氢原子斯塔克效应中的久期方程行列式的分布规律

氢原子斯塔克效应中的久期方程行列式的分布规律

在力学教材和一些出版物发表的论文中，我们研究了各活页的分类，并在现场重新排列中获得了这些分类的规律。本文还提供了氢原子任意分级的划分规律和氢原子在一级四环效应中的（一般）级分工规律，以便能够确定氢原子在现场的分类规律。我们知道在外电场的作用下,氢原子的球对称势场将受到破坏,能级会发生分裂,设外电场均匀并沿z轴方向,微扰算符为ˆΗ′=-D⋅ε=-(-er)⋅ε=eεrcosθ(1)取零级近似波函数:ψ(0)=n∑i=1C(0)iϕi(2)其中ϕi=ψnlm=RnlYlm根据简并微扰理论,久期方程为n∑i=1(Η′li-E′1δli)C(0)i=0(3)其中Η′li=∫ϕ*lˆΗ′ϕidτ,δli={1‚l=i0‚l≠i则问题归为计算n2个矩阵元H′li.由球谐函数的性质和球谐函数归一化性,只有满足l=l′±1,m=m′时,H′li才不为零.又因为H′l(l+1)=∫ϕ*lH′ϕl+1dτ=∫ψ*nlmeεrcosθψn(l+1)m·dτ=∫ψ*n(l+1)meεrcosθψnlmdτ=H′(l+1)l(4)所以只须取l=l′+1或l=l′-1进行计算,即可得到不为零的微扰矩阵元,这里取l=l′-1,即l′=l+1.当m=±m′时,相同nl的ψnlm与(-1)mψnl,-m是共轭复数,由此可知与±m′对应的矩阵元为H′l(l+1),m=∫ψ*nl,meεrcosθψn(l+1),mdτ=∫ψ*nl,-meεrcosθψn(l+1),-mdτ=H′l(l+1),-m(5)所以根据式(4)、(5)可求出各能级对应的矩阵元在久期方程中的分布规律.1基态能量ϕ1=ψ100=R10(r)Y00(6)代入式(4)得E′1=∫ψ*100H′ψ100dτ=0(7)即基态能量的一级修正为零,能级不分裂.2h12:21:3ea0当n=2时,未受微扰的状态是4度简并的,对应的简并波函数为{ϕ1=ψ200=R20Y00ϕ2=ψ210=R21Y10ϕ3=ψ211=R21Y11ϕ4=ψ21‚-1=R21Y1‚-1(8)将式(8)各函数分别代入式(4)、(5)得H′12=H′21=-3eεa0久期方程为|E′1Η′1200Η′12E′10000E′10000E′1|=|A200A1|=0(9)其中A1、A2是2行列的分块行列式,其乘积A1A2=0.现将分块行列式展开后解得E′1=0,0,3eεa0,-3eεa0.这4个根有2个重根,故还存在2度简并,A2有2个不为零非重根,所以n=2能级在电场作用下,4度简并的能级在一级修正中分裂为N=2×2-1=3个能级.3n值的行列式当n=3时,未受微扰的状态是9度简并的,对应的简并波函数为{ϕ1=ψ300=R30Y00ϕ2=ψ310=R31Y10ϕ3=ψ320=R32Y20{ϕ4=ψ311=R31Y11ϕ5=ψ321=R32Y21{ϕ6=ψ31‚-1=R31Y1‚-1ϕ7=ψ32‚-1=R32Y2‚-1{ϕ8=ψ322=R32Y22ϕ9=ψ32‚-2=R32Y2‚-2(10)将式(10)各函数分别代入式(4)、(5)得:Η′12=Η′21=-3√6eεa0Η′23=Η′32=-3√3eεa0Η′45=Η′54=Η′67=Η′76=-92eεa0其他矩阵元为零.故可得C(0)i不全为零的条件是久期方程式为其中A3是3行列的行列式,A2、A-2、A1是2行列的行列式,乘积A1A-2A2A3=0.把各分块行列式展开解得E′1=0‚0‚0‚±92eεa0‚±92eεa0‚±9eεa0.所以n=3能级在电场作用下,9度简并的能级分裂为N=2×3-1=5个能级,还存在2、3度简并.同理n=4状态也满足A1A-2A2A-3A3A4=0.将各分块行列式展开解得E′1=0是4重根,A-2A2、A-3A3中的E′1有不为零的解,且A±2是3重根,A±3是2重根.所以n=4能级在电场作用下,16度简并的能级将与A1对称地分裂为N=2×4-1=7个能级,还存在2、3、4度简并,从上面的讨论可知,n越大E′1=0简并越高.再从式(9)、(11)的久期方程行列式中可知,每一个久期方程行列式都可以由分块行列式组成.因为m≠m′时,H′l(l+1)的矩阵元都为零,所以每个分块行列式都是从m≠m′开始划分的.每个分块行列式中的各元素都在m=m′内,且对应每一个m值,若有i个函数,分块行列式就有i行列.4各态间矩阵元上面的分析可进一步推广为n状态情况,当在n状态时,每一个分块行列式中各元素(与矩阵元对应)所对应的简并波函数(采用各个分块标号)分别是:当m=0时:式(12)组成n行列的An分块行列式,其中ˆΗ′在式(12)各态间矩阵元的普式为Η′l(l+1)=∫ϕ*l,0ˆΗ′ϕ(l+1),0dτ(13)当m=1时:An-1:{ϕ1,1=ψn11=Rn1Y11ϕ2,1=ψn21=Rn2Y21⋮ϕl,1=ψnl1=RnlYl1l=1‚2‚3‚⋯‚n-1(14)式(14)组成n-1行列的An-1分块行列式,其中ˆΗ′在式(14)各态间矩阵元的普式为Η′l(l+1)=∫ϕ*l,1ˆΗ′ϕ(l+1),1dτ(15)当m=-1时:A-(n-1):{ϕ1,-1=ψn1‚-1=Rn1Y1‚-1ϕ2,-1=ψn2‚-1=Rn2Y2‚-1⋮ϕl,-1=ψnl‚-1=RnlYl‚-1(16)式(16)组成n-1行列的An-1分块行列式,由式(5)可知An-1=A-(n-1).当m为任意整数时:An-m:{ϕ1,m=ψnmm=RnmYmmϕ2,m=ψn(m+1)m=Rn(m+1)Y(m+1)m⋮ϕi,m=ψnlm=RnlYlm(17)其中l=m,m+1,m+2,…,(n-1)i=l-m+1式(17)组成n-m行列的An-m分块行列式,由式(5)可知An-m=A-(n-m),其中ˆΗ′在式(17)各态间矩阵元的普式为Η′i(i+1)=∫ϕ*i,mˆΗ′ϕ(i+1),mdτ(18)当m=n-2时:A2:{ϕ1,(n-2)=ψn(n-2)(n-2)=Rn(n-2)Y(n-2)(n-2)ϕ2,(n-2)=ψn(n-1)(n-2)=Rn(n-1)Y(n-1)(n-2)(19)式(19)组成2行列的A2分块行列式,由式(5)可知A2=A-2.当m=±(n-1)时:A1:{ϕ1,(n-1)=ψn(n-1)(n-1)=Rn(n-1)Y(n-1)(n-1)ϕ1,-(n-1)=ψn(n-1),-(n-1)=Rn(n-1)Y(n-1),-(n-1)(20)式(20)组成单行列的A1分块行列式.由式(12)～(20)组成n态久期方程行列式为将式(21)各分块行列式展开解出E′1的根,根据行列式对角对称性可知,除A1中E′1是零解之外,其他A±2,A±3,A±4,…中E′1有不为零的解,而且是重根,即是简并的.An有2个不为零解的非重实根,所以n2度简并的能级将与A1