2024届平凉市重点中学九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届平凉市重点中学九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S1．则S1﹣S2+S3+S1等于（）A．1 B．6 C．8 D．122．若关于的方程的一个根是，则的值是（）A． B． C． D．3．一元二次方程有一根为零，则的值为（）A． B． C．或 D．或4．如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为，，，．自由转动转盘，则下面说法错误的是（）A．若，则指针落在红色区域的概率大于0.25B．若，则指针落在红色区域的概率大于0.5C．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5D．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.55．已知点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），若抛物线y＝x2﹣ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点），则实数a的取值范围是（）A．≤a＜﹣1 B．≤a≤﹣1 C．＜a＜﹣1 D．＜a≤﹣16．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形7．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为()A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：28．如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（）A．y=﹣x2﹣5B．y=﹣x2+1C．y=﹣（x﹣3）2﹣2D．y=﹣（x+3）2﹣29．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为()A．16 B．20 C．24 D．2810．如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，，则（）．A．6 B．9 C．12 D．1511．关于抛物线的说法中，正确的是（）A．开口向下 B．与轴的交点在轴的下方C．与轴没有交点 D．随的增大而减小12．对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值= D．最小值=二、填空题（每题4分，共24分）13．二次函数y=x2−4x+5的图象的顶点坐标为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为________.15．如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于_____度．16．在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则sinB的值为______________17．如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则________．18．如图，在反比例函数的图象上有点它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为则点的坐标为________，阴影部分的面积________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．（1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC≤5，求出k的取值范围．20．（8分）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙．请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．21．（8分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计该商城月份销售自行车辆，月份销售了辆．（1）求这个运动商城这两个月的月平均增长率是多少？（2）若该商城前个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城月份卖出多少辆自行车？22．（10分）某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：．（1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？23．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1，W2;（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?24．（10分）为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下：使用次数05101520人数11431（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是次，众数是次．（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．25．（12分）如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，求这个反比例函数的解析式．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：△MED∽△NFE；（2）当EF＝FC时，求k的值．（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解题分析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件,再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S、S、、与△ABC的关系,即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【题目详解】解：如图所示,过点F作FG⊥AM交于点G,连接PF.根据正方形的性质可得:AB=BE,BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和△EBD中,AB=EB，∠ABC=∠EBD,BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可证,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90,所以四边形AQFG是矩形,则QF//AG,又因为QP//AC,所以点Q、P,F三点共线,故S+S=,S=.因为∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA,在△AQF和△ACB中,因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA),同理可证△AQF≌△BCA,故S1﹣S2+S3+S1==31=6,故本题正确答案为B.【题目点拨】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.2、A【分析】把代入方程，即可求出的值.【题目详解】解：∵方程的一个根是，∴，∴，故选：A.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤.3、B【分析】把代入一元二次方程，求出的值，然后结合一元二次方程的定义，即可得到答案.【题目详解】解：∵一元二次方程有一根为零，∴把代入一元二次方程，则，解得：，∵，∴，∴；故选：B.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，正确求出的值.4、C【分析】根据概率公式计算即可得到结论．【题目详解】解：A、∵α＞90°，，故A正确；B、∵α+β+γ+θ=360°，α＞β+γ+θ，，故B正确；C、∵α-β=γ-θ，

∴α+θ=β+γ，∵α+β+γ+θ=360°，

∴α+θ=β+γ=180°，∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误；

D、∵γ+θ=180°，

∴α+β=180°，∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确；

故选：C．【题目点拨】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．5、A【分析】根据题意，先将一次函数解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a的取值范围，然后再求得抛物y＝x2﹣ax+a+1经过A点时的a的值，即可求得a的取值范围．【题目详解】解：∵点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），∴直线AB为y＝x，令x＝x2﹣ax+a+1，则x2﹣（a+1）x+a+1＝0，若直线y＝x与抛物线x2﹣ax+a+1有两个不同的交点，则△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，把点A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a＝﹣，由上可得﹣≤a＜﹣1，故选：A．【题目点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【题目详解】A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．

故选：C．【题目点拨】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7、A【分析】通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论．【题目详解】解：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴．故选A.【题目点拨】此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.8、C【解题分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【题目详解】y=−x2−2的顶点坐标为(0,−2)，∵向右平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,−2)，∴所得到的新抛物线的表达式是y=−(x−3)2−2.故选：C.【题目点拨】考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键.9、B【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【题目详解】根据题意知=20%，解得a=20，经检验：a=20是原分式方程的解，故选B．【题目点拨】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．10、A【解题分析】试题分析：因为DE∥BC，所以，，因为AE=3，所以AB=9，所以EB=9-3=1．故选A．考点：平行线分线段成比例定理．11、C【分析】根据题意利用二次函数的性质，对选项逐一判断后即可得到答案．【题目详解】解：A.，开口向上，此选项错误；B.与轴的交点为（0，21），在轴的上方，此选项错误；C.与轴没有交点，此选项正确；D.开口向上，对称轴为x=6，时随的增大而减小，此选项错误.故选：C.【题目点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握并利用二次函数的性质解答．12、D【解题分析】解：由当时有最大值，得时，，，反比例函数解析式为，当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，当时，最小值为故选D．二、填空题（每题4分，共24分）13、（2，1）【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【题目详解】将二次函数配方得则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质．14、5【解题分析】由翻折的性质可以知道,由矩形的性质可以知道:,从而得到,于是,故此BF=DF,在中利用勾股定理可求得BF的长.【题目详解】由折叠的性质知,CD=ED,BE=BC.

四边形ABCD是矩形,

在和中,

,

,

;

设BF=x,则DF=x,AF=8-x,

在中,可得:,即,

计算得出:x=5,

故BF的长为5.

因此，本题正确答案是:5【题目点拨】本题考查了折叠的性质折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了勾股定理,矩形的性质.15、30【解题分析】首先根据圆周角定理，得∠A=∠BDC，再根据三角形的内角和定理即可求得∠BDC的度数,从而得出结论．【题目详解】∵AB⊥CD，∴∠DEB=90°,∵∠B＝60°∴∠BDC＝90°-∠B=90°-60°=30°,∴∠A=∠BDC=30°,故答案为30°.【题目点拨】综合运用了圆周角定理以及三角形的内角和定理．16、【分析】延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD，先证出△ADB是等腰直角三角形，从而求出∠B=45°，即可求出sinB的值.【题目详解】解：延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD由图可知：AD=4个小正方形的边长，且∠ADB=90°∴△ADB是等腰直角三角形∴∠B=45°∴sinB=故答案为：.【题目点拨】此题考查的是求格点中角的正弦值，掌握等腰直角三角形的定义和45°的正弦值是解决此题的关键.17、12【解题分析】试题分析：由题意，设点D的坐标为（x，y），则点B的坐标为（，），所以矩形OABC的面积，解得∵图象在第一象限，∴.考点：反比例系数k的几何意义点评：反比例系数k的几何意义是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.18、（2，10）16【分析】将点P1的横坐标2代入函数表达式即可求出点P1纵坐标，将右边三个矩形平移，如图所示，可得出所求阴影部分面积之和等于矩形ABCP1的面积，求出即可．【题目详解】解：因为点P1的横坐标为2，代入，得y=10，∴点P1的坐标为（2，10），将右边三个矩形平移，如图所示，

把x=10代入反比例函数解析式得：y=2，∴由题意得：P1C=AB=10-2=8，

则S1+S2+S3+S4=S矩形ABCP1=2×8=16，

故答案为：（2，10），16.【题目点拨】此题考查了反比例函数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）k≤2【分析】（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．证明四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形即可解决问题．（2）证明方法类似（1）．（3）由题意CD＝3，推出BD≤2，求出BD＝2时，k的值即可判断．【题目详解】解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE＝S△AEF＝，∵BF∥x轴，∴S△BEF＝S△OBF＝，∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．（2）如图1中，如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE＝S△AEF＝，∵BF∥x轴，∴S△BEF＝S△OBF＝，∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．（3）如图2中，∵直线y＝x+3与坐标轴交于C，D，∴C（0，3），D（3，0），∴OC＝OD＝3，CD＝3，∵CD+BD≤5，∴BD≤2，当BD＝2时，∵∠CDO＝45°，∴B（1，2），此时k＝2，观察图象可知，当k≤2时，CD+BD≤5【题目点拨】本题考查一次函数与反比例函数的解题,关键在于熟记基础知识,结合图形运用性质.20、（1）作图见解析；（2）米.【分析】（1）连接AC，过D点作AC的平行线即可；（2）过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．【题目详解】(1)如图所示，线段MG和GE是旗杆在阳光下形成的影子．(2)过点M作MN⊥DE于点N.设旗杆的影子落在墙上的高度为xm，由题意得△DMN∽△ACB，∴.又∵AB＝1.6m，BC＝2.4m，DN＝DE－NE＝(15－x)m，MN＝EG＝16m，∴，解得x＝.答：旗杆的影子落在墙上的高度为m.【题目点拨】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．21、（1）该商城2、3月份的月平均增长率为25%；（2）商城4月份卖出125辆自行车【分析】（1）根据题意列方程求解即可．（2）三月份的销量乘以（1+月平均增长率），即可求出四月份的销量．【题目详解】解：（1）设该商城2、3月份的月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2=100，解得，x1=-225%（不合题意，舍去），x2=25%．答：该商城2、3月份的月平均增长率为25%．（2）四月份的销量为：100（1+25%）=125（辆）答：商城4月份卖出125辆自行车【题目点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．22、（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得．【题目详解】（1）根据题意列出函数关系式如下：当时，，解得，．∵要抢占市场份额∴．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量．依据题意得，当时，，解得，．∵要继续保持扩大销售量的战略∴答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【题目点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量．23、（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元.【解题分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得.【题目详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，∵-2＜0，=10.25，故当x=10时，W总最大，W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160.【题目点拨】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.24、（1）10,10；（2）中位数和众数；（3）22000【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解可得；

（2）由中位数和众数不受极端值影响可得答案；

（3）用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．【题目详解】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是：（次），根据使用次数可得：众数为10次；（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，

故答案为：中位数和众数；（3）平均数为（次），（次）估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为22000次．【题目点拨】本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键．25、（1）t＝2s时，△PBQ的面积为1；（2）t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（3）y＝【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程求出t即可解决问题．（2）分两种情形分别利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．（3）求出P，Q两点坐标，利用待定系数法构建方程求出t的值即可解决问题．【题目详解】（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵PA＝2t，BQ＝t，∴PB＝