幂矩阵多项式的矩阵多项式

幂矩阵多项式的矩阵多项式

1明确l级为r的情形,当文本描述了通过父矩阵计算pm的方法。定义任给以λ为变数的m次多项式f(λ)=a0+a1λ+a2λ2+…+amλm(a0,…,am均为常数),并有n阶矩阵A,令λ替换A,则可定义惟一的矩阵多项式f(A)=a0E+a1A+a2A2+…+amAm.这里称函数f(λ)为矩阵函数f(A)的母函数.下面给出矩阵多项式f(A)的计算方法.引理设n阶矩阵A的特征多项式为p(λ),f(λ)为任意多项式.若f(λ)除以p(λ)的余式为r(λ),则矩阵A满足f(A)=r(A).在该引理下,矩阵多项式f(A)的次数与f(λ)的次数m无关,而只与矩阵A的阶数n有关.即f(A)的次数应低于n.事实上,用p(λ)除f(λ)得f(λ)=g(λ)p(λ)+r(λ),其中r(λ)是余式,其次数低于n.一般情况下可r(λ)=b1+b2λ+…+bnλn-1,则有f(A)=r(A)=b0E+b1A+b2A2+…+bn-1An-1,其中b0,…,bn-1均为待定常数.定理1若n阶方阵A的特征多项式p(λ)有互异特征值λ1,λ2,…,λs,其重数分别为m1,m2,…,ms,且m1+m2+…+ms=n,即n阶方阵A的特征多项式为p(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms,则有r(λ)=m1-1∑k=0a1kp(λ)(λ-λ1)m1-k+m2-1∑k=0a2kp(λ)(λ-λ2)m2-k+⋯+ms-1∑k=0askp(λ)(λ-λs)ms-k.r(λ)是f(λ)除以p(λ)的余式,其次数低于n,即矩阵A满足特别地,当若矩阵A的特征根为n重根λ0时,则有f(A)=f(λ0)E+f′(λ0)(A-λ0E)+12!f″(λ0)(A-λ0E)2+⋯+1(n-1)!f(n-1)(λ0)(A-λ0E)n-1.该定理虽然得出了计算f(A)的展开式的系数计算公式,但展开的系数要逐一计算,较为麻烦.为简化计算我们利用以上结果可得出下面的计算方法.2kia为所给矩阵a所定义的矩阵本方法由下面定理2及定理3给出.定理2设f(λ)为m次多项式,且n阶矩阵A的特征多项式p(λ)中含有任意n个次数不超过n-1次的线性无关的因式g1(λ),…,gn(λ),则有这时矩阵多项式f(A)可由下列行列式给出:|f(A)f(λ1)⋯f(m1-1)(λ1)⋯f(λs)⋯f(ms-1)(λs)g1(A)g1(λ1)⋯g1(m1-1)(λ1)⋯g1(λs)⋯g1(ms-1)(λs)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯gn(A)gn(λ1)⋯gn(m1-1)(λ1)⋯gn(λs)⋯gn(ms-1)(λs)|=0.应该注意的是,该定理中所构造的行列式只是一种形式上的记法,由于第一列所表示的元素是矩阵,其余各列元素均为常数,故计算时必须按第一列展开.证由上述定理1的结论,将aik的表达式代入r(λ),将含有相同的特征值及其导数的相关项合并在一起,则可将余式r(λ)表示为r(λ)=s∑k=1[f(λk)φk1(λ)+f′(λk)φk2(λ)+⋯+f(i-1)(λk)φki(λ)],(1)其中φki(λ)(i=1,2,…,mk;k=1,…,s)为次数小于n的多项式.在(1)式中令λ替换A,并设φki(A)=Zki,Zki为所给矩阵A所确定而与f(λ)无关的矩阵,则有f(A)=s∑k=1[f(λk)Ζk1+f′(λk)Ζk2+⋯+f(i-1)(λk)Ζki],(2)其中Z11,…,Zki(i=1,2,…,mk;k=1,…,s)为未知矩阵.在(2)式中顺次将f(λ)以特征多项式包含的线性无关因式g1(λ),…,gn(λ)代入,得到n个方程,连同f(A)本身方程,共有n+1个方程,并以矩阵E和Zki共n+1个变量的线性齐次方程组{-f(A)E+f(λ1)Ζ11+⋯+f(m1-1)(λ1)Ζ1m1+⋯+f(λs)Ζs1+⋯+f(ms-1)(λs)Ζsms=Ο,-g1(A)E+g1(λ1)Ζ11+⋯+g1(m1-1)(λ1)Ζ1m1+⋯+g1(λs)Ζs1+g1(ms-1)(λs)Ζsms=Ο,-g2(A)E+g2(λ1)Ζ11+⋯+g2(m1-1)(λ1)Ζ1m1+⋯+g2(λs)Ζs1+g2(ms-1)(λs)Ζsms=Ο,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-gn(A)E+gn(λ1)Ζ11+⋯+gn(m1-1)(λ1)Ζ1m1+⋯+gn(λs)Ζs1+gn(ms-1)(λs)Ζsms=Ο.该方程组以E,Z11,…,Zki(i=1,2,…,mk;k=1,…,s)为非零解,则有|f(A)f(λ1)⋯f(m1-1)(λ1)⋯f(λs)⋯f(ms-1)(λs)g1(A)g1(λ1)⋯g1(m1-1)(λ1)⋯g1(λs)⋯g1(ms-1)(λs)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯gn(A)gn(λ1)⋯gn(m1-1)(λ1)⋯gn(λs)⋯gn(ms-1)(λs)|=0.按第一列展开即得f(A)的表达式,且应有f(A)的系数行列式|g1(λ1)⋯g1(m1-1)(λ1)⋯g1(λs)⋯g1(ms-1)(λs)g2(λ1)⋯g2(m1-1)(λ1)⋯g2(λs)⋯g2(ms-1)(λs)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯gn(λ1)⋯gn(m1-1)(λ1)⋯gn(λs)⋯gn(ms-1)(λs)|≠0.由于f(A)的表达式是由矩阵A的特征根所决定,故有下述结果.推论1若矩阵A的特征根为n重根λ0时,则有f(A)=f(λ0)E+f′(λ0)(A-λ0E)+12!f″(λ0)(A-λ0E)2+⋯+1(n-1)!f(n-1)(λ0)(A-λ0E)n-1.(3)证因矩阵A的特征根为n重根λ0,在定理中可取特征多项式p(λ)=(λ-λ0)n的n个线性无关的因式1,λ-λ0,(λ-λ0)2,…,(λ-λ0)n-1作为母函数代入,则由|f(A)f(λ0)f′(λ0)f″(λ0)⋯f(n-1)(λ0)E10000A-λ0E01000(A-λ0E)2002!00⋯⋯⋯⋯⋯⋯(A-λ0E)n-10000(n-1)!|=0按第一列展开即得(3).推论2若矩阵A的特征根为互异单根λ1,…,λn,则f(A)由给出.证因矩阵A的特征根为互异单根λ1,…,λn时,在上述定理中可取特征多项式p(λ)=(λ-λ1)…(λ-λn)的n个线性无关的因式1,λ-λ1,(λ-λ1)(λ-λ2),…,(λ-λ1)…(λ-λn-1).作为母函数代入行列式中即得(4)式.应注意,在选取特征多项式的n个线性无关的因式作为母函数时,其选取的因式是任意的,原则上应使行列式中f(A)的系数行列式易计算.如将行列式进行列变换后,行列式可变换为下面简单形式:其中αk为关于λ取定值时带有符号的常数,须由具体计算得到.按第一列展开即得f(A)的表达式.由下面的定理容易将上述矩阵多项式计算方法推广到矩阵函数的情形,并导出矩阵函数的一些计算公式.定理如果函数f(λ)在收敛圆|λ-λ0|<r中可展开为幂级数f(λ)=+∞∑k=0ak(λ-λ0)k,且矩阵A的特征值都位于收敛圆中,则矩阵函数f(A)的幂级数展开式为f(A)=+∞∑k=0ak(A-λ0E)k,即矩阵函数f(A)可由无穷次矩阵多项式表示.由上述定理及本文引理进一步可得出下列结果.定理3若矩阵A的特征多项式为n次多项式,则矩阵函数f(A)的展开式为f(A)=n-1∑k=0ak(A-λ0E)k,即矩阵函数可表示为次数低于n的有限项矩阵多项式.根据矩阵A的特征根的不同情形,由定理3可得出下列推论推论1若矩阵A的特征根为n重根λ0,则矩阵函数f(A)的展开式为f(A)=n-1∑k=0ak(A-λ0E)k为次数低于n的有限项多项式.事实上,因矩阵A有n重特征根λ0,故有(A-λ0E)k=0(k≥n),f(A)=+∞∑k=0ak(A-λ0E)k=n-1∑k=0ak(A-λ0E)k.推论2若矩阵A的特征根为互异单根λ1,…,λn(包含复根),则具体计算由定理2的推论2进行.即在计算矩阵函数f(A)时,由定理3可将f(A)的无穷项展开式转化为有限项展开式,其项数只与矩阵A的阶数n有关.设矩阵A的特征根为n重根λ0,由推论1可得到下列矩阵函数f(A)的一般表达式.一般来说,凡是对于母函数成立的任意函数定义或公式,矩阵函数也均成立.3°矩阵三角函数矩阵三角恒等式sin2A+cos2A=E,sin2A=2sinAcosA.根据定理3由于任意初等函数f(λ)都可在其收敛区间内展开成幂级数,故以f(λ)为母函数的矩阵函数是很多的.在这里就不一一列举.3矩阵三角函数a+cos2a+a-2fa-e的相关定理解易知矩阵A的特征多项式为(λ-2)(λ-1)2.取1,λ-1,(λ-1)2作为母函数代入得行列式,并对行列式进行列变换,得按第一列展开,得f(A)=f(1)E+f′(1)(A-E)+[(f(2)-f(1)-f′(1)](A-E)2即得解易知矩阵A的特征多项式为(λ-1)2(λ-2)2,可取其任一组线性无关因式为母函数.取1,λ-1,(λ-1)2,(λ-1)2(λ-2)为母函数代人行列式中,得|f(A)f(1)f′(1)f(2)f′(2)E1010A-E0111(A-E)20012(A-E)2(A-2E)0001|=0.对行列式进行列变换,得|f(A)f(1)f′(1)f(2)-f(1)-f′(1)f′(2)+f′(1)-2f(2)+2f(1)E1000A-E0100(A-E)20010(A-E)2(A-2E)0001|=0.按第一列展开,即得例3试用本文的方法证明矩阵三角函数恒等式sin2A+cos2A=E成立.证根据矩阵A的特征值的不同情况,分两种情形证明.(ii)设n阶矩阵A的特征根为互异单根λ1,…,λn,则f(A)由定理3的推论2,有|f(A)f(λ1)f(λ2)f(λ3)⋯f(λn)E111⋯1A-λ1E0λ2-λ1λ3-λ1⋯λn-λ1(A-λ1E)(A-λ2