3离散傅里叶变换的若干性质9．离散相关定理

大小为AXB和CXD的2个离散函数f(x,y)、g(x,y)的互相关定义为：式中，M=A＋C-1；N=B＋D-1。则相关定理为:(4.2.32)(4.2.31)4.4离散傅里叶变换的Matlab实现函数fft、fft2和fftn分别实现一、二和N维DFT算法，函数ifft、ifft2和ifftn用来计算反DFT，它们是以需要进行反变换的图像作为输入参数，计算得到的输出图像。这些函数的调用格式如下： A＝fft(X,N,DIM)其中:X输入图像，N采样间隔点，如X小于N则对X填零否则截取为N；DIM变换的维数;A返回矩阵。A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指定对X进行零填充后的X大小。4.4离散傅里叶变换的Matlab实现 A＝fftn(X,SIZE)SIZE是个向量，它的每个元素指定X维零填充后的长度。ifft、ifft2和ifftn的调用格式与对应的变换函数一致。例4.1图像f(x,y)的显示及其傅里叶变换。 F=fft2(f);F2=log(abs(F));imshow(F2,[-1,5],'notruesize')结果如下：

变换较糙-->填零为2的幂F=fft2(f,256,256)-->F2=fftshift(F)修正原点构造一个二值图像f：f=zeros(30,30);f(5:24,13:17)=1;imshow(f,'notruesize')4.4离散傅里叶变换的Matlab实现例4.2图像的二维离散博里叶频谱。

I=imread('c:\grayqw.bmp')；imshow(I) J=fftshift(fft2(I))； figure; imshow(log(abs(J)),[8,10])；4.4离散傅里叶变换的Matlab实现例4.3二维离散傅里叶变换的旋转性。I=zeros(256,256);

％构造图像并显示I(28:228,108:148)=1;imshow(I)J=fft2(I);F=abs(J);％变换后显示J1=fftshift(F);imshow(J1,[5,50])K=imrotate(I,45,'bilinear','crop');imshow(K)J=fft2(K);F=abs(J);J2=fftshift(F);imshow(J2,[5,50])4.4离散傅里叶变换的Matlab实现例4.4比例尺展宽。

I=zeros(256,256); fori=1:256I(28:248,110:136)=5; forj=1:256imshow(I) I(i,j)=I(I,j)*a;a=0.1;b=0.5;

endJ3=fft2(I) endF2=abs(J3); J2=fft2(I);F1=abs(J2);J4=fftshift(F2); J3=fftshift(F1);imshow(J4,[530]) imshow(J3,[530])4.5离散余弦变换离散余弦变换（DCT）的变换核为实数的余弦函数，因而DCT的计算速度要比变换核为指数的DFT快得多，已广泛应用到图像压缩编码、语音信号处理等众多领域。4.5.1一维离散余弦变换函数f(x)的一维DCT为:式中，u=1,2,3,…,N-1；x=1,2,3,…,N-1。(4.5.1)4.5离散余弦变换离散余弦变换（DCT）的变换核为实数的余弦函数，因而DCT的计算速度要比变换核为指数的DFT快得多，已广泛应用到图像压缩编码、语音信号处理等众多领域。4.5.1一维离散余弦变换函数f(x)的一维DCT为:式中，u=1,2,3,…,N-1；x=1,2,3,…,N-1。(4.5.1)4.5离散余弦变换式中，u=1,2,3,…,N-1；x=1,2,3,…,N-1。反变换为:(4.5.2)(4.5.3)(4.5.4)4.5.2二维离散余弦变换

将一维离散余弦变换扩展到二维离散余弦变换对为:其他(4.5.5)其他

该变换实际上是傅里叶变换的实数部分，但它比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，该变换能将主要的信息放到较少的系数上去，因此就更能提高编码的效率。4.5.3离散余弦变换的Matlab实现函数dct2和idct2用于二维DCT变换和反变换。1．dct2函数 功能：二维DCT变换。格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dctZ(A,[mn])说明:1式计算A的DCT变换B,A与B大小相同；2和3式通过对A补0或剪裁，使B的大小为mxn。2．idctZ函数 功能：DCT反变换。格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)B=idctZ(A,[mn])3．dctmtx函数功能：计算DCT变换矩阵。格式：D=dctmtx(n)说明：返回一个nXn的DCT变换矩阵，数据为double类型。例4.5二维余弦正反变换的实现。

RGB=imread(‘c:\qw.bmp’)；％读入彩色图像I=rgb