任意角的三角函数

任意角的三角函数初中学过的锐角三角函数定义:复习回顾：如图，在直角三角形ABC中sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切。即:复习回顾：那么，当角α不是锐角时，我们必须对锐角三角函数sinα，cosα，tanα的值进行推广，才能适应任意角的需要复习回顾：学习目标：1掌握任意角的正弦，余弦和正切的定义；2理解三角函数的符号；3理解公式一，并会应用新课导入1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？∽新课导入设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P,y则:y叫α的正弦，即叫α的余弦，即叫α的正切，即yOx一、任意角的三角函数的定义:思考：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？α的终边P(x，y)Oxy一、任意角的三角函数的定义:看以看出，对应关系，都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数。一、任意角的三角函数的定义:说明1正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点的横坐标正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值2.正弦、余弦总有意义.当

的终边y

轴上时，点P的横坐标等于0，

无意义，此时

3由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数说明1任意角三角函数给了两个定义，其中定义1更具有一般性，定义2是定义1的特殊情况，定义2使用比定义1更简单。例1如图已知角α的终边与单位圆的交点是，求角α的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。变式1求的正弦、余弦和正切值解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为

所以例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：要求某个角的三角函数只要找出角的终边与单位圆的交点坐标，然后用定义来求即可例2.已知角的终边经过点，求角

的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、∽例题变式任意角三角函数定义的应用于是，例题变式任意角三角函数定义的应用例2.已知角的终边经过点，求角

的正弦、余弦和正切值.【反思】：利用相似三角形转化成单位圆角的终边与单位圆的交点坐标，然后用定义来求即可

可见，任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：于是，例3.

已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：任意角三角函数定义推广后，就不需要转化，直接用定义的推广来求解方便快捷。变式2：已知角α的终边经过点P2a,-3a，求角α的正弦、余弦、正切值．例题变式任意角三角函数定义的应用例题变式任意角三角函数定义的应用例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：很显然用任意角三角函数定义推广来求解。但是要注意角的终边落在直线上有两种情况，一定要分类讨论，避免漏解。三角函数定义域1在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？思考和探究三角函数的定义域口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦”yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）+--+--++-+-2确定三角函数值在各象限的符号思考和探究3几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα思考和探究例4求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角反之也对．①

②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.例题变式任意角三角函数定义的应用思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.

终边相同的角的同名三角函数值相等，即如果两个角的终边相同，那么这两个角的同名三角函数值有何关系？思考

公式一的作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.（1）因为是第三象限角，所以；（3）因为=而是第一象限角，所以解：（2）因为是第四象限角，所以例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：先判断角所在象限，然后根据“一全正,二正弦，三正切,四余弦”判断三角函数值的符号．解：例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数，然后用特殊角三角函数来求值变式4已知在第二象限,试确sincoscossin的符号解:∵在第二象限,∴-1<cos<0,0<sin<1∵-<-1,1<,2

2

∴-<cos

<0,0<sin

<.2

2

∴sincos<0,cossin>0∴sincoscossin<0故sincoscossin的符号为“-”号例题变式任意角三角函数定义的应用【反思】：先判断cos和sin的范围，进而确定所在象限，然后根据“一全正,二正弦，三正切,四余弦”判断三角函数值的符号．例题变式任意角三角函数定义的应用