2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第26讲最大值的最小值问题含解析

Page1第26讲知识与方法求函数g(x)=|引理1:若f(x)为[m,n]上连续的单峰函数,且f(m这个引理的几何意义十分明显,如下图所示.引理2:拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间(【点睛】f'x0定义1:平口单峰函数我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数.定义2:纵向距离我们把fx0-gx0称为f(x)与g(x)在x=x0处的纵向距离.f【点睛】求函数g(x)=|f(典型例题二次函数型【例1】设命题p:存在x0∈[1,2],使得x02+ax0+b【答案】1【解析】令f(x)=x2+ax下面求M(点睛意到区间[1,2]的长度为1,换成[0,1]不影响结果当f(0)=f(1)=-此时a=-1,即M(a,b)【例2】已知a,b∈R,f(【答亲】-2【解析】解法1:转化为二次函数记t=x,则g当对称轴为t=1且g即-1a=1,b+(此时a=-1,2b=-1解法2:切比雪夫最佳函数逼近f(x)=|2x+ax+如图kOA=1,g'(得切点P(1,2),则OP的中点Q过Q12,1且平行于OA令-ax-ba=-1,2b=-1解法3:绝对值三角不等式记g(x)=2g(0)=有4g而|则4=|4g以上各不等式只能取等号,则g或g(1)=-解得a=-1,b=-解法4:构造平口单峰函数f(x)=|2x-(-当φ(0)=φ(4),即λfφ'OP的中点Q12,12,过Q令(-a-1)x-b=12,得a=-1,对勾函数型【例3】已知函数f(x)=x+1x-ax-【答案】1【解析】x+1x如图所示,l经过12,52与2,52,方程为y=52;l1单调函数型【例4】设函数f(x)=|x-ax-b|,a【答案】-∞,【解析】解法1:构造平口单峰函数f(x)=|x-ax-令φ(x)=x+当2+4λ=0即λ=-由φ'(x)=1所以m⩽14,故m解法2:切比雪夫最佳函数逼近f(x)=|x-ax-令gx=x,则g令g'x=kOA过OP的中点1212,且与OA平行的切线方程为y=12x+14,令x=0⇒解法3:绝对值三角不等式设gx=x记fx在x∈0由g0得4g1而M⩾|g则8M⩾4|g1所以M⩾14,当且仅当所以m⩽14,故m的取值范围是解法4:记|fx|在x∈04令t=x,则y=-a其图象为抛物线的一部分,当对称轴为t=1且g0+g1此时a=12,b=14所以m⩽14,故m的取值范围是三次函数型【例5】设函数fx=x3+ax2+bx+c,a,b,c【答案】m⩽2【解析】记gx=x3+ax2+bx+c,则fx=|g\)因为-g所以6M⩾f0于是M⩾2,故m⩽2.【例6】已知函数fx=8x3-ax2-【答案】aa,b=6.【解析】解法1:四点控制|f将b=6代入(1)得-4⩽a⩽0将b=6代入(2)得0⩽a⩽4,故a=0.综上:a=0,b=6.解法2:三角代换|f得|f点睛意到|2cos3θ|⩽2,故【例7】已知函数fx=x3+ax+b的定义域为-12,记A.4 B.3 C.2 D.3【答案】C【解析】解法1:利用三次函数图像的对称性令f''x=6x=0,故ff此时M取最小值2.解法2:三点控制M⩾|f则M⩾2,当-1-a+b=解法3:三角换元令令a=-3,b=0则M的最小值为2,当a=-解法4::切比雪夫最佳逼近直线设gx=x3,x∈-12点睛意到A-1-1,B考虑与AB平行的直线与曲线gx=x由g'x=3x2,则3所以切点为11,切线方程为y=3x于是M⩾2--解法5:构造平口单峰函数构造平口单峰fx不难发现y=x3-且极值点x0=1,故M的最小值为故答案选C.强化训练1.设函数fx=2x-ax-b,若对于任意实数a,b【答案】m⩽【解析】给2x凑一个一次式,使得gx=2x+λx为12上的“平口单峰”,由g12.设函数fx=2x+ax+b,若对任意的实数a和实数b,总存在x【答案】4-2【解析】原问题等价于m⩽f构造函数gx=2x+λx所以fx其中gx则函数fx可理解为函数gx=由图可知,当函数hx位于直线l1与直线l2正中间时,函数fx取得最大值中的最小值,易知直线又g'x=-2x2+23,令g'x=0,解得x=3或所以fxmaxmin=83-433.若对于任意的b∈R,都存在x∈1a【答案】2【解析】解法1:由ax2+bx-1⩾54x用两条平行的直线l1,l当两平行线间的纵向距离最小时,距离的一半就是|fx|的最大值设过A11的直线为l1:y=ax+b1,过Ba1a的直线为l2:y=ax+b2,将A,B坐标代入,得b1=1-a,b2解法2:绝对值三角不等式由ax2+bx即1记fx=1则M⩾|f1|,M⩾|f于是2M⩾|f1所以M⩾a2-1a即a3-a结合a>1,解得a⩾2故a的取值范围是2+4.已知函数fx=x3-6x2+ax+b对于任意的实数a,bA.7 B.4 C.-4 D.【答案】A【解析】解法1:三点控制记x∈03今ेgx则g0因为2g0-3g所以6M⩾2|g所以M⩾2.等号成立时,有g0=g解得a=9,b=-此时fx=x3-所以m⩽2,即实数m的最大值为2,此时a+b=7.解法2:三角换元法f因为x∈03令x-2=2cost,则结合三倍角余弦公式:cos3α可得f当a=9时,b=-2,fx当a≠9或b≠显然2|cos3t|+|2a-18综上所述:fxmaxmin所以m⩽2,即实数m的最大值为2.解法3:纵向距离由题意,∀a,b∈R,f设x∈03时,fx的最大值为M,fx向距离,则问题等价于求函数gx=x记A3-27,连接OA所以直线OA方程为y=-9x,此直线恰好与gx记直线OA为L1,设直线L2与L1平行且与gx的图像相切于点Bx解得x=1或x=3,所以切点B1从而切线L2的方程为所以Mmin=4所以m⩽2,即实数m的最大值为2.解法4:构造平口单峰函数f所以gx在01递增,在13递减,且g所以fxmaxmin=45.已知函数fx=lnx-ax-b,对任意的a<0,b【答案】e【解析】解法1:因为a<0,所以fx=lnx所以fx记fx在1m上的最大值为则有Mm故只需lnm-因为m>1,则a⩽lnm-所以lnm-2m-1⩾0,解得解法2:记|fx|在1m上的最大值为Mma有a+b=lnm-am-只需|f1|⩾1,即a+b⩾1,即即a⩽lnm-2所以lnm-2m故m的取值范围是e2解法3:设gx=lnx,x∈1m,记|fx|的最大值为M设过A10的直线为l1:y=ax+b将A,B坐标代入,得b1则Mmab因为m