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2002年第4 童(浙江省宁波市外国语学校初三(2班命题过一个凸四边形的三个顶点的直线均平分四边形的面积,则这三线共点的充如图1,在四边ABCD,ACBDO,BODO要证的是过ADC平分面积的直线交于一点

AC平分面积的直线重合于AC.而过点D平分面积的直线必交于AC.必要性的证明(i),考虑过任意凸四边形顶点的直如图2凸四边形DAC的BCE.△BE=BO=1]△

=

BE的中点 F,AF,AFS四边形ABCD圆圆心和半径,O到O1O2的距离分别记 R2- AO·O O1有 = 1d1d2.则 R- R- R- R-

O2 1= 2 =BO2sinα=sin OO1OEF延AO1OG,BG,O2BG上由相交弦定理,知=(R+d1)(R-d1)

∴∠O1DG=α+β=∠GO1DO1G=GDO2G=CGGD∴O1G=O2R2- O

O2

R2- 1即R2-d2=AO·O 1R2-d2=BO·O

2 ∵∠CBD=∠CAD

推论,ACD△BCD的内切圆半径相等(r1=r2,

=∠OAD=

d1=d2

∴r1=AO1sinα,r2=BO2sin 1]姚勇关联三个圆的一个定理[J中等数学,1999(6)连结AE.

1故BF1 2

2 1-2∴S△ACE=S△ADC 而F是BE的中点 1-

2b- ∴OE=(1-a)(2b-1)则S△ABF=2S△ABE=2(S△ABC+S△ACE OE (1-a)(2b- =2(S△ABC+S△ADC)=2S四边形ABCD (1-a)(2b-1)+故AF平分 的面积 OE (1-a)(2b- (1-a)(2b-1)+G,连结GF.易得GF∥DE.

故DE=OD+OE BO-(1-b)BD+(1-a)(2b-1)b (1-a)(2b-1)+FBDACBC的点

(1-a)(2b-1)b(1-a)(2b-1)+因为像这样的点F4分别用F1F2F3F4表示

=a+b-2ab b 3

BF1=

CBF4H∥BOb1BD、AC的 a-1点GH作AC 4=OH 2=1 BD的平行线

22b12bABBC

∴BF1 F1 F3F1F4F2AF1

三线交于点P

2b-1+2a a+b-2FDEB F4F情形

EB·14 =OC=aBO=

a+b-22

=∵F2F4∥BD

aa+b-2 F4 F2

b=1

222 BF1AC

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