专题05一元函数的导数及其应用

专题05一元函数的导数及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1导数的概念1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．2、导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．知识点2导数的运算1、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2、导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．知识点3利用导数研究函数的单调性1、导数与函数的单调性的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．2、导数法求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．知识点4导数与函数的极值、最值1、函数的极值（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2、函数的最值（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【典例1】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，切点为，，所以切线方程为，即故选：B【典例2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则【答案】e【解析】由题设，且，则，所以，切线方程为，即，所以，故.【典例3】（2023·云南·校联考模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为.【答案】【解析】设切点为，则，，切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过原点，所以，即，解得，所以切线方程为【典例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设切点为，由函数，可得，则所以在点处的切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，设，所以，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使得过点可作曲线的三条切线，则满足，解得，即的取值范围是．故选：C．二、含参函数单调性讨论依据（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数，求函数的单调区间．【答案】答案见解析.【解析】函数的定义域为，求导得，当时，，由，得，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得或，当或时，，当时，，因此在，上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此在上单调递增；当时，当或时，，当时，，因此在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性．【答案】答案见解析【解析】函数的定义域为，求导得，令，得，其中.当时，，故在上单调递增；当时，，则，故在上单调递增；当时，，由得，，所以或时，；时，，所以在，上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．三、已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A．B．eC．D．【答案】C【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以，的取值范围故选：A【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得函数的定义域为，，要使函数恰有三个单调区间，则有两个不相等的实数根，∴，解得且，故实数a的取值范围为，故选：C.四、构造函数法解决函数问题中的常见类型关系式为“加”型构造：构造（2）构造（3）构造（4）构造（注意的符号）（5）构造关系式为“减”型构造：（6）构造（7）构造（8）构造（9）构造（注意的符号）（10）构造【典例1】（2023春·重庆·高二校联考期中）已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，因为，所以，所以在单调递增，因为，所以，由，且得，则，所以，又在单调递增，所以，故选：A．【典例2】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若定义域为的函数满足，则不等式的解集为.【答案】【解析】由时，函数满足，可得，设，则，故在上单调递增，由，即，即，所以，解得，所以的解集为.【典例3】（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设函数，由，可得，所以在R上单调递减，则，得，即，则，得，即.故选：D五、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为．【答案】【解析】令，可得，若时，，单调递减，又由，所以当时，可得，不符合题意，舍去；若时，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又由，所以存在，使得，不符合题意，舍去；若时，令，可得，当时，，单调递增，且，所以当时，恒成立，符合题意，所以实数的取值范围为．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】解法一，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立令，，则．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以因为，，所以，所以，即实数的取值范围为．解法二，由在上恒成立，得在上恒成立．令，，则满足即可，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．因为，，所以，所以，即实数的取值范围为．六、双变量不等式与等式一般地，已知函数，1、不等关系（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．2、相等关系记的值域为A,的值域为B,（1）若，，有成立，则有；（2）若，，有成立，则有；（3）若，，有成立，故；一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则，令，解得或；令，解得，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，且，故，任意的，都有成立，则，因为，则，当时，在单调递增，所以，故，即(舍去)；当时，令，解得；令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】由题意得．因为，当时，，故在上单调递增，．因为，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，．由，即，解得．易错点1复合函数求导错误点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以（4）因为，所以【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求的导函数.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：易错点2误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。【典例1】（2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．有极小值，极大值B．有极小值，极大值C．有极小值，极大值和D．有极小值，极大值【答案】D【解析】观察图象知，当时，或且，当时，或，而当时，，当时，，因此当或时，，当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D正确.故选：D【典例2】（2022秋·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是.①，；②是的极大值点；③是的极小值点；④是的极小值点【答案】②④【解析】对于①：是的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误；对于②：因为与的图象关于轴对称，且是的极大值点，所以应是的极大值点，即②正确；对于③：因为与的图象关于轴对称，且是的极大值点，所以应是的极小值点，且无法判定是的极小值点，即③错误；对于④：因为与的图象关于对称，且是的极大值点，所以应是的极小值点，即④正确；故答案为：②④.【典例3】（2023·全国·高三对口高考）如果函数在处有极值，则的值为．【答案】2【解析】因为函数在处有极值，所以，.由于，所以，，解得：或.当时，，，所以单调递减，无极值.所以.故答案为：2易错点3对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。【典例1】（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B【典例2】（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】，∵在内为减函数，∴在内恒成立，∴，即，解得．所以实数a的取值范围是．【典例3】（2023·全国·高三