《概率论与数理统计》考试题(含答案)

#/10的样本，E(X)的矩估计量为£,15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，则E(X)的矩估计值为1610、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指H0成立的条件下拒绝H0的错误，第二类错误是指瓦成立的条件下拒绝的错误显著水平a是指控制第一类错误的概率小于a.a二、(6分)已知随机变量X的密度函数f(x)=花0其它求：(1)常数a，(2)p(-1<X<•、③(3)X的分布函数F(X)。解:⑴由卜f(x)dx=1,得a=-2'—8兀⑵p(—1<X<嘗3)=J3f(x)dx=J30兀1+X2-1dX=I2'x<0兀—arctanx〔22'0<x<+8X三、(6分)设随机变量X，Y的概率密度分别为：f(x)=〔2’X00<x<2,,其它fY°)=|0',0<'其它，且随机变量X，Y相互独立。(1)求(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)(2)计算概率值p{Y>X2}o解:(1)X,Y相互独立，可见(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=f(x)・f(y),XYxy,0<x<2,0<y<120,其它2f(x,y)=2)P(Y>X2)=JJf(x,Y)dxdy=J1dxJ1xydy3'0x2y>x2=11'6四、(8分)从总体X〜N(u,b2)中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是X二80,S2二9,t(24)二1.71,x2(24)二13.85,x2(24)二36.42分0.050.950.05别求u、c2的置信度为0.95的单侧置信下限。解:(1)n=25,置信水平1—a=0.95,a=0.05,t(24)二1.71,0.05X二80,S2二9由此u的置信水平为0.95的单侧置信下限3为:80—x1.71=78.9744'J25(2)n=25,置信水平1—a=0.95,a=0.05,x2(24)二36.420.05S2=9由此c2的置信水平为0.95的单侧置信下限为:24X9二5.93X2(24)0.054'五、(8分)设总体X服从N(u,c2),c2已知,u未知。X,,X是X的一个样本,1n求u的极大似然估计量，并证明它为u的无偏估计。解:样本X,...,X的似然函数为:1n(x—u)2]2'iL(xx,u)(x—u)2]2'i1nk=1而lnL(x,...,x,u)=而lnL(x,...,x,u)=1n一n/21n(2兀)-1忆(x2ik=1—u)2]1'令:d(lnL(x,...,x,u))n令:d(lnL(x,...,x,u))n1n=duk=1—u)=0,1'解得:u=1工xu的最大似然估量u=1工X2'ninik=1k=12'E(u)=E(丄工X)=u,它为u的无偏估计量.n2'k=1六、(8分)一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨,现测得最近5天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为800吨。(取a=0.05)，此题中t(4)=2.7764。0.025解：按题意日产量X〜N(u,c2),u,c2未知，现取a=0.05检验假设:H:H:u二800,0H:u丰8001'1用t检验，现有n二5,a二0.05,t(4)二2.7764，拒绝域为:0.025X-800X-800>2.7767,1'算得：X=794.4,s=8.6169,t=X_800=-1.4527,2's/弱t值不在拒绝域，故接受H,认为日产量没有显著变化.10七、(8分)设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布N(uQ2)Q2,u未知，现他声称他的温度计读数的标准差为不超过0.5,现检验了一组16只温度计,得标准0。7度，试检验制造商的言是否正确(取a=0.05)，此题中x2(15)=24.996。0.05解：按题意温度计读数X〜N(uQ2),uQ2未知，现取a=0.05检验假设：H<0.5,H:c>0.51'01用x2检验，现有n=5，a=0.05,t(4)=2.7764，拒绝域为:0.025x2=(n-Ds2>x2(15)=24.9961'0.520.05算得：x2(n算得：x2(n-1)s20.5215x0.720.52=29.4>24.9962'在拒绝域，故拒绝H，认为温度计读数的标准差为显著超过0.5.01八、(6分)某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上,现有一供应商有一大批元件,经随机抽取100件,经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下,检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。(已知Z=1.645，提示用中心极限定理)0.05解：总体X服从p为参数的0-1分布，H:p>p=0.9,H:p<p=0.92'0010X，…,X为总体X的样本，在H成立条件下，选择统计量11000Z=.X—p0