广西壮族自治区南宁市邕宁区第二高级中学高三数学文期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市邕宁区第二高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．?参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设集合,,,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.设集合U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩（?UB）=（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．{3} D．{2}参考答案：C【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩CUB【解答】解：∵U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，∴?UB={3，4，5}A∩?UB={1，2，3}∩{3，4，5}={3}故选：C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．4.已知向量与平行,则的值为（

）A.6和-10

B.

–6和10

C.–6和-10

D.6和10参考答案：B略5.过双曲线的焦点作渐近线的垂线，则直线与圆的位置关系是（

）A．相交

B．相离

C．相切

D．无法确定参考答案：C6.若实数x，y满足，则的最大值是（

）A．3

B．8

C．14

D．15参考答案：C作出不等式组对应的平面区域如图

由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

7.在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.如右图，在ΔABC中，延长CB到D，使的值是（

） A．1 B．3 C．-1 D．2参考答案：B略9.若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则?的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由数量积的定义计算出?=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴?=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时zmax=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时zmin=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．10.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于(

)A．

B． C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，若以为直径的圆恰好过双曲线右焦点，则双曲线的离心率为

▲

．参考答案：

12.（文科）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=

．（理科）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为

．参考答案：文8；理。【考点】极限及其运算；导数的几何意义；定积分．【专题】计算题；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（文科）先运用导数求切线的斜率，得到切线方程，再根据该直线与抛物线相切，由△=0解出a；（理科）先求出两曲线的交点，得到积分的上，下限，再用定积分求面积．【解答】解：（文科）y'=1+=2，即切线的斜率为2，根据点斜式，求得切线方程为y=2x﹣1，该直线又与抛物线y=ax2+（a+2）x+1相切（a≠0），联立得，ax2+（a+2）x+1=2x﹣1，整理得，ax2+ax+2=0，由△=0解得a=8（舍a=0），故答案为：8．（理科）联立方程解得x=0或x=1，两曲线围成的面积根据定积分得，S=x﹣==，故答案为：．【点评】本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用，属于基础题．13.设为正六边形，一只青蛙开始在顶点处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到点，则停止跳动；若5次之内不能到达点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共▲种。参考答案：26略14.若实数x，y满足不等式组，则z=y﹣2x最小值等于﹣2，z的最大值．参考答案：10【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出m的值，然后结合数形结合即可得到结论．【解答】解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点C时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值﹣2，由得，即C（1，0），将C（1，0）代入x+y+m=0，得m=﹣1，即此时直线方程为x+y﹣1=0，当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值由，得，即B（﹣3，4），此时z的最大值为z=4﹣2×（﹣3）=10，故答案为：1015.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为

．参考答案：－1

16.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.参考答案：

17.设实数x，y满足，则的取值范围是____________.参考答案：【分析】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，根据直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，当直线过点B和过点C时，分别取到最小值和最大值，此时，，∴故答案为：【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想和运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）如图所示，⊥平面，△为等边三角形，，⊥，为中点．（I）证明：∥平面；（II）若与平面所成角的正切值为，求二面角--的正切值．参考答案：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．

…………3分又因为BM?平面PCD，CDì平面PCD，所以BM∥平面PCD．

…………5分（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面

PAC所成的角即为∠CPD．……………7分不妨设PA=AB=1，则PC=．由于，

所以CD=．……………9分

（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角．

……………12分易知PE=3EC，ME=，EF=，ks5u所以tan∠EFM=，

即二面角C-PD-M的正切值是．……………15分（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0,0,1），M（），C（1,0,0），D．则，，．若设和分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取．由，可取．

………12分所以，故二面角C-PD-M的余弦值是，其正切值是．

……………15分19.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,

a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn参考答案：解析：（1）设等差数列的公差为d，则依题设d>0

由a2+a7＝16.得

①由得

②由①得将其代入②得。即

（2）令两式相减得于是=-4=20.

已知椭圆和直线L:=1,椭圆的离心率，直线L与坐标原点的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个值，若不存在说明理由。参考答案：解：（1）直线L:=1,∴=.①

．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分e=.②

．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

由①得，

由②得

∴所求椭圆的方程是+y2=1.．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(2)联立得：.Δ

．．．．．．．．．．．．8分设，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∵，且以CD为圆心的圆点过点E，∴EC⊥ED.

．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分则∴，解得=＞1,∴当=时以CD为直径的圆过定点E.

．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

略21.已知等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an?2n，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得d=1，进而得到所求通项公式；（2）求得bn=an?2n=（n+1）?2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，a1=2，a3+a5=10，即为2a1+6d=10，解得d=1，则an=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1；（2）bn=an?2n=（n+1）?2n，前n项和Sn=2?2+3?22+4?23+…+（n+1）?2n，2Sn=2?22+3?23+4?24+…+（n+1）?2n+1，两式相减可得，﹣Sn=4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）?2n+1=2+﹣（n+1）?2n+1，化简可得，前n项和Sn=n?2n+1．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．22.已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根据x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，以及此时x的值，由f（A）为最大