选择性空间向量与立体几何专题03空间向量基本定理（原卷版）

空间向量与立体几何专题03空间向量基本定理一、学习目标：1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理；2.熟练运用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题。二、知识梳理1.温故知新：平面向量基本定理如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，则称,为表示这一平面内所有向量的一个基底.2.空间向量基本定理（1）定义：如果三个向量____________，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使____________.（2）基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把____________叫做空间的一个基底，都叫做____________。说明：空间任意三个____________的向量都可以构成空间的一个基底.3、空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两____________，那么这个基底叫作____________，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是____________向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。____________称为空间向量的正交分解.三、类型归纳类型一：基底的基本概念及辨析类型二：用基底表示空间向量类型三：用空间向量基本定理求参数类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题四、类型应用类型一：基底的基本概念及辨析【例1】若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【变式训练1】已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（

）A． B． C． D．类型二：用基底表示空间向量【例2】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示．【变式训练21】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）A． B．C． D．【变式训练22】在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、．【变式训练23】如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（

）A． B． C． D．类型三：用空间向量基本定理求参数【例3】如图，在正方体中，点E是上底面的中心，若，求的值．【变式训练31】若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______．【变式训练32】如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，若.则__________.类型四：用空间向量基本定理解决平行、垂直、夹角等问题【例41】如图

1.23,在平行六面体

中，,，分别为的中点，求证:.【例42】如图，

正方体的棱长为

1,

分别为的中点.（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值.【变式训练41】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.求证EG⊥AB.【变式训练42】已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【变式训练43】棱长为2的正