矫直辊的曲线方程及曲面方程

矫直辊的曲线方程及曲面方程

0矫直辊形态的影响直隶辊是直隶机的重要部件，其主要功能是直接机械的狭窄结构。矫直辊在旋转过程中管材一边前进,一边在此过程中承受均匀的径向力和轴向力,这样管子就可以在径向和轴向发生连续的塑性变形与弹性变形,从而达到矫直和降低管子圆柱度的目的,同时对管子表面也起到了光洁和增加强度的作用。在此过程中,矫直辊曲面的形状对矫直效果有直接影响。矫直辊曲面是由矫直辊与管材接触时所形成的空间曲线所确定的,具体来说,在理想状态下,矫直辊与管材间有一定的夹角(安装角),在摩擦力的带动下两者连续紧密地接触并形成空间曲线,以此曲线为母线绕矫直辊的轴线旋转所得的旋转曲面即为矫直辊辊型的曲面。1弯曲截面方程的导出不同于以往矫直辊曲面方程基于管材进行推导,本文的工作是建立在矫直辊空间直角坐标系基础上采用空间解析几何向量法进行推导的。1.1u3000矫直辊辊面法向量设以主动辊的中心位O点为坐标原点,以主动辊的轴线OB为Z轴,以管材轴线O1E与主动辊轴线OB的公垂线OO1为X轴,以面XOZ的法向量OC为Y轴建立直角坐标系OXYZ(如图1所示),以管材轴线O1E与公垂线OO1相交的O1点为坐标原点,以O1X为X轴,O1T为T轴,管材轴线O1E为S轴,建立直角坐标系O1XTS(如图1所示)。在直角坐标系OXYZ下,管材轴线O1E的方向向量为(0,sinθ,cosθ),所建立的空间直角坐标系和矫直过程示意图如图2所示。设矫直辊与管材在M点相啮合,过M点且与MB和ME相垂直的公法线为MD,设主动辊轴线OB与管材轴线O1E间的夹角为θ,θ为安装倾斜角,设M点在OXYZ直角坐标系下的坐标为(X,Y,Z),在O1XTS直角坐标系下的坐标为(X1,Y1,Z1),OO1=C,则有下列等式成立:[X1Y1Ζ1]=[1000cosθsinθ0-sinθcosθ][XYΖ]+[C00](1)式(1)是在两个坐标系下的坐标转换等式,其中C为管材轴线AE(即O1Z1轴,O1点就是A点)和矫直辊轴线OB(即OZ轴)的空间距离,即OO1。设EM与X轴间的夹角为ϕ,管材半径为r,则管材的圆柱面方程(在O1XTS直角坐标系下)为:{X1=rcosϕY1=rsinϕΖ1=V前t(2)其中V前=π×ˉD×n060sinθ‚ˉD为矫直辊平均直径。经过计算可得管材圆柱面上任意一点的法向量→n‚→n=(X1‚Y1‚0)。显然,→n既是接触线在M点处的法向量,又是矫直辊辊面在M点处的法向量,向量→n也就是坐标系中的向量→EΜ。因为→BΜ是在矫直辊面上M点处的曲率半径,→EΜ是在管材柱面上M点处的曲率半径,在M点处EM垂直于矫直辊面,→EΜ和→BΜ均与矫直点处的切线垂直,因此→EΜ和→BΜ共线。矫直辊辊面是旋转曲面,但是矫直辊辊面上任意一点处的法向量均与矫直辊的轴线OB共面。用向量→ΟB和→ΟΜ的叉积表示平面OBM的法向量→n:→ΟB=(0‚sinθ‚cosθ)‚→ΟΜ=(X1-C‚Y1‚Ζ1),记为:→n1=→ΟΜ×→ΟB(3)根据以上分析可知:向量→n和→n1相互垂直即有如下等式成立:→n⋅→n1=0(4)将向量→n和→n1各分向量的值均转化到O1XTS直角坐标系中,然后代入(4)式可得如下等式:→n1=|ijkX1-CY1Ζ10sinθcosθ|(5)X1Ζ1sinθ-Y1cosθ=0(6)由式(2)、(6)可得如下等式:tanϕ=Ζ1tanθC=Ζcosθ-YsinθCtanθ(7)根据式(1)和(7)可得如下解:{sinϕ=(Ζcosθ-Ysinθ)tanθ√C2+(Ζcosθ-Ysinθ)2tan2θ=Ζ1tanθ√C2+(Ζ1tanθ)2cosϕ=C√C2+(Ζcosθ-Ysinθ)2tan2θ=C√C2+(Ζ1tanθ)2(其中C≥0)(8)将式(8)代入式(2)中,可得到矫直辊的啮合曲线方程(O1XTS直角坐标系中):{x=rC√C2+(ztanθ)2y=rztanθ√C2+(ztanθ)2z=Ζ(其中C≥0‚r是管材半径)(9)2.2矫直辊运动学模型的建立将(9)式代入(1)式中经整理可得到在OXYZ直角坐标系下的矫直辊曲面方程:{x=(r-√r2+(z1tanθ)2)⋅C√C2+(z1tanθ)2y=(r-√r2+(z1tanθ)2)z1sinθ√C2+(z1tanθ)2z=z1(cosθ+rtanθ⋅sinθ√C2+(z1tanθ)2)(10)将(10)式沿BO向进行剖切,可得到如下的剖切方程:{R=√x2+y2=√C2+(z1sinθ)2(1-r√C2+(z1tanθ)2)z=z1(cosθ+rtanθ⋅sinθ√C2+(z1tanθ)2)(11)其中R为啮合点处的曲率半径,Z为啮合点在直角坐标系OXYZ中的Z轴坐标值,即有效啮合区的辊身长度的一半。由于管材半径较小,所以R总是大于零的,定值θ是矫直辊的安装角,r可认为近似为零,因此可以得到下列等式:{R=√C2+(z1sinθ)2z=z1cosθ(12)变形为R2C2-Ζ2Q2=1,其中:C为矫直辊轴线OB到管材轴线O1E的空间距离,Q2=C2(tanθ)2。当θ=45°时上述曲线是等距双曲线。3矫直辊轴线剖面图根据(12)式用matlab软件绘制主动辊轴线剖面图(R-Z曲线图),如图3所示。在图3中,取θ=30°,C=60,其轴线剖面图为双曲线,该曲线形状与实际的矫直辊外观一致。较理想的辊形曲线应该是等距双曲线,因为各力在与轴线相垂直的方向投影的合力为零,对管材和机器损害较小,因此间接延长了机器使用寿命。4矫直辊在辊身长度设计方面的改进方法,为市场用空间解析几何向量法可以简洁地推导出矫直辊的曲面方程,而通过用matlab对推导结果进行的分析绘制验证表明该曲面方程曲线形状与矫直辊实际外观一致。本文的研究为矫直辊曲面方程的推导提供了新的途径,同时为今后矫直辊的力学分析计算和优化设计提供了理论依据,即安装角θ、棒料与主动辊间的空间距离C及棒料半径r直接影响着主动辊的受力情况,主动辊啮合点处半径R及Z坐标(矫直辊的辊身长度的一半)直接影响最终的矫直效果。将(12