2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第23讲导数与三次函数含解析

Page1第23讲导数与三次函数知识与方法三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余．本节我们对三次函数y＝a1．单调性对于三次函数f(x)＝ax3(1)若b2-3ac⩽0，则f(2)若b2-3ac＞0，令f'(x)＝3ax2＋2bx＋c2．图象下图中，x1，x2为函数f(3．极值由(1)可得以下结论：三次函数f((1)若b2-3ac⩽0，则f(2)若b2-3ac＞0，则且f(x)在x＝x14．零点个数对于三次函数f((1)若b2-3ac⩽0，则方程f(x(2)若b2-3ac＞0，且fx1⋅f(3)若b2-3ac＞0，且fx1⋅(4)若b2-3ac＞0，且fx1⋅f【点睛】若方程ax3＋则有a右边展开，再比较系数可得：x这个结论叫做三次方程的韦达定理．5．对称性定理：三次函数f(x)＝证法1：点睛意到f(xf(令g(x)＝易知g(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(证法2：设y＝f(x取y＝f(则A关于(m，n)的对称点A所以2n所以y与y＝a可得b＝-6故f(x)图象关于点【点睛】事实上，f'(x)＝3ax2＋2bx＋c6．三次函数解析式(1)一般形式：f((2)已知函数图象的对称中心为(m，n)(3)已知函数图象与x轴的三个交点的横坐标x1，x2(4)已知函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x0，则f7．切割线性质定理：如图所示，点P是函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象上任意一点(非对称中心)【证明】设y＝直线PT：直线PAB：联立(1)(2)，得a由韦达定理得：2x联立(1)(3)，可得a同理，可得：xA由(4)(5)得：2xT＋x故xA，xT，推论1：如左下图所示，设P是f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象上任意一点(非对称中心)推论2：如右上图所示，x1，x2为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)对于方程f(x)＝典型例题三次函数图象的对称性【例1】给出定义：设f'(x)是函数y＝f(x)的导函数，f''(x)是函数y＝f'(x)的导函数，若方程f''(x)A．-8082 B．-8080 C.8084D【解析】因为函数f(x)＝令f''(x)＝0，由题意可知，f(x)的拐点为(1，-2)，所以f(2-令S＝则S＝两式相加，得2S所以S＝4041×(-4)2＝-8082【例2】已知直线l与曲线y＝x3-6x2＋13x-9相交A．y＝-2xC．y【解析】解法1：因为y＝所以曲线y＝x3-6由于函数y＝x3＋x是奇函数因此曲线y＝x3-6由已知|AB|＝|BC|＝由此可得点B一定为曲线y＝x3-6x设直线l的方程为y＝kx＋m，可知点(2，1)在直线已知|AB|＝|此时A(1，-1)，B(2故答案选：B．解法2：由y＝x3-6曲线y＝x3-6x2直线l过B(2，1)，与三次函数联立y得(x设Ax1，y所以|AC|＝1故直线l的方程为y-1＝2(x解法3：y＝因此可以将原函数平移为：y＝设平移后的直线及对应点仍然用原来字母表示，由|AB|＝|BC|＝5不妨设BC：y＝kx由|BC|＝5因此原题中l的方程为：y-1＝2(x三次函数切线问题【例3】已知函数f(x)＝2x3(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(3)问过点A(-1，2)【解析】(1)由f(x)＝令f'(x)＝0因为f(-2)所以f(x)在区间[-2(2)解法1：设过点P(1，t)的直线与曲线则y0＝2x所以切线方程为y-因此t-y0＝6x设g(x)＝4x等价于“g(xg'(x)＝12x2-12当x变化时，g(xx(-∞0(01(1g＋0-0＋g↗t↘t↗所以，g(0)＝t＋3是g(x当g(0)＝t＋3⩽0g(x)在区间(-∞，1)和(1，当g(1)＝t＋1⩾0g(x)在区间(-∞，0)和(0，当g(0)＞0且g(1)＜0，即所以g(x)分别在区间[-1，由于g(x)在区间(-∞，所以g(x)分别在区间(-∞，综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f解法2：设过点P(1，t)的直线与曲线y＝则切线方程为y＝6m2故t＝6m2令g(于是函数g(m)在(-∞，0)上单调递减，在(0，因为直线y＝t与函数g所以t的取值范围为(g(0)，g(3)过点A(-1，2)存在3条直线与曲线过点B(2，10)存在2条直线与曲线过点C(0，2)存在1条直线与曲线【点睛】本题主要考查函数与方程：(1)通过导数求得最值；（2）把过P的直线与曲线相切转化为函数的零点问题，再分类讨论；(3)画出函数图象，找出顶点，根据函数单调性画出草图，再根据给出的三个点的位置即可判断出切线条数．一般地，如图所示，设三次函数f(x)图象在其对称中心处的切线为l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为I，II，III(1)过区域II，III内的点或对称中心作f(x)的切线(2)过切线l或函数f(x)图象上的点(对称中心除外)作f((3)过区域I，IV内的点作f(x)的切线【例4】已知函数f(x)＝1(1)当a＝-1时，若函数f(x)在[0，1](2)讨论函数f(x)在区间(3)若曲线y＝f(x)上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直【解析】(1)当a＝-1时，当x∈[0，1]时，f'(x)由f(x)min＝(2)f'(x)＝因为△＝4a(1)当方程f'(x)＝0在区间(a(2)当方程f'(x)有f'(a)＜(3)当方程f'(x)＝0在区间(a综上：当a⩾33时，f(当-33⩽a＜33在区间(-a＋当a＜-33时，f在区间-a-(3)设Px1，fx1又设过P点的切线与曲线y＝f(则Q点处的切线方程为y-所以fx1-f因为两条切线相互垂直，所以x1即4x令t＝则关于t的方程t4t＋3所以3a2＋3＝-4t故a的取值范围是-∞，三次函数的零点问题【例5】已知函数f((1)若b＝0，且f(x)在(0，(2)若a2＋b＝0，且f(x)有三个不同的零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若存在，(3)若a＝1，b＜0，【解析】1)b＝0，令f'(x)＝0，可得x＝0或由三次函数的图象可知，a⩾0，f(所以a＜0，f(x)可得-83a3(2)a2＋b＝0，当a＝0时当a≠0时，函数f△＝8a2要使f(x)有三个不同零点即f(-不妨设f(x)的三个零点为x1则fxfx1fx2fx(2)-(1)得13因为x2-x1＞同理13x(5)－(4)得x2因为x3-x1又x1＋x3所以f(-a)＝即a3因为函数的极小值为：f(-函数的极大值为：f所以，存在实数a＝-(3)因为f＝＝所以若存在x0∈0，12∪则关于x的方程4x2＋14因为b＜0，所以方程4x2＋14x＋因为x0＞0，依题意有0＜-7＋21-48即7＜21-48b＜所以49＜21-48b＜得-2512＜b综上所述，当b∈-存在唯一的x0∈0，1当b∈-∞不存在x0∈0，1【例6】设函数f(x)＝(1)若a＝b＝c，(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和(3)若a＝0，0＜b⩽1，c＝【解析】(1)因为a＝b＝c因为f(4)＝8，所以(4-a(2)a≠b，b今f(x)＝(x-f'令f'(x)＝0，因为f(x)和f'若a＝-3，b＝1若a＝1，b＝-3若a＝-3，b＝3若a＝3，b＝1若a＝1，b＝3若a＝3，b因此a＝可得：f(x)＝(x-3)(x当x变化时，f(xx(-∞-3(-31(1f＋0-0＋f↗极大值↘极小值↗当x＝1时，函数f(x)(3)因为a＝0，0f'Δ＝今ิf'解得：x1所以x1可得x＝x1时，f(x)因为f'令x1＝t∈M＝f令g(t)＝所以函数g(t)在而g13＝49＞0所以数M(t)在t∈0【例7】已知函数f((1)当a＝0时，求函数φ(2)若函数g(x)存在极值点x0，且gx1＝g(3)用min{m，n}表示m，n中的最小值，记函数h【解析】(1)当a＝0时，φ(x令φ'(x)＜0得，0(2)因为g(x)＝因为函数g(x)存在极值点x0令g'(x)＝0得，x＝因为gx1＝g所以x13-a又因为a＝3x02，所以分解因式得x1又因为x1≠x0(3)(1)当x∈(1，＋∞)所以h(x)＝min(2)当x＝1时，若a⩽54，则g(1)⩾0，所以h(1)＝f若a＞54，则g(1)＜0，所以h(1)(3)当x∈(0，1)时，f(x)＝-ln⁡x＞0，(i)当a⩽0时，g'(x)＞0，所以g所以g(x)＞0在(0，1)上恒成立(ii)当a⩾3时，g'(x)＜0，所以g所以函数g(x)在(iii)当0＜a＜3时，函数g(x)在所以g(若ga3＞0，即0＜a＜若ga3＝0，即a＝34若ga3＜0，即34当34＜a＜54时当54⩽a＜3时，g(综上所述，当34＜a＜54极值与最值问题【例8】已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax有两个极值点x1，【解析】f'由题设可知，x1，x2为方程f'即a＜1，且因此f＝1同理，fx记y1＝f因此，直线l的方程为y＝设直线l与x轴的交点为x0，0，而fx由题设知，点x0，0在曲线y＝f(x)上，故f【点睛】本题在找到极值点x1，x2与参数a之间的联系x12＝-2x1-【例9】已知函数f((1)讨论f(x(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出【解析】(1)f(x令f'(x)＝6x(1)当a＝0时，f'(x)＝(2)当a＞0时，函数f(x)在(-∞，(3)当a＜0时，函数f(x)在-∞，(2)由(1)可得：(1)当a⩽0时，函数f(x)则f(0)＝b＝-1，(2)当a＞0时，函数f(x当a3⩾1，即a⩾3时，函数f(则f(0)＝b＝当0＜a3＜1，即0＜a＜3时，函数则f(x)的最小值fa而f(0)＝b，f(1)＝2-若-a327＋b＝-1若-a327＋b＝-1，综上可得：存在a＝0，b【例10】在R上定义运算：p⊗q＝已知f1(1)如果函数f(x)在x＝1处有极值-(2)求曲线y＝f(x(3)记g(x)＝f'(x)(-1⩽x⩽1)的最大值为M，若M【解析】(1)依题意f(解f(1)＝-43若b＝f'(x)＝-x2若b＝-1cf(x)在x＝1处有极大值(2)解f'(t)＝c得t相应的切线为y＝cx＋解cx＋bc＝-13解cx＋bc＋43b3＝-综合可知：当b＝0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有当b≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为(0，bc(3)g(x)＝-(x-b)2M＝因为f'(1)与f'(-1)之差的绝对值f若|b|⩽1，f则M＝若-1⩽bM＝若0⩽bM＝当b＝0，c＝12时所以，k的取值范围是-∞，强化训练1.．已知函数f((1)求f(x(2)当a＝1，b＝0时，若过点P(1，【解析】(1)f'令f'(x)＝0若a＞0，则当x∈(-∞，当x∈0，a3时，f'(x)＜0此时f(x)若a＜0，则当x∈-∞当x∈a3，故f(x)在-∞，a3此时f(x)若a＝0，f(x(2)设过点P(1，t)的直线与曲线则y0＝2x所以切线方程为y-因此t-y0＝构造函数g则“若过点P(1，t等价于“g(x)g'(x)x-∞111(1g＋0-0＋g↗极大值↘极小值↗所以g(x)的极大值为g1又当x→-∞时g(x)→-∞，当要使g(x)＝0有三个解，只需因此，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝2．设函数f(x)＝(1)当m＝1时，求曲线y＝f(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x【解析】(1)m＝1时，所以当m＝1时，曲线y＝f((2)由题设,,所以方程有两个相异的实根,故,且,因为,解得,因为,所以,故.①当时,,而,不符合题意;②当时,对任意的,都有,则,又,所以在上的最小值为0,于是对任意的恒成立的充要条件是,解得又因为,故的取值范围是.3.设函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;(3)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】(1)函数的导数为,可得在点处的切线斜率为,切点为,可得切线的方程为;(2)设,即有,由,可得,由的导数,当或时,递增;当时,递减.即有在处取得极大值,且为0;在处取得极小值,且为.由函数有三个不同零点,可得,解得,则的取值范围是;(3)证法1:若有三个不同零点,令,可得的图象与轴有三个不同的交点.即有有3个单调区间,即为导数的图象与轴有两个交点,可得,即,即为;若,即有导数的图象与轴有两个交点,当时,满足,即有,图象与轴交于,则的零点为2个.故是有三个不同零点的必要而不充分条件.证法2:必要性:若连续函数有三个零点,那么的单调性变化至少两次,其导数有两个零点,从而,即;非充分性:取,导数为,于是其极大值,极小值,所以只有一个零点.4.已知函数.(1)若函数有三个零点分别为,且,求函数的单调区间;(2)若,证明:函数在区间内一定有极值点;(3)在(2)的条件下,若函数的两个极值