2023届高考数学重难点二轮专题训练专题20空间角与空间距离问题B卷

专题20空间角与空间距离问题B卷一、单选题1.已知，两点都在以为直径的球的球面上，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为(

)A. B. C. D.2.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为(

)A. B. C. D.二、多选题3.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则(

)

A.直线与底面所成的角为

B.平面与底面夹角的余弦值为

C.直线与直线的距离为

D.直线与平面的距离为4.如图，正方形和矩形所在平面所成的角为，且，为的中点，则下列结论正确的有(

)A.

B.直线与所成角的余弦值是

C.直线与平面所成角的正弦值是

D.点到平面的距离是三、填空题5.在三棱锥中，底面，，，，则与平面所成角的正切值为

．6.如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是

7.如图所示，五面体中，正的边长为，平面，，且，设与平面所成角为，，若，则当取最大值时，平面与平面夹角的正切值为

四、解答题8.如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．证明：平面；若，，求点到平面的距离．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，．

求点到平面的距离；

线段上是否存在点，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出；若不存在，说明理由．10.如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于，的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，，分别是，的中点．

证明：平面若直线平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等若存在，求出点的所有可能位置若不存在，请说明理由．11.如图，平面，，．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值；若二面角的余弦值为，求线段的长．

答案和解析1.【答案】

解：取中点，连接，由可得是的外心，

则平面，又，

，由，得，即，

又，，分别是，中点，

，

以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则

与平行的向量，，

故异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

2.【答案】

解：在正方体中，，分别为棱，的中点，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，

则，，，，，

，

设平面的法向量，

则

令解得，所以，

设与平面所成角为，

则．

与平面所成角的正弦值为．

故选A．

3.【答案】

解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

对于，，，，

平面的法向量，

设直线与底面所成的角为，

则，

直线与底面所成的角不是，故A错误；

对于，，，，

，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面与底面夹角为，

则，

平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；

对于，，，，

直线与直线的距离为：

，故C正确；

对于，，平面，平面，

平面，

又，平面的法向量，

直线与平面的距离为：，故D正确．

故选：．

4.【答案】

解：由已知，，又，，平面，

所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，

又正方形和矩形所在平面所成的角为，所以，，

所以，，，，

所以，，

所以，所以，不垂直，故A错误；

，，

所以，

所以直线与所成角的余弦值是，故B正确；

设平面的法向量为，，

由已知，所以，取可得，，

即可取法向量，

直线的方向向量，

所以，，

所以线与平面所成角的正弦值是，故C正确；

因为，平面的法向量，

设点到平面的距离为，则，故D正确．

故选BCD．

5.【答案】

解：以为原点，在平面内作垂直于的射线为轴，以射线为轴，

射线为轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：

则，，，

所以，

由轴平面得平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

则，，

，，

所以与平面所成角的正切值为．

故答案为．

6.【答案】

解：以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，

过作垂直平面的直线作轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

设，得、、、，

则，，，

设平面的法向量为，

则，取，则，，

所以，平面的一个法向量为，

从而，

故直线与平面所成角的余弦值是．

故答案为．

7.【答案】

解：取中点，连接，过作，交于，

为正三角形，

，

平面，，

平面，

，，三直线两两垂直，

分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，

，，

取中点，连接，则，且，

，

平面，平面，

，又，、平面，

平面，

是平面一个法向量，

与平面所成的角为，

，

，，

则，

，解得，故

故的最大值为，此时，

平面，

向量为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

，

，取，所以，

设平面与平面所成角为，可知为锐角，

则，

，，

平面与平面所成角的正切值为．

故答案为．

8.【答案】解：证法一：取中点，连接

在中，，

在底面上，，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面．

所以平面

证法二：取中点，连接．

在中，，平面，平面．

所以平面．

在底面上，，，

则四边形为平行四边形．

所以

又平面，平面，

所以

平面

因为平面，

所以平面平面

因为平面，所以平面．

解法一：在底面上，过点作，又有底面，

如图所示，

以为原点，建立空间直角坐标系

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，则，取，得

记点到平面的距离为，则．

解法二：记点到平面的距离为，由题可知，

，．

在中，，

则．

．

因为，所以，即，

解得

9.【答案】解：如图所示，取中点，连结，，

直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，则垂直于平面，

设，则，

建立如图所示的空间直角坐标系，则有

，，，，

据此可得，

设平面的一个法向量为，

则，令可得，

从而，又，

故求点到平面的距离．

假设存在点满足题意，

点在线段上，则，

即：，

据此可得：，，从而，，

设与平面所成角所成的角为，

则，

整理可得：，

解得：或舍去．

据此可知，存在满足题意的点，点为的中点．

10.【答案】证明：因为，平面平面，平面平面，

平面，平面．解：存在，此时点与点重合．

理由如下：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图，

则，，，

，，

，，

由直线平面且过点，以及平面，得，

设，平面的一个法向量为，

则

取，得，

平面的法向量，

设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，又，，

则，

直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等，

，则，故当点与点重合时，直线与平面所成角和平面与平面的夹角相等．

11.【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图，