第5章偏微分方程数值解

第5章

偏微分方程数值解

5.1问题的提出

5.2基本离散化公式

5.3几种常见方程的离散化计算

5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例

总目录5.1问题的提出包含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。从实际问题中归纳出来的常用偏微分方程可分为三大类：波动方程、热传导方程和调和方程。考虑一个动态的传热过程，且不忽略纵向的热传导，就可以得到以下的偏微分方程：总目录本章目录5.15.25.35.4以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成，它所表示的真正含义如下:对于一阶偏导利用欧拉公式直接得出向前欧拉公式：时间的向后欧拉公式如下：5.2基本离散化公式总目录本章目录5.15.25.35.4以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：5.2基本离散化公式总目录本章目录5.15.25.35.41、

波动方程其中：为初值条件为边值条件

5.3几种常见偏微分方程的离散化计算当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的混合问题。总目录本章目录5.15.25.35.4xt0(a)初值问题tx0l(b)混合问题5.3几种常见偏微分方程的离散化计算图5-1初值问题和混合问题的定义域根据5.2节提供的公式，将上面波动方程离散化，得到：处理后得：（5-1）（5-2）总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：（5-3）由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推，就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。x图5-2层层递推的计算过程总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算

实例例5.1：用数值法求解下面偏微分方程，并写出VB程序。解：将所求的方程离散化，先假设以下各式：代入并化简得：(计算实例VB程序见课本)（5-4）总目录本章目录5.15.25.35.42、一维流动传热传导方程的混合问题一维流动传热传导方程的混合问题：利用5.2节中的离散化公式进行离散化，得到其离散化公式：5.3几种常见偏微分方程的离散化计算总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算将上式进行处理得到：（5-5）偏微分方程在点上进行离散化，且对时间的偏微分采用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：（i=1,2….m）图5-4隐式格式的计算过程ab总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算

例5.2请计算考虑纵向导热的套管换热器内管各点温度分布微分方程：解：首先根据前面的知识，将所求的方程离散化，先假设以下各式：代入微分方程并化简得：（5-6）(计算实例VB程序见课本)总目录本章目录5.15.25.35.43、稳态导热/扩散方程

利用化工知识，我们可以得到下面二维、三维的稳态导热或扩散偏微分方程：二维：三维：二维的稳态导热或扩散偏微分方程又称调和方程，其方程示意图见图5-4所示。常见有三种边界条件：第一类边界条件：

第二类边界条件：

第三类边界条件：图5-4方程示意图5.3几种常见偏微分方程的离散化计算总目录本章目录5.15.25.35.4例下面介绍3种迭代格式：(1)同步迭代：(2)异步迭代：(3)超松弛迭代：

当计算范围R为矩阵区域，x方向m等分，y方向n等分，那么最佳松弛因子：

5.3几种常见偏微分方程的离散化计算总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算

实例例5.3：处于传热平衡状态的某保温，假设其形状为长方体，在x，y两个方向上存在热传导，且导热系数相等，已知边界温度分布如下图所示：1xy10(1,1)试列出其传热微分方程，并求出各点的温度分布（间隔以），并画出温度分布图。图5-8边界温度分布总目录本章目录5.15.25.35.4[+（）]－[＋]=05.3几种常见偏微分方程的离散化计算

实例解：取某一微元进行能量衡算，由于已达传热平衡状态，故可得传导入热量-传导出热量=0图5-9导热分析化简得：(计算实例VB程序见课本)总目录本章目录5.15.25.35.4计算结果：

x

y00.20.40.60.81.003040.873.2127.2202.83000.284104.53134.89178.09234.133000.4138158.45183.73216.13255.653000.6192207.54225.46247.06272.343000.8246254.26263.5274.3286.663001.03003003003003003005.3几种常见偏微分方程的离散化计算

实例总目录本章目录5.15.25.35.45.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例5.4.1基本设定及假设

5.4.2流体传热模型的建立

5.4.3吸附床内吸附剂传热传质模型的建立

5.4.4吸附器壁面温度轴向分布方程

5.4.5吸附器内/外无因子化方程5.4.6模型的离散化

5.4.7模型的数值求解及计算机程序介绍总目录本章目录5.15.25.35.45.4.1基本设定及假设1.吸附器结构参数的设定2.吸附床外流体传热的一些基本假设：(1)忽略流体在环隙宽度δ上的温度梯度；(2)忽略热损失；(3)忽略吸附器壁厚δb上的温度梯度，用集中参数法求取吸附器壁面温度。图5-11吸附器结构示意图总目录本章目录5.15.25.35.45.4.1基本设定及假设３.吸附床内传热传质的一些基本假设:(1)吸附床内的吸附质气体处于气滞状态；(2)忽略蒸发器、冷凝器和吸附床之间的压力差；(3)吸附床内各计算微元内达到吸附平衡。吸附量可利用回归方程计算；(4)吸附热利用微分吸附热，随吸附量和吸附温度的改变而改变；热采用有效比热，亦随温度改变，但在计算微元内，可认为是常数；(5)床层活性炭导热系数采用当量导热系数，其具体数值利用实验测量值。

总目录本章目录5.15.25.35.4在轴方向上取一环隙微元，见图，作能量分析如下：(1)流体通过流动流入环隙微元的能量其中

f

为流体的密度uf

为环隙的流体速度，

Sf为环隙的横截面积，Cpf

为流体的比热。(2)流体通过流动流出环隙微元的能量图5-12流体传热微元模型

5.4.2流体传热模型的建立总目录本章目录5.15.25.35.45.4.2流体传热模型的建立(3)流体热传导在x

处的热量导入(4)流体热传导在x+

x处的热量导入(5)微元体传递给吸附床的热量qt

总目录本章目录5.15.25.35.45.4.2流体传热模型的建立(6)微元体内的能量变化率(7)总能量平衡方程其中，

为流体的横截面积。总目录本章目录5.15.25.35.4吸附床内的热量传递主要以热传导为主，既有经向的热传导，也有轴向的热传导，为了便于建模分析，我们选取如图5-8的吸附床微元体，具体分析如下：(1)轴向热量导入5.4.3吸附床内吸附剂传热传质模型的建立

图5-13吸附床内传热传质微元体x+

x

r

r+

r

xx总目录本章目录5.15.25.35.45.4.3吸附床内吸附剂传热传质模型的建立(2)轴向热量导出

(3)径向热量导入(4)径向热量导出

总目录本章目录5.15.25.35.45.4.3吸附床内吸附剂传热传质模型的建立(5)微元体内的能量变化率其中，为吸附床层内的有效比热。(6)总能量平衡方程

其中

总目录本章目录5.15.25.35.4和前面的分析方法一样，通过微元能量平衡方程并作适当化简可得：

其中为吸附器壁面的横截面积。

5.4.4吸附器壁面温度轴向分布方程总目录本章目录5.15.25.35.4对变量作以下无因子化处理：5.4.5吸附器内/外无因子化方程通过以上的无因子化处理，可得吸附器内、外无因子化传热传质方程如下：（5-7）（5-8）（5-9）总目录本章目录5.15.25.35.45.4.5吸附器内/外无因子化方程其中：初始条件为边界条件总目录本章目录5.15.25.35.4对前面偏微分方程作以下离散化处理：

5.4.6

模型的离散化总目录本章目录5.15.25.35.4将以上的离散化表达式代入方程(5-7)～(5-9)，可得：5.4.6

模型的离散化对初始条件及边界条件亦作以下离散化处理：（5-10）（5-11）（5-12）总目录本章目录5.15.25.3