高考数学文一轮复习题第二章函数导数及其应用有解析2-22

05限时规范特训A级基础达标1．[2014·杭州模拟]下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－eq\f(1,x＋1) D．f(x)＝－|x|解析：当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈(0，eq\f(3,2))时，f(x)＝x2－3x为减函数；当x∈(eq\f(3,2)，＋∞)时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－eq\f(1,x＋1)为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.答案：C2．[2014·三明模拟]函数y＝eq\f(2,x－1)的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2] B．(－∞，2]C．(－∞，eq\f(1,2))∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，y＝eq\f(2,x－1)在(－∞，1)上为减函数，在[2,5)上也为减函数，∴eq\f(2,x－1)∈(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2]．答案：A3．[2014·沙市中学月考]函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的单调递增区间为()A．(3，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)解析：令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logeq\f(1,3)u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．答案：B4．[2014·金版原创]已知函数f(x)满足2f(x)－f(eq\f(1,x))＝eq\f(3,x2)，则f(x)的值域为()A．[2，＋∞) B．[2eq\r(2)，＋∞)C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)解析：由2f(x)－f(eq\f(1,x))＝eq\f(3,x2)①令①式中的x变为eq\f(1,x)可得2f(eq\f(1,x))－f(x)＝3x2②由①②可解得f(x)＝eq\f(2,x2)＋x2，由于x2>0，因此由基本不等式可得f(x)＝eq\f(2,x2)＋x2≥2eq\r(\f(2,x2)·x2)＝2eq\r(2)，当且仅当x2＝eq\r(2)时取等号，因此其最小值为2eq\r(2)，值域为[2eq\r(2)，＋∞)．选B.答案：B5．已知函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x＋3)的最大值为M，最小值为m，则eq\f(m,M)的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0,x＋3≥0))得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋2eq\r(1－x)·eq\r(x＋3)＝4＋2eq\r(－x＋12＋4)，当x＝－1时，y取得最大值M＝2eq\r(2)；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴eq\f(m,M)＝eq\f(\r(2),2).答案：C6．[2014·大连质检]若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：由f(1)＝eq\f(1,9)，可知a＝eq\f(1,3)，设|2x－4|＝t，当x≥2时，t为增函数，∴f(x)在此区间为减函数，选B项．答案：B7.[2014·西安中学月考]如果函数f(x)＝ax2－3x＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a的取值范围是______．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋4，函数在定义域R上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．(2)当a≠0时，二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝eq\f(3,2a).因为f(x)在区间(－∞，6)上单调递减，所以a>0，且eq\f(3,2a)≥6，解得0<a≤eq\f(1,4).综上所述，0≤a≤eq\f(1,4).答案：[0，eq\f(1,4)]8．[2014·柳州模拟]函数y＝eq\f(x,x＋a)在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．解析：y＝eq\f(x,x＋a)＝1－eq\f(a,x＋a)，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a)、(－a，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a，即a≥2.答案：[2，＋∞)9．[2014·金版原创]设函数f(x)的图象关于y轴对称，又已知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f－x＋fx,x)<0的解集为________．解析：因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数，又f(1)＝0，所以f(－1)＝0，又已知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数.eq\f(f－x＋fx,x)<0可化为xf(x)<0，所以当x>0时，解集为{x|x>1}，当x<0时，解集为{x|－1<x<0}．综上可知，不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)10．[2014·济南月考]已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)当a＝4时，证明：函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：解法一：设2≤x1<x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)·(1－eq\f(a,x1x2))＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2).(1)证明：若a＝4，则Δy＝eq\f(x1－x2x1x2－4,x1x2).∵2≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2－4>0，x1x2>0.∴Δy<0，即当2≤x1<x2时，f(x1)<f(x2)．∴当a＝4时，函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．(2)∵x1－x2<0，x1x2>0，∴若Δy＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)<0恒成立，则x1x2－a>0恒成立，即a<x1x2恒成立．又∵2≤x1<x2，∴x1x2>4，∴a≤4，即函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4]．解法二：f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2).(1)证明：当a＝4时，∵x∈[2，＋∞)，∴x2－4≥0，∴f′(x)≥0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增．(2)若f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝eq\f(x2－a,x2)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤4，∴实数a的取值范围为(－∞，4]．11．已知函数f(x)＝a－eq\f(1,|x|).(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－eq\f(1,x)，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(a－eq\f(1,x2))－(a－eq\f(1,x1))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意：a－eq\f(1,x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋eq\f(1,x)，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－eq\f(1,x1x2))．∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴2－eq\f(1,x1x2)>0，∴h(x1)<h(x2)，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)即a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]．12．[2014·长春高三联考]已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则eq\f(x1,x2)>1.由于当x>1时，f(x)<0，所以f(eq\f(x1,x2))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．(3)令x1＝9，x2＝3，由f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)－f(x2)，得f(eq\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，所以f(|x|)<f(9)，即|x|>9，解得x>9或x<－9，因此原不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．B级知能提升1．[2014·合肥检测]函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A．(－∞，0) B．[0，eq\f(1,2)]C．[0，＋∞) D．(eq\f(1,2)，＋∞)解析：y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－xx≥0，,－x1－xx<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋xx≥0，,x2－xx<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,2)2＋\f(1,4)x≥0，,x－\f(1,2)2－\f(1,4)x<0.))画出函数的草图，如图．由图易知原函数在[0，eq\f(1,2)]上单调递增．故选B.答案：B2．[2014·湖北八校联考]已知函数f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤eq\f(3,a)，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，eq\f(3,a)]．(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上为减函数，则需－a>0，此时a<0.综上a的取值范围(－∞，0)∪(1,3]．答案：(1)(－∞，eq\f(3,a)](2)(－∞，0)∪(1,3]3．[2014·朝阳模拟]设函数f(x)＝eq\f(1,2)(x＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________．解析：先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,0，x<0))易知其值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．[2014·宝鸡模拟]已知函数g(x)＝eq\r(x)＋1，h(x)＝eq\f(1,x＋3)，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝eq\f(1,4)时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝eq\f(\r(x)＋1,x＋3)，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，eq