湖南省永州市双牌县第四中学2022年高三数学文摸底试卷含解析

湖南省永州市双牌县第四中学2022年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知M为双曲线的右支上一点，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，，则双曲线C的离心率为(

)．A. B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】设双曲线另一个焦点为，线段的垂直平分线过点，，由此可以判断是等边三角形，边长为，这样利用双曲线的定义可以求出的大小，在中，利用余弦定理可以列出等式，最后可以求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线另一个焦点为，如下图所示：

因为线段的垂直平分线过点，，所以是等边三角形，边长为，为双曲线的右支上一点，所以有，在中，由余弦定理可得：，即，解得，即，双曲线的离心率为4，故本题选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想.2.设全集，集合，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.曲线在处的切线方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A4.sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值．【解答】解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=；故选C．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点，熟练运用．5.已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m?f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C． D．2参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．6.在同一坐标系内作出的两个函数图像图1所示，则这两个函数为（

）A、和

B、和

C、和

D、和参考答案：【知识点】指数函数与对数函数的概念与图像；B6，B7【答案解析】D解析：解:由指数函数的概念与对数函数的概念可知两个函数的图像应该为和所以D选项正确【思路点拨】根据指数函数的定义与对数函数的定义可以直接找到正确结果.7.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种参考答案：B考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．解答：解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36﹣6=30，故选：B点评：对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．8.已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取名同学，其中高一的同学有30名，则A.65 B.75 C.50 D.150参考答案：【答案解析】B

由题意得：，解得n=75．故选：B．10.函数y＝xln(－x)与y＝xlnx的图象关于()A．直线y＝x对称

B．x轴对称C．y轴对称

D．原点对称参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，与的延长线交于点．若，，则的长为

.

参考答案：略12.扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__*___参考答案：4cm2略13.若a>b>c且a+b+c=0，则：①>，②>bc，③bc<,④的取值范围是：(,1)，⑤的取值范围是：（-2，）。上述结论中正确的是_____________.参考答案：①③④⑤略14.已知集合,则等于(

)A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}参考答案：B略15.直线的位置关系为----------参考答案：-相交或相切略16.已知偶函数f（x）满足，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若区间[﹣1，3]上，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有3个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，）【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由题意，偶函数f（x）满足求出函数f（x）的周期，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么根据周期求再区间[﹣1，3]上的各解析式．函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k是一个一次函数，有3个零点只能与每一个解析式都有一个交点．从而求实数k的取值范围． 【解答】解：由题意：，可得f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数； 当x在[0，1]，f（x）=x，由于f（x）是偶函数，∴x在[﹣1，0]时，f（x）=﹣x； f（x）是周期为2的函数，f（2）=f（0）=0，x在[1，2]时，函数解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]时，函数解析式：y=x﹣2 函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k是一个一次函数，看成是f（x）与h（x） h（x）=kx+k=k（x+1）图象恒过（﹣1，0）， 从图象上可以看出：直线过h（x）=k（x+1）过坐标（3，1）时，与f（x）有4个交点．此时斜率k=． 直线过h（x）=k（x+1）过坐标（1，1）时，与f（x）有2个交点．此时斜率k=． 不难看出：k在时，f（x）与h（x）有3个交点，即g（x）=f（x）﹣kx﹣k有3个零点． 故答案为（）． 【点评】本题考查了函数的周期和分段函数的图象，直线恒过点及斜率的问题．通过数形结合，作出图象，可以看出斜率的范围．综合性强，属于难题． 17.已知函数，若，则___．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.20．二次函数满足，且.(1）求的解析式；(2）在区间上，图象恒在直线上方，试确定实数取值范围.参考答案：（1）由，可设

故

由题意得，，解得；故(2）由题意得，

即

对恒成立设，则问题可转化为又在上递减，故，故

19.如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．⑴求证：；⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．参考答案：⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，∴，．∴平面，∵平面，∴

⑵当为中点，即时，平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故平面．⑶作于，连结，∵面，四边形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，∴是二面角的平面角，即，另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为，则，，，，，，，．⑴，，∴⑵要使平面，只需，而，由可得，解得，，∴，∴故当时，平面设平面的一个法向量为，则，而，，∴，取，得，同理可得平面的一个法向量设所成的角为，则，即，∴，∴

∵面，∴就是与底面所成的角，∴．20.（本小题满分14分）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设．证明．参考答案：【解】本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，．先证，．当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：（1）当时，，等式成立．（2）假设时等式成立，即，．由题设，①的两边分别减去②的两边，整理得，从而．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．综上所述，等式对任何的都成立．再用数学归纳法证明，．（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．解法二：由题设①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以，，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得，由（Ⅰ）并化简得，．止式对也成立．由题设有，所以，即，．令，则，即．由得，．所以，即，．解法三：由题设有，，所以，，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，．由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．上式对时也成立．以下同解法二，可得，．（Ⅲ）证明：．当，时，．注意到，故．当，时，．当，时，．当，时，．所以．从而时，有总之，当时有，即．21.对于每个正整数n，以s(n)表示满足如下条件的最大正整数：对于每个正整数k≤s(n)，n2都可以表示成k个正整数的平方之和．1．证明：对于每个正整数n≥4，都有s(n)≤n2－14；2．试找出一个正整数n，使得s(n)＝n2－14；3．证明：存在无限多个正整数n，使得s(n)＝n2－14．参考答案：解析：用反证法证明如下：假设对某个n≥4，有s(n)≥n2－14，则存在k＝n2－13个正整数a1，a2，…，ak，使得于是就有从而3b＋8c＝13这表明c＝0或1；但相应的b不为整数，矛盾．2．每个大于13的正整数m可以表为3b＋8c，其中b、c为非负整数．事实上，若m＝3s＋1，则s≥5，m＝3(s－5)＋2×8．若m＝3s＋2，则s≥4，m＝3(s－2)＋8．由即知n2可表为n2－m个平方和，从而n2可表为n2－14，n2－15，…，对于n＝13，有n2＝122＋52＝122＋42＋32＝82＋82＋52＋42由于82可表为4个42的和，42可表为4个22的和，22可表为4个12的和，所以132＝82＋82＋52＋42可表为4，7，10，…，43个平方的和，又由于52＝42＋32，132可表为5，8，11，…，44个平方的和．由于122可表为4个62的和，62可表为4个32的和，所以132＝122＋42＋32可表为3，6，9，…，33个平方的和．为18＋2×9＝36，18＋2×12＝42个平方的和．再由42为4个22的和，132也可表为39个平方的和．综