【解析】安徽省皖北县中联盟2022-2023学年高一下册5月联考数学试卷

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一、单选题

1．若复数是纯虚数，则实数a的值是（）

A．1B．0C．D．

2．下列叙述正确的是（）

A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

3．已知向量，，若，则（）

A．B．C．0D．1

4．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．等腰直角三角形D．以上选项都不对

5．（2023·上海）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系（）

A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面

6．已知复数满足，则下列结论正确的是（）

A．B．的虚部与实部相等

C．D．存在复数，使

7．位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东30°且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度（单位：海里/时）应为（）

A．B．20C．D．

8．在边长为6的菱形中，，现将菱形沿对角线BD折起，当时，三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（）

A．复数的虚部为

B．方程的复数根为

C．若，则复平面内对应的点位于第二象限

D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A．

B．若为斜三角形，则

C．若，则是锐角三角形

D．若，则一定是等边三角形

11．如图，正四棱柱中，，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（）

A．平面BEF

B．直线与直线BF所成的角为

C．平面BEF与平面ABCD的夹角为

D．直线与平面ABCD所成的角为

12．已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（）

A．

B．满足的点只有1个

C．

D．满足的点有2个

三、填空题

13．已知复数满足，则.

14．若单位向量满足，且，则实数k的值为.

15．已知正方体的棱长为3，则到平面的距离为.

16．在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为.

四、解答题

17．已知复数满足.

（1）求；

（2）求.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若的面积为，求a的最小值.

19．如图所示，在中，，，，.

（1）试用向量，来表示，；

（2）若，求证：D，O，N三点共线.

20．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；

（2）求多面体的体积；

（3）求证：平面平面AB1D．

21．已知空间几何体中，是边长为2的等边三角形，是腰长为2的等腰直角三角形，四边形是正方形.

（1）设平面平面，求证：；

（2）求三棱锥的体积.

22．如图，在梯形中，，，，.

（1）若，求的面积；

（2）若，求BD的长.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】复数的基本概念

【解析】【解答】解：因为是纯虚数，

所以，得：a=1，故选：A.

【分析】利用分母实数化对复数z化简，再根据纯虚数的概念求参数a即可.

2．【答案】D

【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征

【解析】【解答】解：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分是棱台，故A错误；由棱台的概念可知，棱台的侧棱延长后交于一点（原棱锥的顶点），所以B、C选项中的不一定是棱台，故B、C错误，D正确；

故选：D.

【分析】根据棱台的概念求及棱锥和棱台的关系判定即可.

3．【答案】C

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：向量，，

若，则，

所以，

所以，

故选：C.

【分析】利用向量平行的坐标运算求解.

4．【答案】C

【知识点】斜二测画法直观图；三角形的形状判断

【解析】【解答】解：根据斜二测画法，将直观图还原得：

在原图中，O为AC的中点，AC⊥OB，

由O'C'=O'A'=2O'B'，可得：OA=OB=OC=AC，

所以△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，

故选：C.

【分析】利用斜二测画法还原图形，进而判断三角形的形状.

5．【答案】B

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；

如图2，可得、、可能两两相交；

如图3，可得、、可能两两异面；

故答案为：B．

【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线、、不可能满足的关系。

6．【答案】D

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】解：A、因为，所以A错误；

B、复数z的实部是，虚部是，故B错误；

C、，故C错误；

D、取z1=1+i，则，

存在复数z1，使zz145°，C错误；

D、由已知易得：D1F∥BE，则∠EBC就是直线D1F与平面ABCD所成的角，

由已知易得：∠EBC=45°，故D正确；

故选：ABC.

【分析】假设结论成立，得出与已知相矛盾，进而判断AB选项，先找到两平面夹角的平面角，再确定角的大小即可判断C选项，先找到直线与平面所成的角再求角的度数进而判断D选项.

12．【答案】A,B,D

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示

【解析】【解答】解：根据已知条件，建立平面直角坐标系（如图），

正△ABC的边长为，中心为O，则点O是内切圆圆心，

内切圆半径r=1，OA=2，则O(0，0)，A(0，2)，，

设P(x，y)，则x2+y2=1，

A、，

所以，

所以，

所以，故A正确；

B、因为，即，

整理得：，即，

即点P到点的距离等于2，

又因为x2+y2=1，即点P到点（0，0）的距离等于1，

所以点P只有一个，即点，故B正确；

C、，

因为x2+y2=1，令，

则，

所以，故C错误；

D、，

可得：，解得：，

又因为x2+y2=1，所以，

所以点P有两个，即点，故D正确；

故选：ABD.

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，设点P坐标为(x，y)，利用向量的坐标运算求得即可判断A选项，由可得：点P到点的距离为2，又因为点P到点(0，0)的距离为1，即可求得点P的坐标进而判断B选项，利用向量的坐标运算求得，令，运用辅助角公式化简并求得的取值范围即可判断C选项，利用向量的坐标运算，由可求得点P的横坐标，再利用x2+y2=1可求得点P的纵坐标，进而判断D选项.

13．【答案】1

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】解：复数z满足，则z=，所以，故答案是：1.

【分析】先化简复数z，再求即可.

14．【答案】6

【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】解：由得：，

又因为单位向量满足，所以2k-12=0，解得：k=6，

故答案是：6.

【分析】利用向量垂直的坐标运算求解.

15．【答案】

【知识点】直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】解：建立空间直角坐标系，如图：

则A1(3，0，0)，B(0，0，3)，D(3，3，3)，C1(0，3，0)，

所以，

设平面A1BD的法向量为，

则，令x=1，则y=-1，z=1，所以平面A1BD的一个法向量为，

所以点C1到平面A1BD的距离，

故答案是：.

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面A1BD的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.

16．【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形

【解析】【解答】解：设角A、B、C的对边分别为a、b、c，

由已知得：，解得：bc=4，

由，

得：，

又因为bc=4，

所以，当且仅当b=c=2时，等号成立，

所以AM的最大值是，故答案是：.

【分析】运用三角形的面积公式，利用S△ABC=S△ACM+S△ABM，求得AM与边b、c的关系式，再利用基本不等式求解即可.

17．【答案】（1）解：因为，所以，

所以，所以.

（2）解：

.

【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数

【解析】【分析】利用复数的四则运算、分母实数化进行化简即可.

18．【答案】（1）解：由，得.

又，所以，

所以，

整理得，

因为，所以，故，

又，所以.

（2）解：因为的面积，所以.

由余弦定理可得，

当且仅当时等号成立.

即，.

故的最小值为3.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知等式，求得，进而求得角A；

（2）利用面积公式得到bc=3，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

19．【答案】（1）解：因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以.

（2）解：因为，所以，

则，

，

所以，即证D，O，N三点共线.

【知识点】向量加减混合运算；平面向量的共线定理

【解析】【分析】（1）利用向量的加、减法运算法则对向量进行分解即可；

（2）利用向量分解得到即可得证.

20．【答案】（1）解：多面体不是棱柱．理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

（2）解：易知三棱柱的体积，

三棱锥的体积，

易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

故多面体的体积．

（3）解：因为D，E分别是，AC的中点，所以，

所以四边形为平行四边形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四边形为平行四边形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）利用已知条件和棱柱的概念判断即可；

（2）利用间接法求多面体的体积，即；

（3）利用已知条件可证得四边形BB1DE和四边形ADC1E都是平行四边形，进而得到，，利用线面平行的判定定理可得：平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证.

21．【答案】（1）∵四边形是正方形，∴，

又平面，平面，∴平面，

又平面，平面平面，∴；

（2）解：法一：取CD的中点F，连接BF，

∵是边长为2的等边三角形，∴，且易得，

∵是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，

∴，

而是腰长为2的等腰直角三角形，∴，

又由题意知，，，平面，

∴平面，而平面，∴，

，平面，

所以平面，

三棱锥的体积即为三棱锥的体积，

，

故三棱锥的体积为；

法二：∵是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，

∴，

而是腰长为2的等腰直角三角形，∴，

又由题意知，，BC，平面，

∴平面，

易知，∴三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

即，

故三棱锥的体积为.

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质

【解析】【分析】（1）运用线面平行的性质定理即可证明；

（2）法一，利用换底、换高的方法将问题转化为求VB-ACE，取CD的中点F，连接BF，利用线面垂直的判定定理证得BF⊥平面ACDE，即BF为三棱锥B-ACE的高，再求得S△ACE，进而求得体积；

法二，利用已知条件可证得点D和点E到平面ABC的距离相等，即可得到VD-ABC=VE-ABC，再利用换底、换高的方法转化为求VA-BCD即可.

22．【答案】（1）解：在中，，，，

由余弦定理，得，

即，

整理可得，解得.

可得的面积.

（2）解：设，

因为，所以，，

则.

在中，由正弦定理，得，

即，

整理可得，，所以，

易知为锐角，由，可得，

所以.

因为，所以.

在中，由正弦定理，得，即，

解得，故BD的长为.

【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理求得BC，再利用面积公式求解；

（2）设∠BCA=∠ABD=θ，在△ABC中，利用正弦定理求得，再利用同角三角函数基本关系式求得的值，进而求得的值，进而在△ABD中利用正弦定理求得BD的值.

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一、单选题

1．若复数是纯虚数，则实数a的值是（）

A．1B．0C．D．

【答案】A

【知识点】复数的基本概念

【解析】【解答】解：因为是纯虚数，

所以，得：a=1，故选：A.

【分析】利用分母实数化对复数z化简，再根据纯虚数的概念求参数a即可.

2．下列叙述正确的是（）

A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】D

【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征

【解析】【解答】解：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分是棱台，故A错误；由棱台的概念可知，棱台的侧棱延长后交于一点（原棱锥的顶点），所以B、C选项中的不一定是棱台，故B、C错误，D正确；

故选：D.

【分析】根据棱台的概念求及棱锥和棱台的关系判定即可.

3．已知向量，，若，则（）

A．B．C．0D．1

【答案】C

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：向量，，

若，则，

所以，

所以，

故选：C.

【分析】利用向量平行的坐标运算求解.

4．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．等腰直角三角形D．以上选项都不对

【答案】C

【知识点】斜二测画法直观图；三角形的形状判断

【解析】【解答】解：根据斜二测画法，将直观图还原得：

在原图中，O为AC的中点，AC⊥OB，

由O'C'=O'A'=2O'B'，可得：OA=OB=OC=AC，

所以△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，

故选：C.

【分析】利用斜二测画法还原图形，进而判断三角形的形状.

5．（2023·上海）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系（）

A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面

【答案】B

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；

如图2，可得、、可能两两相交；

如图3，可得、、可能两两异面；

故答案为：B．

【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线、、不可能满足的关系。

6．已知复数满足，则下列结论正确的是（）

A．B．的虚部与实部相等

C．D．存在复数，使

【答案】D

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】解：A、因为，所以A错误；

B、复数z的实部是，虚部是，故B错误；

C、，故C错误；

D、取z1=1+i，则，

存在复数z1，使zz145°，C错误；

D、由已知易得：D1F∥BE，则∠EBC就是直线D1F与平面ABCD所成的角，

由已知易得：∠EBC=45°，故D正确；

故选：ABC.

【分析】假设结论成立，得出与已知相矛盾，进而判断AB选项，先找到两平面夹角的平面角，再确定角的大小即可判断C选项，先找到直线与平面所成的角再求角的度数进而判断D选项.

12．已知正的边长为，中心为O，P是的内切圆上一点，则（）

A．

B．满足的点只有1个

C．

D．满足的点有2个

【答案】A,B,D

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示

【解析】【解答】解：根据已知条件，建立平面直角坐标系（如图），

正△ABC的边长为，中心为O，则点O是内切圆圆心，

内切圆半径r=1，OA=2，则O(0，0)，A(0，2)，，

设P(x，y)，则x2+y2=1，

A、，

所以，

所以，

所以，故A正确；

B、因为，即，

整理得：，即，

即点P到点的距离等于2，

又因为x2+y2=1，即点P到点（0，0）的距离等于1，

所以点P只有一个，即点，故B正确；

C、，

因为x2+y2=1，令，

则，

所以，故C错误；

D、，

可得：，解得：，

又因为x2+y2=1，所以，

所以点P有两个，即点，故D正确；

故选：ABD.

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，设点P坐标为(x，y)，利用向量的坐标运算求得即可判断A选项，由可得：点P到点的距离为2，又因为点P到点(0，0)的距离为1，即可求得点P的坐标进而判断B选项，利用向量的坐标运算求得，令，运用辅助角公式化简并求得的取值范围即可判断C选项，利用向量的坐标运算，由可求得点P的横坐标，再利用x2+y2=1可求得点P的纵坐标，进而判断D选项.

三、填空题

13．已知复数满足，则.

【答案】1

【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【解答】解：复数z满足，则z=，所以，故答案是：1.

【分析】先化简复数z，再求即可.

14．若单位向量满足，且，则实数k的值为.

【答案】6

【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系

【解析】【解答】解：由得：，

又因为单位向量满足，所以2k-12=0，解得：k=6，

故答案是：6.

【分析】利用向量垂直的坐标运算求解.

15．已知正方体的棱长为3，则到平面的距离为.

【答案】

【知识点】直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】解：建立空间直角坐标系，如图：

则A1(3，0，0)，B(0，0，3)，D(3，3，3)，C1(0，3，0)，

所以，

设平面A1BD的法向量为，

则，令x=1，则y=-1，z=1，所以平面A1BD的一个法向量为，

所以点C1到平面A1BD的距离，

故答案是：.

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面A1BD的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.

16．在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为.

【答案】

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形

【解析】【解答】解：设角A、B、C的对边分别为a、b、c，

由已知得：，解得：bc=4，

由，

得：，

又因为bc=4，

所以，当且仅当b=c=2时，等号成立，

所以AM的最大值是，故答案是：.

【分析】运用三角形的面积公式，利用S△ABC=S△ACM+S△ABM，求得AM与边b、c的关系式，再利用基本不等式求解即可.

四、解答题

17．已知复数满足.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）解：因为，所以，

所以，所以.

（2）解：

.

【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数

【解析】【分析】利用复数的四则运算、分母实数化进行化简即可.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若的面积为，求a的最小值.

【答案】（1）解：由，得.

又，所以，

所以，

整理得，

因为，所以，故，

又，所以.

（2）解：因为的面积，所以.

由余弦定理可得，

当且仅当时等号成立.

即，.

故的最小值为3.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知等式，求得，进而求得角A；

（2）利用面积公式得到bc=3，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

19．如图所示，在中，，，，.

（1）试用向量，来表示，；

（2）若，求证：D，O，N三点共线.

【答案】（1）解：因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以.

（2）解：因为，所以，

则，

，

所以，即证D，O，N三点共线.

【知识点】向量加减混合运算；平面向量的共线定理

【解析】【分析】（1）利用向量的加、减法运算法则对向量进行分解即可；

（2）利用向量分解得到即可得证.

20．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；

（2）求多面体的体积；

（3）求证：平面平面AB1D．

【答案】（1）解：多面体不是棱柱．理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

（2）解：易知三棱柱的体积，

三棱锥的体积，

易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

故多面体的体积．

（3）解：因为D，E分别是，AC的中点，所以，

所以四边形为平行四边形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四边形为平行四边形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）利用已知条件和棱柱的概念判断即可；

（2）利用间接法求多面体的体积，即；

（3）利用已知条件可证