高等数学(下)课后习题答案

./高等数学〔下习题七1.在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置：A<1,2,3>;B<-2,3,4>;C<2,-3,-4>;D<3,4,0>;E<0,4,3>;F<3,0,0>.解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2.xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的点,z=0;在yOz面上的点,x=0;在zOx面上的点,y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点,y=z=0;y轴上的点,x=z=0;z轴上的点,x=y=0.4.求下列各对点之间的距离：〔1〔0,0,0,〔2,3,4；〔2〔0,0,0,〔2,-3,-4；〔3〔-2,3,-4,〔1,0,3；〔4〔4,-2,3,〔-2,1,3.解：〔1<2><3><4>.5.求点〔4,-3,5到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点<4,-3,5>到x轴,y轴,z轴的垂足分别为〔4,0,0,〔0,-3,0,〔0,0,5.故.6.在z轴上,求与两点A〔-4,1,7和B〔3,5,-2等距离的点.解：设此点为M〔0,0,z,则解得即所求点为M〔0,0,.7.试证：以三点A〔4,1,9,B〔10,-1,6,C〔2,4,3为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8.验证：.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19.设试用a,b,c表示解：10.把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接,试以,表示向量,,和.解：11.设向量的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为,则12.一向量的终点为点B〔2,-1,7,它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A<x,y,z>,则解得x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A<-2,3,0>.13.一向量的起点是P1〔4,0,5,终点是P2〔7,1,3,试求：〔1在各坐标轴上的投影；〔2的模；〔3的方向余弦；〔4方向的单位向量.解：〔1<2><3>.<4>.14.三个力F1=<1,2,3>,F2=<-2,3,-4>,F3=<3,-4,5>同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R=〔1-2+3,2+3-4,3-4+5=〔2,1,415.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模,并分别用单位向量来表达向量a,b,c.解：16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解：a=4<3i+5j+8k>+3<2i-4j-7k>-<5i+j-4k>=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.17.向量r与三坐标轴交成相等的锐角,求这向量的单位向量er.解：因,故,〔舍去则.18.已知两点M1〔2,5,-3,M2〔3,-2,5,点M在线段M1M2上,且,求向径的坐标.解：设向径={x,y,z}因为,所以,故={}.19.已知点P到点A〔0,0,12的距离是7,的方向余弦是,求点P的坐标.解：设P的坐标为〔x,y,z,得又故点P的坐标为P〔2,3,6或P〔.20.已知a,b的夹角,且,计算：<1>a·b;<2><3a-2b>·<a+2b>.解：〔1a·b=<2>21.已知a=<4,-2,4>,b=<6,-3,2>,计算：〔1a·b;<2><2a-3b>·<a+b>；〔3解：〔1<2><3>22.已知四点A〔1,-2,3,B〔4,-4,-3,C〔2,4,3,D〔8,6,6,求向量在向量上的投影.解：={3,-2,-6},={6,2,3}23.设重量为100kg的物体从点M1<3,1,8>沿直线移动到点M2〔1,4,2,计算重力所作的功〔长度单位为m.解：取重力方向为z轴负方向,依题意有f={0,0,-100×9.8}s=={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880<J>24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解:<a+3b>·<7a-5b>=①<a-4b>·<7a-2b>=②由①及②可得：又,所以,故.25.一动点与M0<1,1,1>连成的向量与向量n=<2,3,-4>垂直,求动点的轨迹方程.解：设动点为M<x,y,z>因,故.即2<x-1>+3<y-1>-4<z-1>=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.26.设a=<-2,7,6>,b=<4,-3,-8>,证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又<a+b>·<a-b>=2×<-6>+4×10+<-2>×14=0故<a+b><a-b>.27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：<1>a×b;<2>2a×7b;<3>7b×2a;<4>a×a.解：〔1<2><3><4>.28.已知向量a和b互相垂直,且.计算：<1>|<a＋b>×<a－b>|；<2>|<3a＋b>×<a－2b>|.〔1<2>29.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量,并求上述两向量夹角的正弦.解：与平行的单位向量.30.一平行四边形以向量a=<2,1,－1>和b=<1,－2,1>为邻边,求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为,因为,所以.即为所求对角线间夹角的正弦.31.已知三点A<2,-1,5>,B<0,3,-2>,C<-2,3,1>,点M,N,P分别是AB,BC,CA的中点,证明：.证明：中点M,N,P的坐标分别为故.32.求同时垂直于向量a=<2,3,4>和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b=<x,0,0>则同时垂直于a,b的向量为=4xj－3xk故同时垂直于a,b的单位向量为.33.四面体的顶点在<1,1,1>,<1,2,3>,<1,1,2>和<3,-1,2>求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A,B,C,D.则由A,B,D三点所确定三角形的面积为.同理可求其他三个三角形的面积依次为.故四面体的表面积.34.已知三点A<2,4,1>,B<3,7,5>,C<4,10,9>,证：此三点共线.证明：,显然则故A,B,C三点共线.35.求过点<4,1,-2>且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6},又过点<4,1,-2>故所求平面方程为：3<x-4>-2<y-1>+6<z+2>=0即3x-2y+6z+2=0.36.求过点M0<1,7,-3>,且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为故平面方程为：x-1+7<y-7>-3<z+3>=0即x+7y-3z-59=037.设平面过点<1,2,-1>,而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍,求此平面方程.解：设平面在y轴上的截距为b则平面方程可定为又<1,2,-1>在平面上,则有得b=2.故所求平面方程为38.求过<1,1,-1>,<-2,-2,2>和〔1,-1,2三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知代入三已知点,有化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形：<1>y=0;<2>3x-1=0;<3>2x-3y-6=0;<4>x–y=0;<5>2x-3y+4z=0.解：<1>y=0表示xOz坐标面〔如图7-2<2>3x-1=0表示垂直于x轴的平面.<如图7-3>图7-2图7-3<3>2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.<如图7-4><4>x–y=0表示过z轴的平面〔如图7-5<5>2x-3y+4z=0表示过原点的平面〔如图7-6.图7-4图7-5图7-640.通过两点〔1,1,1,和〔2,2,2作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0,n·l=0即所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点〔1,1,1在平面上,所以有D=0故平面方程为x-y=0.41.决定参数k的值,使平面x+ky-2z=9适合下列条件：〔1经过点〔5,-4,6；〔2与平面2x-3y+z=0成的角.解：〔1因平面过点〔5,-4,6故有5-4k-2×6=9得k=-4.〔2两平面的法向量分别为n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}且解得42.确定下列方程中的l和m:<1>平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;<2>平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：〔1n1={2,l,3},n2={m,-6,-1}<2>n1={3,-5,l},n2={1,3,2}43.通过点〔1,-1,1作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1},n2={2,1,1}又〔1,－1,1在所求平面上,故A－B+C+D=0,得D=0故所求平面方程为即2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解：n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}.故则45.求通过下列两已知点的直线方程：〔1〔1,-2,1,〔3,1,-1；〔2〔3,-1,0,〔1,0,-3.解：〔1两点所确立的一个向量为s={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}故直线的标准方程为：或〔2直线方向向量可取为s={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}故直线的标准方程为：或46.求直线的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17于是直线过点〔0,7,17,因此直线的标准方程为:且直线的参数方程为：47.求下列直线与平面的交点：<1>,2x+3y+z-1=0;<2>,x+2y-2z+6=0.解：〔1直线参数方程为代入平面方程得t=1故交点为〔2,-3,6.〔2直线参数方程为代入平面方程解得t=0.故交点为〔-2,1,3.48.求下列直线的夹角：〔1和；〔2和解：〔1两直线的方向向量分别为：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×<-5>+<-1>×10=0知s1⊥s2从而两直线垂直,夹角为.<2>直线的方向向量为s1={4,-12,3},直线的方程可变为,可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49.求满足下列各组条件的直线方程：〔1经过点〔2,-3,4,且与平面3x-y+2z-4=0垂直；〔2过点〔0,2,4,且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；〔3过点〔-1,2,1,且与直线平行.解：〔1可取直线的方向向量为s={3,-1,2}故过点〔2,-3,4的直线方程为〔2所求直线平行两已知平面,且两平面的法向量n1与n2不平行,故所求直线平行于两平面的交线,于是直线方向向量故过点〔0,2,4的直线方程为〔3所求直线与已知直线平行,故其方向向量可取为s={2,-1,3}故过点〔-1,2,1的直线方程为.50.试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：〔1和4x-2y-2z=3;〔2和3x-2y+7z=8;〔3和x+y+z=3.解：平行而不包含.因为直线的方向向量为s={-2,-7,3}平面的法向量n={4,-2,-2},所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0〔-3,-4,0代入平面方程有.故直线不在平面上.<2>因直线方向向量s等于平面的法向量,故直线垂直于平面.<3>直线在平面上,因为,而直线上的点〔2,-2,3在平面上.51.求过点〔1,-2,1,且垂直于直线的平面方程.解：直线的方向向量为,取平面法向量为{1,2,3},故所求平面方程为即x+2y+3z=0.52.求过点〔1,-2,3和两平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为其中λ为待定常数,又因为所求平面过点〔1,-2,3故解得λ=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=053.求点〔-1,2,0在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：过点〔-1,2,0作垂直于已知平面的直线,则该直线的方向向量即为已知平面的法向量,即s=n={1,2,-1}所以垂线的参数方程为将其代入平面方程可得<-1+t>+2<2+2t>-<-t>+1=0得于是所求点〔-1,2,0到平面的投影就是此平面与垂线的交点54.求点〔1,2,1到平面x+2y+2z-10=0距离.解：过点〔1,2,1作垂直于已知平面的直线,直线的方向向量为s=n={1,2,2}所以垂线的参数方程为将其代入平面方程得.故垂足为,且与点〔1,2,1的距离为即为点到平面的距离.55.求点〔3,-1,2到直线的距离.解：过点〔3,-1,2作垂直于已知直线的平面,平面的法向量可取为直线的方向向量即故过已知点的平面方程为y+z=1.联立方程组解得即为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为56.建立以点〔1,3,-2为中心,且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为设<x,y,z>为球面上任一点,则<x-1>2+<y-3>2+<z+2>2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.57.一动点离点〔2,0,-3的距离与离点〔4,-6,6的距离之比为3,求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M<x,y,z>,由题意知化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即为动点的轨迹方程.58.指出下列方程所表示的是什么曲面,并画出其图形：〔1;〔2;〔3;〔4;〔5;〔6.解：〔1母线平行于z轴的抛物柱面,如图7-7.〔2母线平行于z轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7图7-8〔3母线平行于y轴的椭圆柱面,如图7-9.〔4母线平行于x轴的抛物柱面,如图7-10.图7-9图7-10〔5母线平行于z轴的两平面,如图7-11.〔6z轴,如图7-12.图7-11图7-1259.指出下列方程表示怎样的曲面,并作出图形：〔1;〔2;〔3;〔4;〔5;〔6.解：〔1半轴分别为1,2,3的椭球面,如图7-13.<2>顶点在〔0,0,-9的椭圆抛物面,如图7-14.图7-13图7-14<3>以x轴为中心轴的双叶双曲面,如图7-15.<4>单叶双曲面,如图7-16.图7-15图7-16<5>顶点在坐标原点的椭圆锥面,其中心轴是y轴,如图7-17.<6>顶点在坐标原点的圆锥面,其中心轴是z轴,如图7-18.图7-17图7-1860.作出下列曲面所围成的立体的图形：<1>x2+y2+z2=a2与z=0,z=<a>0>;<2>x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;<3>z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;<4>z=6-<x2+y2>,x=0,y=0,z=0及x+y=1.解：〔1〔2〔3〔4分别如图7-19,7-20,7-21,7-22所示.图7-19图7-20图7-21图7-2261.求下列曲面和直线的交点：<1>与;<2>与.解：〔1直线的参数方程为代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为〔3,4,-2,〔6,-2,2.<2>直线的参数方程为代入曲面方程可解得t=1,得交点坐标为〔4,-3,2.62.设有一圆,它的中心在z轴上,半径为3,且位于距离xOy平面5个单位的平面上,试建立这个圆的方程.解：设〔x,y,z为圆上任一点,依题意有即为所求圆的方程.63.建立曲线x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲线为准线,母线平行于z轴的柱面方程为x2+y2=x+1即.故曲线在xOy平面上的投影方程为64.求曲线x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线.解：以曲线为准线,母线平行于z轴的柱面方程为故曲线在xOy面上的投影曲线方程为65.试考察曲面在下列各平面上的截痕的形状,并写出其方程.<1>平面x=2;<2>平面y=0;<3>平面y=5;<4>平面z=2.解：〔1截线方程为其形状为x=2平面上的双曲线.〔2截线方程为为xOz面上的一个椭圆.<3>截线方程为为平面y=5上的一个椭圆.<4>截线方程为为平面z=2上的两条直线.66.求单叶双曲面与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面,yOz平面及xOz平面上的投影曲线.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交线在xOy平面上的投影为以x=2z-3代入曲面方程,得20y2+4z2-60z-35=0.故交线在yOz平面上的投影为交线在xOz平面上的投影为习题八1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：<1>{<x,y>|x≠0};<2>{<x,y>|1≤x2+y2<4};<3>{<x,y>|y<x2};<4>{<x,y>|<x-1>2+y2≤1}∪{<x,y>|<x+1>2+y2≤1}.解：<1>开集、无界集,聚点集：R2,边界：{<x,y>|x=0}.<2>既非开集又非闭集,有界集,聚点集：{<x,y>|1≤x2+y2≤4},边界：{<x,y>|x2+y2=1}∪{<x,y>|x2+y2=4}.<3>开集、区域、无界集,聚点集：{<x,y>|y≤x2},边界：{<x,y>|y=x2}.<4>闭集、有界集,聚点集即是其本身,边界：{<x,y>|<x-1>2+y2=1}∪{<x,y>|<x+1>2+y2=1}.2.已知f<x,y>=x2+y2-xytan,试求.解：3.已知,试求解：f<x+y,x-y,xy>=<x+y>xy+<xy>x+y+x-y=<x+y>xy+<xy>2x.4.求下列各函数的定义域：解：5.求下列各极限：解：<1>原式=<2>原式=+∞.<3>原式=<4>原式=<5>原式=<6>原式=6.判断下列函数在原点O<0,0>处是否连续：<3>解：<1>由于又,且,故.故函数在O<0,0>处连续.<2>故O<0,0>是z的间断点.<3>若P<x,y>沿直线y=x趋于<0,0>点,则,若点P<x,y>沿直线y=-x趋于<0,0>点,则故不存在.故函数z在O<0,0>处不连续.7.指出下列函数在向外间断：<1>f<x,y>=; <2>f<x,y>=;<3>f<x,y>=ln<1－x2－y2>; <4>f<x,y>=解：<1>因为当y=-x时,函数无定义,所以函数在直线y=-x上的所有点处间断,而在其余点处均连续.<2>因为当y2=2x时,函数无定义,所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.<3>因为当x2+y2=1时,函数无定义,所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.<4>因为点P<x,y>沿直线y=x趋于O<0,0>时..故<0,0>是函数的间断点,而在其余各点处均连续.8.求下列函数的偏导数：<1>z=x2y+; <2>s=;<3>z=xln; <4>z=lntan;<5>z=<1+xy>y; <6>u=zxy;<7>u=arctan<x-y>z; <8>.解：<1><2><3><4><5>两边取对数得故<6><7><8>9.已知,求证：.证明：.由对称性知.于是.10.设,求证：.证明：,由z关于x,y的对称性得故11.设f<x,y>=x+<y-1>arcsin,求fx<x,1>.解：则.12.求曲线在点〔2,4,5处的切线与正向x轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为α,则tanα=1.故α=.13.求下列函数的二阶偏导数：<1>z=x4+y4-4x2y2; <2>z=arctan;<3>z=yx; <4>z=.解：<1>由x,y的对称性知<2>,<3><4>14.设f<x,y,z>=xy2+yz2+zx2,求解：.15.设z=xln<xy>,求及.解：16.求下列函数的全微分：<1>; <2>;<3>; <4>.解：<1>∵∴<2>∵∴<3>∵∴<4>∵∴17.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：<1><2>解：<1><2>18.利用全微分代替全增量,近似计算：<1><1.02>3·<0.97>2; <2>;<3><1.97>1.05.解：<1>设f<x,y>=x3·y2,则故df<x,y>=3x2y2dx+2x3ydy=xy<3xydx+2x2dy>取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03,则<1.02>3·<0.97>2=f<1.02,0.97>≈f<1,1>+df<1,1>=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×<-0.03>]=1.<2>设f<x,y>=,则故取,则<3>设f<x,y>=xy,则df<x,y>=yxy-1dx+xylnxdy,取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则19.矩型一边长a=10cm,另一边长b=24cm,当a边增加4mm,而b边缩小1mm时,求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l,则当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时,<cm>故矩形的对角线长约增加0.062cm.20.1mol理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下,体积是22.4L,从这标准状态下将温度升高3℃,压强升高0.015个大气压,问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=,且在标准状态下,R=8.20568×10-2,ΔV≈dv=-=故体积改变量大约为0.09.21.测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3,质量m=30.80g,其绝对误差限是0.01g,求由公式算出密度的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45,m=30.80,dv=0.01,dm=0.01时,当v=4.45,m=30.80时.22.求下列复合函数的偏导数或全导数：<1>求,；〔2z＝,x＝u＋v,y＝u－v,求,；〔3,y＝x3,求;〔4u＝x2＋y2＋z2,x＝,y＝,z＝,求.解：〔1<2><3><4>.23.设f具有一阶连续偏导数,试求下列函数的一阶偏导数：<1> <2><3>解：<1><2><3>24.设为可导函数,证明：证明:故25.设,其中f<u>为可导函数,验证：.证明：∵,,∴26.,其中f具有二阶导数,求解：由对称性知,27.设f是c2类函数,求下列函数的二阶偏导数：<1> <2><3>解：<1>,<2><3>28.试证：利用变量替换,可将方程化简为.证明：设故29.求下列隐函数的导数或偏导数：<1>,求;<2>,求；<3>,求;<4>,求.解：<1>[解法1]用隐函数求导公式,设F<x,y>=siny+ex-xy2,则故.[解法2]方程两边对x求导,得故<2>设∵∴<3>方程两边求全微分,得则故<4>设,则30.设F<x,y,z>=0可以确定函数x=x<y,z>,y=y<x,z>,z=z<x,y>,证明：.证明：∵∴31.设确定了函数z=z<x,y>,其中F可微,求.解：32.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：<1>求：<2>求：<3>其中f,g是类函数,求<4>求解：<1>原方程组变为方程两边对x求导,得当<2>设故<3>设则故<4>是已知函数的反函数,方程组两边对x求导,得整理得解得方程组两边对y求导得整理得解得33.设,试求解：由方程组可确定反函数,方程组两边对x求导,得解得所以方程组两边对y求导,得解得所以.34.求函数在<2,-1>点的泰勒公式.解：故35.将函数在<1,1>点展到泰勒公式的二次项.解：习题九1.求函数u=xy2+z3-xyz在点〔1,1,2处沿方向角为的方向导数。解：2.求函数u=xyz在点〔5,1,2处沿从点A〔5,1,2到B〔9,4,14的方向导数。解：的方向余弦为故3.求函数在点处沿曲线在这点的法线方向的方向导数。解：设x轴正向到椭圆法线方向l的转角为φ,它是第三象限的角,因为所以在点处切线斜率为法线斜率为.于是∵∴4.研究下列函数的极值：<1>z=x3+y3－3<x2+y2>; <2>z=e2x<x+y2+2y>;<3>z=<6x－x2><4y－y2>; <4>z=<x2+y2>;<5>z=xy<a－x－y>,a≠0.解：〔1解方程组得驻点为〔0,0,<0,2>,<2,0>,<2,2>.zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在点〔0,0处,A=－6,B=0,C=-6,B2－AC=－36<0,且A<0,所以函数有极大值z<0,0>=0.在点〔0,2处,A=－6,B=0,C=6,B2－AC=36>0,所以<0,2>点不是极值点.在点〔2,0处,A=6,B=0,C=－6,B2－AC=36>0,所以<2,0>点不是极值点.在点〔2,2处,A=6,B=0,C=6,B2－AC=－36<0,且A>0,所以函数有极小值z<2,2>=-8.<2>解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.<3>解方程组得驻点为〔3,2,<0,0>,<0,4>,<6,0>,<6,4>.Zxx=－2<4y-y2>,Zxy=4<3－x><2－y>Zyy=－2<6x－x2>在点〔3,2处,A=－8,B=0,C=－18,B2－AC=－8×18<0,且A<0,所以函数有极大值z<3,2>=36.在点〔0,0处,A=0,B=24,C=0,B2－AC>0,所以<0,0>点不是极值点.在点〔0,4处,A=0,B=-24,C=0,B2－AC>0,所以<0,4>不是极值点.在点〔6,0处,A=0,B=-24,C=0,B2－AC>0,所以<6,0>不是极值点.在点〔6,4处,A=0,B=24,C=0,B2－AC>0,所以<6,4>不是极值点.<4>解方程组得驻点P0<0,0>,及P<x0,y0>,其中x02+y02=1,在点P0处有z=0,而当〔x,y≠<0,0>时,恒有z>0,故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=ue-u由,令得u=1,当u>1时,；当u<1时,,由此可知,在满足x02+y02=1的点〔x0,y0的邻域,不论是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函数z在点〔x0,y0取得极大值z=e-1<5>解方程组得驻点为zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为于是易知H〔P1不定,故P1不是z的极值点,H〔P2当a<0时正定,故此时P2是z的极小值点,且,H〔P2当a>0时负定,故此时P2是z的极大值点,且.5.设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0,确定函数z=z<x,y>,研究其极值。解：由已知方程分别对x,y求导,解得令解得,将它们代入原方程,解得.从而得驻点.在点〔-2,0处,B2-AC<0,因此函数有极小值z=1.在点处,B2-AC<0,函数有极大值.6.在平面xOy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P<x,y>,P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|,到直线x+2y-16=0的距离为距离的平方和为由得唯一驻点,因实际问题存在最小值,故点即为所求。7.求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。解：设P〔x,y,z为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求其在条件z=x2+y2下的最值。设F〔x,y,z=解方程组得故所求最短距离为8.抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为P〔x,y,z,则|OP|2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上,所以约束条件为z=x2+y2,x+y+z=1设F〔x,y,z=x2+y2+z2+λ1<z-x2-y2>+λ2<x+y+z-1>解方程组得由题意知,距离|OP|有最大值和最小值,且.所以原点到椭圆的最长距离是,最短距离是.9.在第I卦限作椭球面的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标。解：令∵∴椭球面上任一点的切平面方程为即切平面在三个坐标轴上的截距分别为,因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为即求在约束条件下的最小值,也即求xyz的最大值问题。设,解方程组得.故切点为,此时最小体积为*10.设空间有n个点,坐标为,试在xOy面上找一点,使此点与这n个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P〔x,y,0,则此点与n个点的距离的平方和为解方程组得驻点又在点处Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0,且A>0取得最小值.故在点处,S取得最小值.即所求点为.11.已知平面上分别带有质量m1,m2,m3的三个质点,问点的位置如何才能使该质点系对于p点的转动惯量为最小。解：该质点系对于p点的转动惯量为解上式得驻点因驻点唯一,故转动惯量在点处取得最小值.*12.已知过去几年产量和利润的数据如下：产量x<千件>4047557090100利润y<千元>323443547285试求产量和利润的函数关系,并预测当产量达到120千件时工厂的利润。解：在直角坐标系下描点,从图可以看出,这些点大致接近一条直线,因此可设f<x>=ax+b,求的最小值,即求解方程组把<xi,yi>代入方程组,得解得a=0.884,b=-5.894即y=0.884x-5.894,当x=120时,y=100.186<千元>.13.求下曲线在给定点的切线和法平面方程：<1>x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点;<2>x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0<1,-2,1>;<3>y2=2mx,z2=m-x,点M0<x0,y0,z0>.解：曲线在点的切向量为当时,切线方程为.法平面方程为即.〔2联立方程组它确定了函数y=y<x>,z=z<x>,方程组两边对x求导,得解得在点M0〔1,-2,1处,所以切向量为{1,0,-1}.故切线方程为法平面方程为1<x-1>+0<y+2>-1<z-1>=0即x-z=0.<3>将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导,得于是曲线在点〔x0,y0,z0处的切向量为,故切线方程为法平面方程为.14.t<0<t<2π>为何值时,曲线L：x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在相应点的切线垂直于平面,并求相应的切线和法平面方程。解：,在t处切向量为,已知平面的法向量为.且∥,故解得,相应点的坐标为.且故切线方程为法平面方程为即.15.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：<1>z=x2+y2,点M0<1,2,5>;<2>z=arctan,点M0<1,1,>;解：〔1故曲面在点M0<1,2,5>的切平面方程为z-5=2<x-1>+4<y-2>.即2x+4y-z=5.法线方程为〔2故曲面在点M0<1,1,>的切平面方程为z-=-<x-1>+<y-1>.法线方程为.16.指出曲面z=xy上何处的法线垂直于平面x-2y+z=6,并求出该点的法线方程与切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量为.已知平面法向量为.且∥,故有解得x=2,y=-1,此时,z=-2.即〔2,-1,-2处曲面的法线垂直于平面,且在该点处的法线方程为.切平面方程为-1<x-2>+2<y+1>-<z+2>=0即x-2y+z-2=0.17.证明：螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的切线与z轴形成定角。证明：螺旋线的切向量为.与z轴同向的单位向量为两向量的夹角余弦为为一定值。故螺旋线的切线与z轴形成定角。18.证明：曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设F<x,y,z>=xyz-a3.因为Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点M0<x0,y0,z0>处的切平面方程为y0z0<x-x0>+x0z0<y-y0>+x0y0<z-z0>=0.切平面在x轴,y轴,z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直,所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为它为一定值。习题十1.根据二重积分性质,比较与的大小,其中：〔1D表示以〔0,1,〔1,0,〔1,1为顶点的三角形；〔2D表示矩形区域.解：〔1区域D如图10-1所示,由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间,显然有图10-1从而故有所以〔2区域D如图10-2所示.显然,当时,有.图10-2从而ln<x+y>>1故有所以2.根据二重积分性质,估计下列积分的值：〔1;〔2;〔3.解：〔1因为当时,有,因而.从而故即而〔σ为区域D的面积,由σ=4得.<2>因为,从而故即而所以〔3因为当时,所以故即而所以3.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值：〔1〔2解：〔1在几何上表示以D为底,以z轴为轴,以〔0,0,a为顶点的圆锥的体积,所以〔2在几何上表示以原点〔0,0,0为圆心,以a为半径的上半球的体积,故4.设f<x,y>为连续函数,求.解：因为f<x,y>为连续函数,由二重积分的中值定理得,使得又由于D是以〔x0,y0为圆心,r为半径的圆盘,所以当时,于是：5.画出积分区域,把化为累次积分：〔1;<2><3>解：〔1区域D如图10-3所示,D亦可表示为.所以<2>区域D如图10-4所示,直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为〔1,-1,〔4,2,区域D可表示为.图10-3图10-4所以〔3区域D如图10-5所示,直线y=2x与曲线的交点<1,2>,与x=2的交点为<2,4>,曲线与x=2的交点为〔2,1,区域D可表示为图10-5所以.6.画出积分区域,改变累次积分的积分次序：〔1;<2>;<3>;<4>;<5>.解：〔1相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为：所以<2>相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：所以<3>相应二重积分的积分区域D为：如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和,其中D1：D2：所以.<4>相应二重积分的积分区域D为：如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和,其中D1：D2：所以<5>相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成,其中D1：D2：如图10-10所示.图10-10D亦可表示为：所以7.求下列立体体积：〔1旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax所围；〔2旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围.解：〔1由二重积分的几何意义知,所围立体的体积V=其中D：由被积函数及积分区域的对称性知,V=2,其中D1为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得.<2>由二重积分的几何意义知,所围立体的体积其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域,如图10-11所示.图10-11D可表示为：所以8.计算下列二重积分：〔1<2>D由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；〔3D是以O<0,0>,A<1,-1>,B<1,1>为顶点的三角形;<4>.解：〔1<2>积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示<3>积分区域D如图10-13所示.图10-13D可表示为：所以9.计算下列二次积分：解：〔1因为求不出来,故应改变积分次序。积分区域D：0≤y≤1,y≤x≤,如图10-14所示。图10-14D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以<2>因为求不出来,故应改变积分次序。积分区域D分为两部分,其中如图10-15所示：图10-15积分区域D亦可表示为：于是：10.在极坐标系下计算二重积分：<1><2>D为圆=1所围成的区域；<3>D是由=4,=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限的闭区域；<4>D是由曲线=x+y所包围的闭区域。解：<1>积分区域D如图10-16所示：图10-16D亦可采用极坐标表示为：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以<2>积分区域D可用极坐标表示为：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：<3>积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：<4>积分区域D如图10-18所示,图10-18D可用极坐标表示为：所以：11.将下列积分化为极坐标形式,并计算积分值：解：〔1积分区域D如图10-19所示.图10-19D亦可用极坐标表示为：所以：<2>积分区域D如图10-20所示.图10-20D可用极坐标表示为：于是：<3>积分区域D如图10-21所示.图10-21D也可用极坐标表示为：.于是：<4>积分区域D如图10-22所示.图10-22D可用极坐标表示为：于是:*12.作适当坐标变换,计算下列二重积分：<1>,其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域；<2><3>令x=v,x+y=u;<4><5><6>解：<1>积分区域D如图10-23所示：图10-23令xy=u,,则于是：<2>积分区域D如图10-24所示。图10-24令x+y=u,x-y=v,则且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：〔3积分区域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,则y=u-v积分区域Dxy变为Duv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是<4>令x=arcosθ,y=brsinθ则积分区域D变为Drθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：<5>令x=rcosθ,y=rsinθ.即作极坐标变换,则D变为：0≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：〔6积分区域D如图10-25所示：D可分为D1,D2∪D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标表示为。图10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：<1>曲线所围〔a>0,b>0;<2>曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所围〔x>0,y>0.解：〔1曲线所围的图形D如图10-26所示：图10-26D可以表示为：所求面积为：<2>曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x<x>0,y>0>所围图形D如图10-27所示：图10-27所求面积为令xy=u,,则于是14.证明：<1><2>,D为|x|+|y|≤1;<3>,其中D为x2+y2≤1且a2+b2≠0.解：〔1题中所给累次积分的积分区域D为a≤y≤b,a≤x≤y.如图10-28所示：图10-28D也可表示为a≤x≤b,x≤y≤b,于是：<2>令x+y=u,x-y=v,则,且-1≤u≤1,-1≤v≤1,于是<3>令,则当x2+y2≤1时,于是15.求球面x2+y2+z2=y2含在圆柱面x2+y2=ax部的那部分面积。解：如图10-29所示：图10-29上半球面的方程为,由得由对称性知16.求锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积。解：由z2=x2+y2,z2=2x两式消去z得x2+y2=2x,则所求曲面在xOy面上的投影区域D为：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面积为.17.求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。解：由对称性知,所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2的部分面积的16倍,如图10-30所示。图10-30这部分曲面的方程为,于是所求面积为.18.设薄片所占的闭区域D如下,求均匀薄片的重心。<1>D由所围成；<2>D是半椭圆形闭区域：;<3>D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ<0<a<b>之间的闭区域。解：<1>闭区域D如图10-31所示。图10-31闭区域D的面积A为所求重心为.<2>因为闭区域D对称于y轴,所以=0,又闭区域D的面积。.所以：所求重心为.<3>闭区域D如图10-32所示：图10-32由于闭区域D关于x轴对称,所以,又故所求重心为19.设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成,它在点〔x,y处的面密度ρ<x,y>=x2y,求该薄片的重心。解：闭区域D如图10-33所示：图10-33薄片的质量为从而所求重心为.20.设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求这薄片的重心.解：建立直角坐标系如图10-34所示。图10-34由已知ρ<x,y>=x2+y2,且从而即所求重心为.21.设均匀薄片〔面密度为常数1所占闭区域D如下,求指定的转动惯量：<1>D:,求Iy;<2>D由抛物线与直线x=2所围成,求Ix和Iy；<3>D为矩形闭区域：0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.解：〔1令x=arcosθ,y=brsinθ,则在此变换下D：变化为：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以<2>闭区域D如图10-35所示图10-35<3>22.已知均匀矩形板〔面密度为常量ρ的长和宽分别为b和h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。解：取形心为原点,取两旋转轴为坐标轴,建立坐标系如图10-36所示.图10-3623.求直线与坐标轴围成的三角区域〔a>0,b>0对x轴及坐标原点的转动惯量〔面ρ为常数.解：所围三角区域D如图10-37所示：图10-3724.求面密度为常量ρ的匀质半圆环形薄片：对位于z轴上点M0<0,0,a><a>0>处单位质量的质点的引力F.解：由对称性知Fy=0,而故所求引力为：25.化三重积分为三次积分,其中积分区域Ω分别是：<1>由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域；<2>由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域；<3>由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域;<4>由曲面cz=xy<c>0>,所围成的第I卦限的闭区域。解：<1>积分区域Ω如图10-38所示,图10-38Ω可表示为：故<2>积分区域Ω如图10-39所示。图10-39Ω可表示为：故<3>由消去z得即,所以Ω在xOy面的投影区域为x2+y2≤1,如图10-40所示。图10-40Ω可表示为：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故<4>积分区域如图10-41所示。Ω可表示为：图10-41故26.在直角坐标系下计算三重积分：<1>,其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域；<2>,其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体；<3>,Ω是两个球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz<R>0>的公共部分；<4>,其中Ω是由x=a<a>0>,y=x,z=y,z=0所围成；<5>,其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所围成；<6>,其中Ω是由所围成。解：<1>积分区域Ω如图10-42所示。图10-42Ω可表示为：<2>积分区域Ω如图10-43所示,Ω可表示为：图10-43故<3>积分区域Ω如图10-44所示。图10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为：,且平面把积分区域Ω分为两部分,且积分区域Ω在z轴上的投影区间为[0,R],记过上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω相交的平面区域为D1<z>,过上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω的相交的平面区域为D2<z>,则<4>积分区域Ω如图10-45所示。图10-45Ω可表示为：故<5>积分区域Ω如图10-46所示。图10-46Ω在y轴上的投影区间为[0,2],故<6>积分区域Ω如图10-47所示。图10-47Ω可表示为：故27.如果三重积分的被积函数f<x,y,z>是三个函数f1<x>,f2<y>,f3<z>的乘积,即f<x,y,z>=f1<x>·f2<y>·f3<z>,积分区域为a≤x≤b,c≤y≤d,l≤z≤m,证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积,即证：28.利用柱面坐标计算下列三重积分：<1>,其中Ω是由曲面及所围成的闭区域；<2>,其中Ω是由曲面及平面z=2所围成的闭区域.图10-48解：<1>由及消去得,因而区域Ω在xOy面上的投影区域为,如图10-48所示,在柱面坐标系下：Ω可表示为：图10-48故<2>积分区域如图10-49所示,在柱面坐标系下,Ω可表示为图10-49图10-49故29.利用球面坐标计算下列三重积分：<1>,其中Ω是由球面所围成的闭区域；<2>,其中Ω由不等式,所确定.解：〔1<2>积分区域Ω如图10-50所示,在球面坐标系下,Ω可表示为图10-50故图10-5030.选用适当的坐标计算下列三重积分：<1>,其中Ω为柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的第I卦限的闭区域；<2>,其中Ω是由球面所围成的闭区域;<3>,其中Ω是由曲面及平面z=5所围成的闭区域；<4>,其中Ω由不等式所确定。解：〔1积分区闭Ω如图10-51所示.利用柱面坐标计算,Ω在柱面坐标系下表示为：图10-51,0≤r≤1,0≤z≤1,故本题也可采用直角坐标计算,在直角坐标系下,Ω可表示为：故<2>积分区域Ω如图10-52所示。用球面坐标计算,在球面坐标系下Ω可表示为：图10-52故<3>积分区域Ω如图10-53所示。利用柱面坐标计算,在柱面坐标系下,Ω可表示为：图10-53故<4>积分区域如图10-54所示。利用球面坐标计算,在球面坐标系下,Ω可表示为：图10-54故31.利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：<1>z=6-x2-y2及；<2>x2+y2+z2=2az<a>0>及x2+y2=z2〔含有z轴的部分；<3>及z=x2+y2;<4>z=及x2+y2=4z.解：〔1曲面围成的立体Ω如图10-55所示。在柱面坐标系下,Ω可表示为：图10-55用柱面坐标可求得Ω的体积〔2曲面围成的立体Ω如图10-56所示。在球面坐标系下Ω可表示为：图10-56利用球面坐标可求得Ω的体积：〔3曲面围成的立体Ω如图10-57所示。在柱面坐标系下,Ω可表示为：图10-57利用柱面坐标可求得Ω的体积：<4>曲面围成的立体Ω如图10-58所示。在柱面坐标系下,Ω可表示为：图10-58利用柱面坐标可求得Ω的体积：*32.选择坐标变换计算下列各题：〔1〔2解：〔1令则积分区域Ω变为Ω*：且故<2>坐标变换同〔1。33.球心在原点,半径为R的球体,在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比,求这球体的质量。解：利用球面坐标计算：Ω：则34.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心〔设密度ρ=1;<1>z2=x2+y2,z=1;<2><3>z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解：〔1两曲面所围立体Ω为一高和底面半径均为1的圆锥体〔如图10-59所示,其体积v=.在柱面坐标系下,Ω可表示为：r≤z≤1,0≤r≤1,0≤θ≤2π.图10-59又由对称性可知,重心在z轴上,故,所以,所围立体的重心为.<2>所围立体Ω如图10-60所示。其体积.图10-60在球面坐标系下,Ω可表示为：,又由对称性知,重点在z轴上,故,故所围立体的重心为<3>所围立体Ω如图10-61所示,在直角坐标系下,Ω可以表示为图10-610≤x≤a,0≤y≤a-x,0≤z≤x2+y2.先求Ω的体积V.故由Ω关于平面y=x的对称性可知。.又故所围立体的重心为.35.球体x2+y2+z2≤2Rz,各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的重心。解：用球面坐标计算,在球面坐标系下球体可以表示为：0≤r≤2Rcosφ,0≤φ≤,0≤θ≤2π,球体密度ρ=r2,由对称性可知重心在z轴上,故,又球体的质量从而故球体的重心为.36.一均匀物体〔密度为常量占有的闭区域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成。〔1求物体的体积；〔2求物体的重心；〔3求物体关于z轴的转动惯量。解：〔1Ω如图10-62所示。由对称性可知。图10-62<2>由对称性知,而故物体重心为.37.求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心,而平行于母线的轴的转动惯量〔设密度=1.解：建立坐标系如图10-63所示,用柱面坐标计算。图10-6338.求均匀柱体：对于位于点M0〔0,0,a<a>h>处的单位质量的质点的引力。解：由柱体的对称性可知,沿x轴与y轴方向的分力互相抵消,故Fx=Fy=0,而39.在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上,问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解：如图10-64所示,因为闭区域D对称于y轴,所以重心必位于y轴上,即,要使重心恰好落在圆心上,必须使,于是必须,而图10-64由得.即均匀矩形薄片另一边长度应是.40.求由抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片〔面密度为常数c对于直线y=-1的转动惯量。图10-65解：*41.试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：<1><2>,D为全平面；<3>当时当时解：〔1当时当时故当m>1时,原积分收敛,当m≤1时发散。〔2由于被积函数是正的,并且关于x轴和y轴都对称,故由于,故积分当p>1时收敛,p<1时发散,p=1时显然也发散,因此.同理有：.由此可知仅当p>1且q>1时收敛,其他情形均发散。<3>由0<m<|φ<x,y>|≤M,可知积分与积分同时收敛同时发散。由于被积函数是正的,故由于,当0≤y≤1时,有<若p≥0>,<若p<0>,故<若p≥0>,若p<0,则有相反的不等式。由于,故积分当时收敛,时发散,而时,由知积分也发散。由此可知：积分,从而积分当时收敛,当时发散。*42.计算积分解：由于而收敛,故收敛,从而,采用极坐标有：*43.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性：<1>;<2>解：<1>故当m<1时,原积分收敛,当m≥1时,原积分发散。〔2由于x2+xy+y2=<当<x,y>≠<0,0>时>故<当<x,y>≠<0,0>时>再注意到广义重积分收敛必绝对收敛,即知积分与同敛散。由于<当<x,y>≠<0,0>时>,采用极坐标即得而为常义积分,其值为有限数,而由此可知：原积分当p<1时收敛,当p≥1时发散。44.设A〔0,0,a为球体x2+y2+z2≤R2一质量为1的质点〔0<a<R,球体密度为常数ρ,求球对A的吸引力。解:45.计算下列对弧长的曲线积分：〔1,其中L为圆周x=acost,y=asint<0≤t≤2π>;<2>,其中L为连接〔1,0及〔0,1两点的直线段；<3>,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界；<4>,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限所围成的扇形的整个边界；〔5,其中为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧；〔6,其中为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点〔0,0,0,<0,0,2>,<1,0,2>,<1,3,2>；<7>,其中L为摆线的一拱x=a<t-sint>,y=a<1-cost><0≤t≤2π>；〔8,其中L为曲线x=a<cost+tsint>,y=a<sint-tcot>,<0≤t≤2π>；〔9,其中为螺旋线,x=acost,y=asint,z=at<0≤t≤π>.解：〔1.<2>L的方程为y=1-x〔0≤x≤1.<3>L由曲线L1：y=x2<0≤x≤1>,及L2：y=x<0≤x≤1>组成〔如图10-66所示。图10-66故〔4如图10-67所示,L=L1+L2+L3图10-67其中L1：y=0<0≤x≤a>,从而L2:x=acost,y=asint,0≤t≤故L3:y=x<0≤x≤a>.故所以<5><6>故<7><8><9>46.求半径为a,中心角为2φ的均匀圆弧〔线密度=1的重心。解：建立坐标系如图10-68所示：图10-68由对称性可知,又故重心坐标为.即在扇形对称轴上.且与圆心距离处。47.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=kt,其中0≤t≤2π,它的线密度,求：〔1它关于z轴的转动惯量Iz；〔2它的重心。解：<1><2>故重心坐标为48.计算曲面积分,其中为抛物面z=2-<x2+y2>在xOy面上方的部分,f<x,y,z>分别如下：<1>f<x,y,z>=1;<2>f<x,y,z>=x2+y2;<3>f<x,y,z>=3z.解：抛物面z=2-<x2+y2>与xOy面的交线是xOy面上的圆x2+y2=2,因而曲面在xOy面上的投影区域Dxy:x2+y2≤2,且ds=故〔1<2><3>49.计算,其中是：〔1锥面z=及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面；〔2锥面z2=3<x2+y2>被平面z=0和z=3所截得的部分。解：〔1,其中:故.因此<2>所截得锥面为故.50.计算下列对面积的曲面积分：〔1,其中为平面在第I卦限中的部分；〔2,其中为平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分；<3>,其中为球面x2+y2+z2=a2上z≥h<0<h<a>的部分；<4>,其中为锥面被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分；<5>,其中为上半球面.解：〔1<如图10-69所示>图10-69故<2>:z=6-2x-2y<如图10-70所示>。图10-70故<3>且其在xOy面上的投影为Dxy:x2+y2≤a2-h2且故.<4>故<5>Dxy:x2+y2≤R2故51.求抛物面壳的质量,此壳的面密度大小为.52.求面密度为的均匀半球壳x2+y2+z2=a2<z≥0>对于z轴的转动惯量。解：习题十一1．设L为xOy面直线x=a上的一段,证明：其中P<x,y>在L上连续．证：设L是直线x=a上由<a,b1>到<a,b2>这一段,则L：,始点参数为t=b1,终点参数为t=b2故2．设L为xOy面x轴上从点<a,0>到点<b,0>的一段直线,证明：,其中P<x,y>在L上连续．证：L：,起点参数为x=a,终点参数为x=b．故3．计算下列对坐标的曲线积分：<1>,其中L是抛物线y=x2上从点<0,0>到点<2,4>的一段弧；<2>其中L为圆周<x-a>2+y2=a2<a>0>及x轴所围成的在第一象限的区域的整个边界<按逆时针方向绕行>；<3>,其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧；<4>,其中L为圆周x2+y2=a2<按逆时针方向绕行>；<5>,其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；<6>,其中Γ是从点<3,2,1>到点<0,0,0>的一段直线；<7>,其中Γ为有向闭拆线ABCA,这里A,B,C依次为点〔1,0,0,<0,1,0>,<0,0,1>；<8>,其中L是抛物线y=x2上从点<-1,1>到点<1,1>的段弧．解：<1>L：y=x2,x从0变到2,<2>如图11-1所示,L=L1+L2．其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0<0≤x≤2a>故<3><4>圆周的参数方程为：x=acost,y=asint,t:0→2π．故<5><6>直线Γ的参数方程是t从1→0．故<7><如图11-2所示>图11-2,x从0→1．,z从0→1,x从0→1．故<8>4．计算,其中L是<1>抛物线y2=x上从点<1,1>到点<4,2>的一段弧；<2>从点<1,1>到点<4,2>的直线段；<3>先沿直线从<1,1>到点<1,2>,然后再沿直线到点<4,2>的折线；<4>曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点<1,1>到点<4,2>的一段弧．解：<1>L：,y：1→2,故<2>从<1,1>到<4,2>的直线段方程为x=3y-2,y：1→2故<3>设从点<1,1>到点<1,2>的线段为L1,从点<1,2>到<4,2>的线段为L2,则L=L1+L2．且L1：,y：1→2；L2：,x：1→4；故从而<4>易得起点<1,1>对应的参数t1=0,终点<4,2>对应的参数t2=1,故5．设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由<a,0>沿椭圆移动到B<0,b>,求力所做的功．解：依题意知F=kxi+kyj,且L：,t：0→<其中k为比例系数>6．计算对坐标的曲线积分：<1>,Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆,方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；<2>,Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线,方向按曲线依次经过xOy平面部分,yOz平面部分和zOx平面部分．解:<1>Γ：即其参数方程为：t：0→2π故：<2>如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：t：0→,故又根据轮换对称性知7．应用格林公式计算下列积分：<1>,其中L为三顶点分别为<0,0>,<3,0>和<3,2>的三角形正向边界；<2>,其中L为正向星形线；<3>,其中L为抛物线2x=πy2上由点<0,0>到<,1>的一段弧；<4>,L是圆周上由点<0,0>到<1,1>的一段弧；<5>,其中m为常数,L为由点<a,0>到<0,0>经过圆x2+y2=ax上半部分的路线〔a为正数．图11-4解：<1>L所围区域D如图11-4所示,P=2x-y+4,Q=3x+5y-6,,,由格林公式得<2>P=x2ycosx+2xysinx-y2ex,Q=x2sinx-2yex,则,．从而,由格林公式得．<3>如图11-5所示,记,,围成的区域为D．〔其中=-L图11-5P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+3x2y2,由格林公式有：故<4>L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有而P=x2-y,Q=-<x+sin2y>．,,即,于是从而<5>L,OA如图11-7所示．图11-7P=exsiny-my,Q=excosy-m,,由格林公式得：于是：8．利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积：<1>星形线x=acos3t,y=asin3t；<2>双纽线r2=a2cos2θ；<3>圆x2+y2=2ax．解：<1><2>利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ,y=rsinθ得,从而xdy-ydx=a2cos2θdθ．于是面积为：<3>圆x2+y2=2ax的参数方程为故9．证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值：<1>；<2>；<3>沿在右半平面的路径；<4>沿不通过原点的路径；证：<1>P=x-y,Q=y-x．显然P