矩阵的秩在线性代数中的应用

矩阵的秩在线性代数中的应用

随着现代科学技术的快速发展，经济学理论与数学的结合变得越来越密切，尤其是计算机的广泛使用，这使得线性遗传在人们的生产生活中发挥着越来越重要的作用。这也是科学家和学生必须学习的一门重要课程。矩阵是线性方程的重要概念。为了研究线性方程，有必要将矩阵的概念与矩阵进行详细的论述。矩阵在线性方程中起着重要作用，矩阵的质量是矩阵研究和应用的核心。因此，有必要深入研究矩阵的使用，全面讨论矩阵的使用。此外，矩阵的高度抽象。矩阵的相关知识在教材中非常分散，但在理论上与其他知识点的关系也很复杂。这就使得学生很难学习线性代码的知识，尤其是难以掌握矩阵的使用。该等高量族的矩阵特征也是线性代码教育的重点和难点。如何培养矩阵的相关内容，是数学教师的必然问题。本文主要从矩阵的应用和教育方法两个方面探讨了矩阵的概念。1关于矩阵秩的描述定义1设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(若存在)全等于0,那么称D为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).并规定零矩阵的秩等于0.显然矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数.关于矩阵秩的刻画方式很多,下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的一组结论.命题1设A为m×n矩阵,则下面各结论等价:1)R(A)=r;2)A的行向量组的秩等于r;3)A的列向量组的秩等于r;4)A的行空间的维数等于r;5)A的列空间的维数等于r;6)n元齐次线性方程组AX=0的解空间的维数等于n-r.2矩阵的秩是线性代数的常用2.1增广矩阵的进化下面的定理1建立了线性方程组解的判定与矩阵秩之间的关系,从而将线性方程组解的判定问题转化为计算系数矩阵与增广矩阵秩,并判断系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等的问题,使线性方程组解的判定与求解难度大大降低.定理1n元线性方程组Ax=b1)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);2)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;3)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.例1设有线性方程组{(1+λ)x1+x2+x3=0x1+(1+λ)x2+x3=3x1+x2+(1+λ)x3=λ(1)问λ取何值时,此方程组(1°)有唯一解;(2°)无解;(3°)有无限多个解?并在有无限多解时求其通解.解法一对增广矩阵B=(A,b)作初等行变换,把它变为行阶梯形矩阵,有B=(1+λ11011+λ13111+λλ)r1↔r3~(111+λλ11+λ131+λ110)r2-r1~r3-(1+λ)r1(111+λλ0λ-λ3-λ0-λ-λ(2+λ)-λ(1+λ))r3+r2~(111+λλ0λ-λ3-λ00-λ(3+λ)(1-λ)(3+λ))(1°)当λ≠0且λ≠-3时,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解;(2°)当λ=0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解;(3°)当λ=-3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无限多个解.继续对增广矩阵B作初等行变换,将其化为行最简形B=(11-2-30-3360000)~(10-1-101-1-20000)由此得同解的线性方程组{x1=x3-1x2=x3-2选x3为自由未知量,令x3=c(c∈R).则方程组(1)的通解为(x1x2x3)=c(111)+(-1-20)c∈R解法二因系数矩阵A为方阵,故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.而|A|=|1+λ1111+λ1111+λ|=(3+λ)|11111+λ1111+λ|=(3+λ)|1110λ000λ|=(3+λ)λ2因此当λ≠0且λ≠-3时,方程组(1)有唯一解;当λ=0时,对增广矩阵B作初等行变换,将其化为B=(111011131110)~(111000010000)则R(A)=1,R(B)=2,故方程组(1)无解;当λ=-3时,对增广矩阵B作初等行变换,将其化为B=(-21101-21311-2-3)~(10-1-101-1-20000)则R(A)=R(B)=2,故方程组(1)有无限多个解,其通解为(x1x2x3)=c(111)+(-1-20)c∈R例1中介绍的两种解决问题的方案各有特点.第一种方案直接利用定理1的结论来判别,具有一般性;第二种方法针对方程个数与未知数个数相等这一特点,应用了克拉默法则,易于确定待定参数的值,使问题简单化.但是,当方程个数与未知数个数不等时,第二种方法不能使用.2.2善重性的判定:从善善线性方程组解到正义文化线性方程组有解的充分必要条件对于讨论向量组的线性相关性有非常大的帮助.命题2对于n维向量组a1,a2,…,am,记矩阵A=(a1,a2,…,am),则下列结论等价:1)向量组a1,a2,…,am线性相关(或线性无关);2)齐次线性方程组AX=0有非零解(或只有零解);3)矩阵A的秩R(A)<m(或R(A)=m).命题2的重要意义在于将向量组的线性相关性的判别问题转化为判别向量组构成的矩阵的秩与向量组中向量的个数之间的关系问题,从而使得向量组的线性相关性的判别这个让学生感到困难的问题简单化了.同时,命题2也为在判断向量组的线性相关性时使用齐次线性方程组解的相关理论搭建了一个平台.判别一个向量b能否被一个向量组a1,a2,…,am线性表示以及具体表示式的问题,其实质就是非齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam=b是否有解及求出方程组的具体解的问题.因此,矩阵的秩与向量组的线性相关性、线性方程组的解是一有机整体,无法割裂开来单独研究.然而,研究两个向量组间的关系,远远比研究一个向量组内部的关系复杂.借助矩阵的秩这个强有力的武器,也可以使这个棘手的问题难度降低.定理2就给出了具体的判别方法.定理2向量组b1,b2,…,bl能由向量组a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bl)的秩.即R(A)=R(A,B).推论1向量组b1,b2,…,bl与向量组a1,a2,…,am等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B).其中A和B分别是向量组a1,a2,…,am和b1,b2,…,bl所构成的矩阵.向量组的秩与向量组的最大无关组密切相关,向量空间的基的本质就是向量空间的一个最大无关组,向量组的秩又恰好等于其构成的矩阵的秩,这使得矩阵的秩与向量空间的维数和向量空间的基相联系.因此,研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数以及线性方程组解的理论和方法密不可分.2.3线性方程组解的结构在2.1中可以看到,借助矩阵的秩可以求线性方程组AX=b和AX=0的解,但是,线性方程组AX=b和AX=0的解的结构尚不清晰.有了向量空间的基与维数的概念后,矩阵的秩又帮助人们从更高的层次来看待线性方程组的解.定理3就刻画了线性方程组解的结构.定理3设m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩R(S)=n-r.其通解为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r,其中ξ1,ξ2,…,ξn-r是解集的最大无关组,即ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程组AX=0的基础解系.方程组AX=b的通解为X=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η*,其中k1,…,kn-r为任意实数,ξ1,…,ξn-r是方程组AX=0的基础解系,η*是AX=b的某个解.3加强实例教学矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性是线性代数中最重要也是最基本的内容,它们的关系密切,无法割裂开来.矩阵是研究线性代数各类问题的载体,矩阵的秩就成为研究问题的一个“试金石”.矩阵的秩和向量组的秩的概念既抽象又重要,且易于混淆,学生难以很好地掌握相关知识,因此,这个知识点的教学方法就值得教师去深入探讨.矩阵的秩在线性代数中具有重要地位,但是关于矩阵的秩的教学却存在很大的困难,究其原因主要在于以下几个方面:1)矩阵的秩的相关知识在教材中比较分散,又与其它知识点形成了复杂关系;2)矩阵的秩与向量组的秩以及向量空间的维数的本质具有相似性,学生不易掌握;3)利用矩阵的秩判别向量组的线性相关性往往和齐次线性方程组AX=0是否有非零解密切相关.这些原因直接导致了学生学习线性代数的困难.为了使这些知识点的教学能有好的教学效果,教师要做到以下这几点:(i)深挖矩阵的秩这个概念的本质:矩阵A的秩R(A)就是A中非零子式的最高阶数;(ii)介绍线性方程组通解的知识时,要从两个角度分别加以介绍(见例2),使学生能够比较全面地掌握线性方程组的解与系数矩阵或增广矩阵秩之间的关系,使学生深入了解线性方程组通解的结构;(iii)在教学过程中要讲透向量组的线性相关性与矩阵的秩以及齐次线性方程组AX=0解之间的内在联系,加强例题教学;(iv)在教学中深入剖析向量组的最大无关组、齐次线性方程组AX=0的基础解系以及向量空间的基的实质;(v)课堂教学过程中选择典型性例题,让学生多做练习,从中体会相关知识的联系与区别,帮助学生熟练掌握相关知识.例2求解非齐次线性方程组{x1-x2-x3+x4=0x1-x2+x3-3x4=1x1-x2-2x3+3x4=-12(2)解法1对增广矩阵B作初等行变换B=(1-1-1101-11-311-1-23-12)r~(1-10-112001-21200000)可见R(A)=R(B)=2,故方程组(2)有无限多解,并有{x1=x2+x4+12x3=2x4+12取x2=x4=0,则x1=x3=12,即得方程组的一个解(称为特解)η*=(120120)在对应的齐次方程组{x1=x2+x4x3=2x4中,取(x2x4)=(10)及(x2x4)=(01),则(x1x3)=(10)及(x1x3)=(12),即得对应的齐次线性方程组的基础解系ξ1=(1100)ξ2=(1021)于是方程组(2)的通解为(x1x2x3x4)=c1(1100)+c2(1021)+(120120)c1‚c2∈R解法2对增广矩阵B作初等行变换B=(1-1-1101-11-311-1-23-12)r~(1-10-112001-21200000)可见R(A)=R(B)=2,故方程组有无限多解,并有{x1=x2+x4+12x3=2x4+12取x2,x4为自由未知量,并令x2=c1,x4=c2,则方程组(2)的通解为(x1x2x3x4)=(c1+c2+12c12c2+12c2)=c1(1100)+c2(1021)+(120120)c1‚c2∈R这里向量ξ1=(1100)‚ξ2=(1021)为方程组(2)对应的齐次线性方程组的基础解系.例3若向量组α1,α2,α3线性无关,而β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=α1+2α2+3α3,试证β1,β2,β3线性无关.证法1设存在常数k1,k2,k3,使得k1β1+k2β2+k3β3=0则(k1+k2+k3)α1+(k1+k2+3k3)α2+(k1+2k2+3k3)α3=0由α1,α2,α3线性无关得{k1+k2+k3=0k1+k2+2k3=0k1+2k2+3k3=0(3)由于齐次线性方程组(3)的系数行列式D=|111112123|=-1≠0由克拉默法则,方程(3)只有零解k1=k2=k3=0,因此β1,β2,β3线性无关.证法2由已知,(β1‚