湖北省孝感市安陆职业高级中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析

湖北省孝感市安陆职业高级中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若满足，，则（

）A．(－3,0)

B．(1,0)

C．(0,－3)

D．(0,1)参考答案：A2.已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（

）A.3π

B.2π

C.πD.4π参考答案：A3.对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）?f（a﹣x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈时，f（x）的取值范围为，则当x∈时，f（x）的取值范围为（）A． B． C． D．R参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）?f（﹣x）=1，则f（x）≠0，且f（1+x）?f（1﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1=f（x）?f（﹣x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x∈，则﹣x∈，2﹣x∈，此时1≤f（x）≤2∵f（x）?f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=∈，∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈，∴当x∈时，f（x）∈．即一个周期内当x∈时，f（x）∈．∴当x∈时，f（x）∈．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．4.设集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．（2，4） B．（0，2） C．（1，4） D．（0，4）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：A．5.（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（x﹣）C．y=sin4xD．y=sinx参考答案：D【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sinx，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.已知、是不同的平面，、是不同的直线，则下列命题不正确的是

若∥则.

若∥则∥

若∥，，则.

若则∥.参考答案：B7.执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．28参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=28，b=28时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=56，b=140，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=140﹣56=84，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=84﹣56=28，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=56﹣28=28，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8.如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（） A．{2}∪（4，+∞） B．（2，+∞） C． {2，4} D． （4，+∞）参考答案：A9.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是

（

）

A．

B．

C．或

D．参考答案：C因为是2和8的等比中项，所以，所以，当时，圆锥曲线为椭圆，离心率为，当时，圆锥曲线为双曲线，离心率为，所以综上选C.10.如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，直线与底面所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为_____.参考答案：12.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：2如图作出可行域：令，即当直线经过B点时，纵截距最小，即t最大，此时即的最大值为2故答案为：2

13.令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为参考答案：14.已知直线与圆交于不同的两点，，是坐标原点，若圆周上存在一点C，使得为等边三角形，则实数的值为________.参考答案：15.设满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：216.设函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集用区间表示为_________.

参考答案：略17.为了增强学生的环境意识,某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均为整数,满分100分)整理得到的频率分布直方图如图，图中第一组(成绩为)对应矩形高是第六组(成绩为)对应矩形高的一半，第六组的学生人数是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}是前n项和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求证：数列{an}为等比数列．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a1?a2；（Ⅱ）根据等比数列的定义即可证明数列{an}为等比数列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴当n=1时，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，当n=2时，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，则a2=2，则a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）证明：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，则an=﹣an﹣1，即=﹣1，即数列{an}为公比q=﹣1的等比数列．【点评】本题主要考查等比数列的证明，利用数列的递推关系是解决本题的关键．19.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵，∴在Rt△DHE中，EH=x，．∴．∴．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．20.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，则当时，函数的图像是否总在直线上方？请写出判断过程.参考答案：【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性【试题解析】（1）函数定义域为

①

②

③

综上所述，①

②

③

（2）当时，由（1）知

令．

①

当时，，所以函数图象在图象上方．

②

当时，函数单调递减，所以其最小值为，大

值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，

其中

，

令，，令，则

因所以，单调递增；

所以，故存在

使得

所以在上单调递减，在单调递增

所以

所以时，即也即

所以函数f(x)的图象总在直线上方．21.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AB=，求二面角B﹣AD﹣E的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）只需证明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC（Ⅱ）易得∴，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos，求得二面角B﹣AD﹣E的大小为600．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…因为AB?平面ABD，所以DC⊥AB…又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC．…（Ⅱ）∵AB=，AD=1．∴DB=依题意△ABD∽△BDC，所以，即．∴

…如图所示，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），A（），，）．…由（Ⅰ）知平面DAB的法向量．…设平面ADE的法向量由，令x=，可取）．…所以cos=﹣．…由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，所以二面角B﹣AD﹣E的大小为600．…

22.已知函数与函数且图象关于对称（Ⅰ）若当时，函数恒有意义，求实