十二　夹角问题

11十二夹角问题1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选D.因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=2,则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为 ()A.1 B.77 C.12 D【解析】选A.设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,连接OC1,OD,则OC1⊥平面ABB1A1,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图.则A(-1,0,2),B1(1,0,0),B(1,0,2),C1(0,3,0),所以=(2,0,-2),=(-1,3,-2),因为·=(2,0,-2)·(-1,3,-2)=0,所以⊥,即异面直线AB1和BC1所成的角为直角,则其正弦值为1.3.在正四棱锥S-ABCD中,已知SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为 ()A.36 B.66 C.33 【解析】选C.如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(-2,0,0),B(0,2,0),S(0,0,2),所以=(22,0,0),=(0,2,-2),=(-2,0,-2).设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则即2y取x=1,则y=-1,z=-1,于是n=(1,-1,-1)是平面SBC的一个法向量.设直线AC与平面SBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==33.故直线AC与平面SBC所成角的正弦值为334.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ()A.64 B.104 C.32 【解析】选A.由题意可知,∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°,所以CC1=3B1C1,C1D1=DD1.设B1C1=1,则CC1=3,C1D1=3.如图,以A1为原点,建立空间直角坐标系,则B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3),所以=(0,1,3),=(-3,0,3).设B1C和C1D所成的角为θ,则cosθ=|cos<,>|==64.故异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为645.(多选题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为CC1,BC,CD,BB1的中点,则下列结论正确的是 ()A.B1G⊥BCB.平面AEF∩平面AA1D1D=AD1C.A1H∥面AEFD.二面角E-AF-C的大小为π【解析】选BC.连接BG由题可知,B1G在底面上的射影为BG,而BC不垂直BG,则B1G不垂直于BC,则选项A不正确;连接AD1和BC1,E,F,G,H分别为CC1,BC,CD,BB1的中点,可知EF∥BC1∥AD1,所以平面AEF与平面AD1EF重合,则平面AEF∩平面AA1D1D=AD1,所以选项B正确;由题意,可设正方体的棱长为2,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则各点坐标如下:A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),H(2,2,1),F(1,2,0),=(0,2,-1),=(-1,2,0),=(1,0,-1),=(0,0,2),设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则,即-x+2令y=1,得x=2,z=2,得n=(2,1,2),所以·n=0,所以A1H∥平面AEF,则C选项正确;由图可知,AA1⊥平面AFC,所以是平面AFC的一个法向量,则cos<,n>==23.所以二面角E-AF-C的大小不是π4,所以D不正确.6.(多选题)如图,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是 ()A.OA,OB,OC的长度相等B.直线OD与BC所成的角是45°C.直线AD与OB所成的角是45°D.直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为3【解析】选AC.因为三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,将几何体放入正方体中,所以OA=OB=OC=2,故A中说法正确;如图,建立空间直角坐标系.可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(2,2,2),所以=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,2,2),=(2,2,2),=(0,-2,2).故·=0,即⊥,直线OD与BC所成的角是90°,故B中说法不正确;cos<,>==22,可得直线AD与OB所成的角是45°,故C中说法正确;设平面ACD的法向量n=(x,y,z),则即-2令x=1,则y=-1,z=1.所以n=(1,-1,1)为平面ACD的一个法向量.设直线OB与平面ACD所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==22×3=33,cosθ=67.在空间直角坐标系中,若A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量与平面Oxz的法向量的夹角的正弦值为________.

【解析】设平面Oxz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0).由题意知=(1,3,6),所以cos<n,>==3t4|因为<n,>∈[0,π],所以sin<n,>=1-3t4答案:78.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=________.

【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,则x=由题意得|cos<n,m>|=1a29又因为a>0,所以a=125答案:129.如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.【解析】以O为坐标原点,,的方向为x轴,y轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,1,3),A(3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0),所以=(-3,1,-3),=(3,-1,-3).所以|cos<,>|==|(-3,1,-3)·(所以异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为1710.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E为PB的中点,________.试证明四边形ABCD是直角梯形,并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.

从下列两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答.①CD⊥BC;②BC∥平面PAD.【解析】选择条件①.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.因为PA=AD=CD=2,所以PD=22.又因为PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.因为PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AD.又因为CD⊥BC,所以AD∥BC.所以四边形ABCD是直角梯形.如图,过点A作AD的垂线,交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).所以=(2,2,-2),=(0,2,-2).因为E为PB的中点,所以E1,-所以=1,-1设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得n=(0,1,1).设直线AE与平面PCD所成的角为α,所以sinα=|cos<n,>|=-12×1+1×12所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26选择条件②.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.因为PA=AD=CD=2,所以PD=22.因为PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.因为PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AD.因为BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BC∥AD,则四边形ABCD是直角梯形.求直线AE与平面PCD所成角的正弦值同①.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点,则平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为 ()A.36 B.34 C.33 【解析】选D.设AC与BD交于点O,连接OF,则由题意可知,OB,OC,OF两两互相垂直.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设PA=AD=AC=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B(32,0,0),F(0,0,12),C(0,12,0),所以=(0,1,-1),=(-32,12,0),=(0,12,0).易知=0,12,0设平面PBC的法向量为n=(x,y,z).则即y-取x=1,则y=3,z=3,所以n=(1,3,3)是平面PBC的一个法向量.设平面PBC与平面BDF的夹角为θ,则cosθ=|cos<n,>|=217.所以sinθ=277,tanθ=所以平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为2312.在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=22,PB⊥平面ABC,点M,N分别为AC,PB的中点,MN=6,Q为线段AB上的点(不包括端点A,B),若使异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434,则BQBA为 (A.14 B.13 C.12 【解析】选A.易知PB,BC,BA两两垂直,故以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),A(2,0,0),所以BM=2,又MN=6,所以BN=MN所以PB=4,则P(0,0,4),设BQBA=λ则=λ,且0<λ<1,所以Q(2λ,0,0),易知=(1,1,-4),=(2λ,-2,0),所以·=1×2λ+1×(-2)+(-4)×0=2λ-2,||=12+12+(-||=4λ2因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为3434,所以|cos<,>|==|2λ-2|32·4λ2+4=343413.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于__________,平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值为________.

【解析】如图,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E(1,1,13),F0所以=0,1,13,=(-1,1,0),=所以cos<,>==3510.所以异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于35由题意可知,平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面AEF的法向量为n2=(x,y,z),由n2·=0,n2·=0,可得平面AEF的一个法向量为n2=(1,-1,3).所以cos<n1,n2>=n1·n设平面AEF与平面ABCD的夹角为α,则cosα=|cos<n1,n2>|=31111,从而sinα=所以tanα=23答案:351014.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=2BC=2,D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30°,则AD的长为________.

【解析】如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),所以=(0,1,2),=(0,1,0).设AD=a(0≤a≤2),则点D的坐标为(2,0,a),=(2,0,a).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z),则⇒y+2z=0,得m=(a2,2,-1).又平面C1DC的一个法向量为=(0,1,0),记为n,则由cos30°=|m·n||解得a=233(负值舍去),故AD=答案:215.(2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.【解析】(1)如图,连接BO并延长交AC于点D,连接OA,PD,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,AO,BO⊂平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,易得△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以OE∥PD,又OE⊄平面PAC,PD⊂平面PAC,所以OE∥平面PAC.(2)如图建立空间直角坐标系,因为PO=3,AP=5,所以OA=AP又∠OB