第3章概率知识点清单高二下学期数学湘教版选择性

新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第3章知识点清单目录第3章概率3.1条件概率与事件的独立性3.2离散型随机变量及其分布列3.3正态分布第3章概率3.1条件概率与事件的独立性3.1.1条件概率一、条件概率1.定义：如果事件A，B是两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率，记为P(B|A).2.性质：(1)P(B|A)∈[0，1]；(2)如果B与C为两个互斥事件，那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).3.公式：一般地，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率为P(B|A)=P(AB)P(A)(P(A)>0)二、由古典概型知识求条件概率1.可利用缩小样本空间的方法计算条件概率(局限于古典概型)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型知识计算条件概率：P(B|A)=n(AB)n(A)(n(A)与n(AB)分别表示事件A与AB中的样本点个数)三、利用公式求条件概率1.利用公式求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)=P(AB)P(A)(P(A)>0)求解四、由样本点个数求条件概率1.在事件A发生的条件下事件B发生即积事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作样本空间，计算事件A及AB中包含的样本点个数，进而求得积事件AB发生的概率，即P(B|A)=n(AB)n(A)3.1.2事件的独立性3.1.3乘法公式一、事件的独立性1.事件A，B独立若事件A与事件B独立，则事件A的发生不会影响事件B发生的概率，即有P(B|A)=P(B).反之，若P(B|A)=P(B)成立，则P(AB)=P(A)P(AB)P(A)=P(A)·P(B|A)=P(A)P(B)2.事件A1，A2，A3，…，An相互独立(1)概念：如果n(n>2)个事件A1，A2，A3，…，An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称A1，A2，A3，…，An相互独立.(2)公式：一般地，当n(n>2)个事件A1，A2，A3，…，An相互独立时，有公式P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)成立.注意：上式并不表示A1，A2，A3，…，An相互独立.3.事件的独立性的性质(1)若事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)，P(AB)=P(A)P(B).(2)如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B二、事概率的乘法公式1.几个概率公式(1)对于两个事件A，B，由P(B|A)=P(AB)P(A)可得P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0①(2)若三个事件A，B，C不相互独立，且P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)②.(3)将①，②式推广到n个事件，则有：若Ai(i=1，2，3，…，n)为随机事件，且P(A1A2A3…An1)>0，则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An1)③，③式常称为概率的乘法公式.2.概率的乘法公式与相互独立事件的概率乘法公式的联系若事件Ai(i=1，2，3，…，n)相互独立，则③式变为P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)④.由此可知，④式实质上是③式的一种特殊情形.④式称为相互独立事件的概率乘法公式.三、相互独立事件的概率1.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.四、乘法公式及其应用乘法公式的特点及注意事项1.若P(A)>0，则已知P(A)，P(B|A)，P(AB)中的两个值就可以求得第三个值.2.在利用公式P(A1A2·…·An)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2·…·An1)(P(A1A2…An1)>0)计算概率时，注意要根据题意正确表示出相关事件并求出其中涉及的概率.3.1.4全概率公式3.1.5贝叶斯公式一、全概率公式1.公式：设Ai(i=1，2，…，n)为n个事件，若满足(1)AiAj=⌀(i≠j)，(2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω(Ω为样本空间)，(3)P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任一事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)

P(B|An)=i=1nP(Ai)P(B|Ai)2.公式的直观意义：如图，B发生的概率与P(BAi)(i=1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)=i=1nP(BAi)=i=1n二、贝叶斯公式*(1)对于随机事件A与B，A发生的条件下B发生的概率为P(B|A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)+P(此公式称为贝叶斯公式(又称逆概率公式).(2)设A1，A2，…，An满足AiAj=⌀(i≠j)，且A1∪A2∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1，2，…，n)，则对任一事件B(其中P(B)>0)，由条件概率及全概率公式，有P(Ai|B)=P(AiB)P(B)=P(Ai)P(B|Ai三、全概率公式及其应用1.全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求最后结果的概率，解题步骤如下：先求划分后的每个小事件的概率，即P(Ai)，i=1，2，…，n；再求每个小事件发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|Ai)，i=1，2，…，n；最后利用全概率公式计算P(B)，即P(B)=i=1nP(Ai)P(B|A四、各种贝叶斯公式及其应用*1.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知的条件如下：(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知；(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).3.2离散型随机变量及其分布列3.2.1离散型随机变量及其分布3.2.2几个常用的分布一、集合离散型随机变量1.随机变量(1)定义：如果随机试验每一个可能结果e都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.(2)表示：随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示.2.离散型随机变量如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列1.定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的概率为p1，p2，…，pn，记P(X=xi)=pi(i=1，2，…，n).(*)或把(*)式列成下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn上表或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列).2.性质：(1)pi≥0，i=1，2，…，n；(2)p1+p2+…+pn=1.三、几个常用的分布1.两点分布如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X=1)=p，P(X=0)=1p，p∈(0，1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X~B(1，p).两点分布又称01分布.2.二项分布(1)伯努利试验：一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与A，并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验.(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布：P(X=k)=Cnkpkqnk，k=0，1，2,…,n，其中q=1注意到Cnkpkqnk正好是二项式(p+q)n的展开式中的第(k+1)项，故称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，其中n，p为参数，p(3)二项分布与两点分布的关系：两点分布可看作是一种特殊的二项分布，即n=1的二项分布.3.超几何分布一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn，k=0，1，2，…，l，其中l=min{M，n}，且M≤N，n≤NM，X01…lPCMCM…CM为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X~H(N，M，n).4.二项分布和超几何分布的关系在产品抽样检验中，若采用有放回抽样，则抽到的次品数服从二项分布，若采用不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布.在实际工作中，抽样一般采用不放回方式，因此计算抽到的次品数为k的概率时应该用超几何分布，但当产品总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可看作是有放回抽样，计算超几何分布可以用计算二项分布来代替.四、求离散型随机变量的分布列1.求离散型随机变量的分布列的步骤(其中i=1，2，…，n)：五、二项分布1.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.六、超几何分布1.超几何分布是不放回抽样，且计数时无顺序之分，这是识别超几何分布模型的关键.(1)套用超几何分布模型时，将实际背景与超几何分布的模型进行比较，将问题涉及的对象转化为“产品”“次品”等进行分析，有利于正确使用超几何模型解题.(2)得出相应的分布列之后，就可以依据分布列进行相关事件的判断，如“产品合格的概率”“考试通过的概率”等.3.2.3离散型随机变量的数学期望3.2.4离散型随机变量的方差一、离散型随机变量的数学期望1.定义一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的数学期望或均值.离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平.2.公式(1)若X~B(1，p)，则E(X)=p；(2)若X~B(n，p)，则E(X)=np；(3)若X~H(N，M，n)，则E(X)=nMN(4)若Y=aX+b，a，b为常数，则E(Y)=aE(X)+b.二、离散型随机变量的方差与标准差1.离散型随机变量的方差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn由数学期望的公式可知D(X)=E{[XE(X)]2}=(x1-E(X))2p1+(x2E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn，则称D(X)为随机变量X的方差，并称D(X)为X的标准差.(2)意义：方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散.2.公式(1)若X~B(1，p)，则D(X)=p(1p)；(2)若X~B(n，p)，则D(X)=np(1p)；(3)若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X)；(4)在方差的计算中，利用下面的结论可简化计算.3.D(X)=E(X2)[E(X)]2.简记：方差等于平方的均值减去均值的平方.三、求离散型随机变量的数学期望1.求离散型随机变量X的数学期望的步骤(1)理解X的意义，并写出X的全部可能取值.(2)求出X取每个值的概率.(3)写出X的分布列(有时也可省略).(4)利用E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求出E(X).其中第(1)、(2)条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识.2.实际生活中的数学期望问题数学期望在实际生活中有着广泛的应用.对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.四、求离散型随机变量的方差、标准差1.求离散型随机变量X的方差、标准差的步骤(1)理解X的意义，写出X的全部可能取值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，求出E(X)；(4)根据公式计算D(X)、D(X).2.方差的计算技巧(1)方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错.在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)[E(X)]2进行计算不失为一种比较实用的方法.(2)若X是随机变量，则Y=f(X)也是随机变量，在求Y的数学期望与方差时，可直接应用数学期望与方差的性质求解，而避免了求Y的分布列的运算.五、数学期望与方差在实际问题中的综合应用1.利用数学期望与方差的意义分析并解决实际问题的步骤(1)比较数学期望.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算数学期望，看一下谁的平均水平高.(2)在数学期望相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)下结论.依据方差的统计意义给出结论.3.3正态分布一、连续型随机变量1.连续型随机变量的概念并非所有的随机变量的取值都能一一列出，如电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，我们是无法一一列出的.一般地，如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫作连续型随机变量.显然电灯泡的寿命X就是一个连续型随机变量.2.离散型随机变量与连续型随机变量的联系与区别联系：都是用来刻画随机试验可能出现的结果的.区别：离散型随机变量的可能值或者是有限个，或者是可数无穷多个，而连续型随机变量的取值不是有限个或可数无穷多个.二、正态分布1.正态曲线的概念当随机变量X的概率密度曲线呈现“中间高，两边低，左右大致对称”的特点时，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线.2.正态分布的概念正态曲线的函数表达式为p(x)=12πσe-(x-μ)22σ2(∞<x<+∞)，其中μ和σ为参数，且σ>0，μ∈R.p(x)称为概率密度函数.此时，我们称随机变量X服从参数为μ和σ23.正态分布密度曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；(3)p(x)在x=μ处达到最大值12π(4)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(5)σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；(6)曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.4.标准正态分布数学期望μ=0，方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x)=12πe-x22(∞<x<+随机变量X服从标准正态分布，简记为X~N(0，1).三、3σ原则1.若X~N(μ，σ2)，则随机变量X在μ的附近取值的概率较大，在离μ较远处取值的概率较小，