深圳九年级数学下册第二单元《相似》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN并延长交CD于点F，则DF：FC等于（）．A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：42．如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（）．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处.若，，则点的坐标是（）A． B． C． D．4．若，则的值为（）A．5 B． C．5 D．5．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（）A．12 B．18 C．24 D．306．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，、分别交对角线于点、，若则的值为（）A． B． C． D．7．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠DC． D．且∠A=∠D8．如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（）A．2：1 B．3：2 C．5：2 D．9：4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案9．已知四个数，，，成比例的线段，那么的值是（）A． B． C． D．10．如图，直线，，，则是（）A． B． C． D．11．已知线段a、b有，则为（）A． B． C． D．12．如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（）A．2.5 B． C． D．3二、填空题13．如图，已知菱形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB、AD上的点，若BE＝AF＝1，∠BAD＝120°，＝_____．14．已知，，，；则________．15．如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，用的代数式表示________，由，可得，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得________．拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时，________．16．如图，直线，直线m，n分别与a，b，c相交于点A，B，C，D，E，F，若，，，则_______．17．如图，在正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交、于点E，G，连接，下列结论中正确的是__________．（填序号）①；②四边形是菱形；③；④．18．已知，则的值为______19．如图，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，O为BC上一点，⊙O分别与边AB、AC切于E、C，则⊙O半径是________．20．若，且，则_______．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B（﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点．（1）画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点P的对应点P1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点P的对应点P2的坐标；（3）判断△O1A1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．22．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于轴对称的；（2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；（3）设点为内一点，则依上述两次变换后点在内的对应点的坐标是______．23．（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度．（2）已知，求的值．24．如图，在等边中，点是边上一动点（不与点重合），连接，作于点，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接（1）①补全图形；②判断线段与线段的数量关系，并证明；（2）已知，点在边上，且，作直线．①是否存在一个定点，使得对于任意的点，点总在直线上，若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由；②直接写出点到直线的距离的最大值．25．如图，△ABC中，E、F分别是边AB、AC的中点，EF＝a，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，（1）当CQ＝CE时，求EP+BP的值．（2）当CQ＝CE时，求EP+BP的值．（3）当CQ＝CE时，直接写出EP+BP的值．26．将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为．（1）问题发现如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，请直接写出的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：FC的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB，AB//CD，AB//BC∴△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME，∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2，又∵AB=DC，∴DF：AB=1：4，∴DF：FC=1：3故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．2．D解析：D【分析】先判断为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，，于是可对①进行判断；证明∽，利用相似比得到，，则可对②进行判断；加上，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到，，则可对④进行判断．【详解】解：∵、为的中线，∴为的中位线，∴，，所以①正确；∵，∴∽，∴，，所以②错误；∵，∴，所以③正确；∵，∴，∵，∴，∴，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理．3．B解析：B【分析】根据题意可求得、的长度，根据点在第二象限，从而可以得到点的坐标．【详解】解：∵四边形是矩形∴∵将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处.若∴∴∴∴根据题意可设，则，则∵∴在中，∴根据题意可设∵∴∴∴∴∴∴点的坐标为．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、翻折变换、坐标与图形变化（轴对称）、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．4．C解析：C【分析】设，则，，，然后代入求值即可．【详解】解：设，则，，，∴===﹣5，故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．5．C解析：C【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD∽△ACE，即可求出AC的长．【详解】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E，可得：△ABD∽△ACE，则，即，解得：AC=24，故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD∽△ACE是解题关键．6．D解析：D【分析】根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴EF•ED=AE2，∵AE=4，∴EF•ED的值为16，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．7．B解析：B【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：、，，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；、，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；、且，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；故选：．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE∽△FGH，可得，由此即可解决问题.详解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，∴△ADE∽△FGH，∴．故选D．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．9．B解析：B【分析】利用比例线段的定义得到，然后根据比例性质求m即可．【详解】根据题意得，所以，所以．故选：B．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如

a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．10．C解析：C【分析】为了便于计算，可设AF＝2x，BF＝3x，BC＝2y，CD＝y，利用AG∥BD，可得△AGF∽△BDF，从而可求出AG，那么就可求出AE：EC的值．【详解】解：如图所示，∵AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1∴设AF＝2x，BF＝3x，BC＝2y，CD＝y∵，∴△AGF∽△BDF，∴＝∴＝∴AG＝2y∴AE：EC＝AG：CD＝2y：y＝2：1故选：C．【点睛】根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．11．C解析：C【分析】把比例式化成乘积式求出ab之间的关系即可.【详解】∵∴解得∴故选C.【点睛】本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键.12．B解析：B【分析】如图，连接AO，作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO，作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．∵菱形ABCD的边AB=10，面积为80，∴AB•DH=80，∴DH=8，在Rt△ADH中，，∴HB=AB-AH=4，在Rt△BDH中，，设⊙O与AB相切于F，与AD相切于J，连接OF，OJ，则OF⊥AB，OJ⊥AD，OF=OJ，∴OA平分∠DAB，∵AD=AB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴，∴，∴OF=．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题13．【分析】过点E作EM∥BC交AC下点M点根据菱形的性质可得△AEM是等边三角形则EM=AE=3由AF∥EM对应线段成比例即可得结论【详解】解：过点E作EM∥BC交AC于点M∵四边形ABCD是菱形∴A解析：【分析】过点E作EM∥BC交AC下点M点，根据菱形的性质可得△AEM是等边三角形，则EM=AE=3，由AF∥EM，对应线段成比例即可得结论．【详解】解：过点E作EM∥BC交AC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝4，AD∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∴△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，∵AF∥EM，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质是解题的关键．14．或【分析】根据题意可分情况考虑：当时根据比例的等比性质即可求得答案；当时即代入消元即可得解【详解】解：∵∴或①当时∵∴∴∴∴②当时有∴∴综上所述或故答案是：或【点睛】本题考查了比例的等比性质分式的化解析：或【分析】根据题意可分情况考虑：当时根据比例的等比性质即可求得答案；当时，即，代入消元即可得解．【详解】解：∵，，∴或①当时，∵∴，，∴∴∴②当时，有∴∴综上所述，或．故答案是：或【点睛】本题考查了比例的等比性质、分式的化简求值等，注意需要分类讨论．15．48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算然后根据矩形的性质可设则进行求解即可；【详解】设则∵PN∥BC∴∴即解得∴拓展：设则∵PN∥BC∴∴∴解得∴；故答案是：；48；【点睛解析：48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质可设，则，，进行求解即可；【详解】设，则，，∵PN∥BC，∴，∴，即，解得，∴，拓展：设，则，，∵PN∥BC，∴，∴，∴，解得，∴；故答案是：；48；．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键．16．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF的长【详解】解：∵直线a∥b∥c∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例解析：【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求EF的长．【详解】解：∵直线a∥b∥c，∴，即，∴EF=．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．17．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正解析：①②③【分析】根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，∴∠1=∠2=∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，∵∠4=90°-∠1=67.5°，∴∠3=∠4=∠5，∴AE=AG=EF，AG∥EF，∴四边形AEFG为菱形；故②正确，∴GF∥AB，EF=GF，∴∠6=∠7=45°，∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，∴BE=EF，GF=OF，∴BE=•OF=2OF；故③正确，设OF=a，则GF=a，BF=a，∴OB=（+1）a，∴OD=（+1）a，DF=DO+OF=（2+）a，∵∠DOG=∠DFE=90°，∴△DOG∽△DFE，∴S△DOG：S四边形OGEF=1：1．故④错误．故答案为①②③【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．18．【分析】可得y=3x代入所求式子可得结论【详解】解：∵∴y=3x∴=故答案是：【点睛】本题主要考查了比例的性质解题时注意：内项之积等于外项之积解析：【分析】可得y=3x，代入所求式子可得结论．【详解】解：∵，∴y=3x，∴=，故答案是：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．19．【分析】连接EO根据切线性质定理得OE⊥AB可得到△BEO∽△BCA根据相似三角形的性质可求出圆半径的长【详解】解：∵⊙O分别与边ABAC切于EC连接OE则OE⊥ABBC⊥AC∴∠BEO=∠BCA又解析：【分析】连接EO，根据切线性质定理得OE⊥AB，可得到△BEO∽△BCA，根据相似三角形的性质，可求出圆半径的长．【详解】解：∵⊙O分别与边AB、AC切于E、C，连接OE，则OE⊥AB，BC⊥AC∴∠BEO=∠BCA，又∠B=∠B∴△BEO∽△BCA∴又AC=5，BC=12，∴AB==13，设圆的半径为r，∴∴r=∴圆的半径是，故答案为：．【点睛】此题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握切线性质定理及相似三角形的性质与判定定理．20．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质解析：8【分析】根据等比性质，可得答案．【详解】，由等比性质，得，所以．故答案为：8．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．三、解答题21．（1），作图见解析；（2），作图见解析；（3）能关于某一点Q为位似中心的位似图形，Q（4，-2）．【分析】（1）根据平移规律，画出即可；（2）根据位似图形的性质，画出△即可；（3）对应点连线的交点即为位似中心；【详解】解：（1）△如图所示，（m+2，n-1）；（2）△如图所示，（2m，2n）．（3）能关于某一点Q为位似中心的位似图形，Q（4，-2）；【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）先根据关于x轴对称的点的坐标特征描出A1、B1、C1，然后再顺次连接即可；（2）先根据关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都扩大2倍得到A2、B2、C2的坐标，然后描点，最后顺次连接即可；（3）利用（1）、（2）中的坐标变换规律求解即可．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求图形；（2）如图，△A2B2C2即为所求图形；（3）根据（1）（2）的变换规律可得：（2a，-2b）．【点睛】本题主要考查了轴对称变换和位似变换，掌握作轴对称图形和位似图形的的步骤成为解答本题的关键．23．（1）；（2）．【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得；（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．【详解】（1）由题意得：，即，将代入得：，解得；（2）由得：，整理得：，即，解得．【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键．24．（1）①见解析；②，证明见解析；（2）①存在，点是边的中点；②【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P为直线HE与BC的交点；②通过△∽△BAP问题可解；【详解】（1）①如图；②证明即可（2）①存在点是边的中点，理由：设直线与边交于点可由得点共圆，因为，所以，即是的中点．②如图，当MP⊥HE时，MP最大，理由：，，，∴△∽△BAP，∴∠BMP=∠BPA=，【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．25．（1）2a；（2）4a；（3）2an﹣2a．【分析】（1）延长BQ交EF的延长线于点G，根据三角形中位线定理求出BC，证明