导航学(第三章)惯性导航系统

2023/9/271/145第三章惯性导航系统教授：魏二虎2023/9/272/145

内容提纲

3.1、概述§3.2、平台式惯导系统的基本原理§3.3、捷联式惯导系统的工作原理§3.4、惯性导航系统的误差分析§3.5、惯性导航系统的初始对准2023/9/273/145§3.1

概述惯性导航是一种自主式的导航方式。它完全依靠机载设备自主地完成导航任务，和外界不发生任何光、电联系，因此隐蔽性好，工作不受气象条件的限制。是航天、航空和航海领域中广泛使用的主要导航方法，在导航技术中占有突出的地位。2023/9/274/145§3.1

概述惯性导航的基本工作原理是以牛顿力学定律为基础，利用一组加速度计连续的进行测量，而后从中提取运动载体相对某一选定的导航坐标系的加速度信息；通过一次积分运算（载体的初始速度已知）便得到载体相对导航坐标系的即时速度信息；再通过一次积分运算（载体初始位置已知）便又得到载体相对导航坐标系的即时位置信息。图3.1惯性导航原理图2023/9/275/145§3.1

概述在实际的惯导系统中，载体的位置一般都用地理经纬度L和来表示。如果x轴指北，y轴指东，R表示地球半径，则用经纬度表示的载体位置为：2023/9/276/145§3.1

概述(2013-11-22)惯性导航系统通常由以下几个部分组成：加速度计用来测量载体运动的加速度。惯导平台模拟一个导航坐标系。导航计算机完成导航计算和平台跟踪回路中指令角速度信号的计算。控制显示器给定初始参数及系统需要的其他参数，显示各种导航信息。2023/9/277/145§3.1

概述从结构上来说，可把惯导分成两大类：一类是平台式惯导；在平台式惯导中，以实体的陀螺稳定平台确定的平台坐标系来精确地模拟某一选定的导航坐标系，从而获得所需的导航数据。平台惯导系统原理方块图2023/9/278/145§3.1

概述另一类是捷联式惯导；在捷联式惯导中则通过计算机实现的数学平台来替代实体平台，由此带来的好处是可靠性高、体积小和价格便宜。捷联惯导系统原理方块图2023/9/279/145

内容提纲

§3.1、概述3.2、平台式惯导系统的基本原理§3.3、捷联式惯导系统的工作原理§3.4、惯性导航系统的误差分析§3.5、惯性导航系统的初始对准2023/9/2710/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理3.2.1平台式惯导系统的基本组成平台式惯导系统的核心是惯性级的陀螺稳定平台。三个加速度计的敏感轴分别沿三个坐标轴的正向安装，测得载体的加速度信息就体现为比力在平台坐标系中的三个分量。通过必要的计算和补偿，可从提取出载体相对导航坐标系的加速度矢量的三个分量。再通过两次积分，可得到载体相对导航坐标系的速度和位置。2023/9/2711/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.1平台式惯导系统的基本组成平台式惯导系统按所选定的导航坐标系的不同又可分为：

1．当地水平面惯性导航系统这种系统的导航坐标系是一种当地水平坐标系，也是前面所说的地理坐标系，即平台系的两个轴x轴及y轴保持在水平面内，z轴与地垂线相重合。由于两个水平轴可指向不同的方位，故这种系统又可分为：(1)指北方位惯导系统。这种系统在工作时x轴指向地理东向（E），y轴指向地理北向（N），即平台系模拟当地地理坐标系(用g来标识)。(2)自由方位惯导系统。在系统工作中，平台y轴不跟踪地理北向而是与北向夹某个角度，称自由方位角。2023/9/2712/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.1平台式惯导系统的基本组成

2、空间稳定惯导系统这种系统的导航坐标系为惯性坐标系(用i来标识)，一般采用原点定在地心的惯性坐标系。z轴与地轴重合指向北极，x、y轴处于地球赤道平面内，但不随地球转动。与当地水平面惯导系统相比，平台所取的空间方位不能把运动加速度和重力加速度分离开，而要依靠计算机进行补偿。2023/9/2713/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.1平台式惯导系统的基本组成

由下图可见，一组加速度计安装在惯性平台上，为导航计算机的计算提供加速度信息。导航计算机根据加速度信息和由控制台给定的初始条件进行导航计算，得出载体的运动参数及导航参数，一方面送去显示器显示，一方面形成对平台的指令角速率信息，施加给平台上的一组陀螺仪，再通过平台的稳定回路控制平台精确跟踪选定的导航坐标系。此外，从平台框架轴上的角传感器可以获得载体的姿态信息并送往显示器显示。2023/9/2714/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.1平台式惯导系统的基本组成左图给出了平台式惯导系统的组成结构图。图中所示的惯性平台是由三个单自由度陀螺组成的三环平台。沿三个平台轴线分别安装三个加速度计，分别测得各轴分量，此信号送给导航计算机，经过计算和补偿，最后可求得载体的即时地速、即时位置等导航参数；同时各轴陀螺相对惯性空间有转动角速度，计算机算出的三轴分量并变为电信号后加给平台上相应的三个陀螺控制轴的力矩器，使惯导平台与当地水平面一致，另外计算机还向显示器输出当前的姿态。2023/9/2715/145不同算法方案的平台式惯导系统，其组成结构是相似的；区别主要是选用的导航坐标系不同，因而导航参数与指令角速率的计算过程不同，即力学编排方程不同。对元部件的要求也可能有所不同。§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.1平台式惯导系统的基本组成2023/9/2716/1453.2.2水平指北方位惯导系统机械编排方程首先复习：2.2.8比力与比力方程（1）比力定义加速度计测量的不是载体的运动加速度，而是载体相对惯性空间的绝对加速度和引力加速度之差，称作“比力”。设一质点P，质量为m，在惯性坐标系中的位置矢量为R，则由牛顿第二定律，有：其中F引为作用在P点上的引力；G为引力加速度。2023/9/2717/145复习：2.2.8比力与比力方程（1）比力定义或定义比力f为：f=F外/m则即比力是作用在单位质量上的外力。比力也称作“非引力加速度”。2023/9/2718/145此处的R不是地球半径复习：2.2.8比力与比力方程（2）比力方程载体相对地球运动，地球又相对惯性空间运动。加速度计输出的比力表示了载体相对惯性系的非引力加速度；而对于在地球表面导航的载体，要知道载体相对于地球系的加速度。比力方程表示了载体、地球系、惯性系这三者之间的运动关系。设载体在地心惯性坐标系中的位置矢量为R，则利用矢量的相对导数和绝对导数的关系，载体位置矢量在地心惯性坐标系中的导数可表达为2023/9/2719/145复习：2.2.8比力与比力方程式中为载体相对地球的速度；为地球自转角速度；为地球自转产生的牵连速度。下面介绍上式的推导。在有些教材中也用Ω

表示地球自转角速度2023/9/2720/145O´MOXY设动空间做平面一般运动（随O'点的移动+绕O'点的转动，转动角速度

ie）。矢量的相对导数和绝对导数的关系

（以二维坐标系为例讲解）X'Y'2023/9/2721/145注意称相对导数——相对矢径r'的绝对导数与相对导数的关系。2023/9/2722/145于是——绝对速度——牵连速度——相对速度2023/9/2723/145矢量的相对导数和绝对导数的关系2023/9/2724/145复习：2.2.8比力与比力方程

用代表载体相对地球的运动速度，即，则有对上式两边在惯性系中求导，得考虑为常值,故上式变为2023/9/2725/145复习：2.2.8比力与比力方程由于的各分量是沿平台坐标系（理论上沿导航坐标系）的，故以导航坐标系作为动坐标系，则又将两式代入2令则有22023/9/2726/145注意G和g是不一样的复习：2.2.8比力与比力方程又由比力定义有考虑到地球的重力场是地球引力和地球自转产生的离心力的矢量和，即2上式即为比力（微分）方程。它是惯性导航中的一个基本方程，比力方程说明了加速度计测量输出的比力中所包含的物理量，其中除了是导航需要的，其它的量都是要实时扣除掉。2023/9/2727/145复习：2.2.8比力与比力方程（3）加速度信息的提取比力方程给出了比力与加速度关系，方程中为平台（载体）相对地球坐标系的加速度，是惯导系统所要提取的信息；是载体的相对速度与牵连角速度引起的哥式加速度；为法向加速度，而为重力加速度。将比力方程改写成上式中，aB通常称为有害加速度，因为它对计算带来了麻烦，必须从测得的比力f中补偿掉，才能提取出载体的运动加速度。2023/9/2728/145补充知识一对于矢量则2023/9/2729/145第二章知识由左图知地球自转角速度在地理坐标系下的投影为：地理坐标系相对地球坐标系的转动角速率在地理系上的投影为：地球坐标系和地理坐标系2023/9/2730/1452023/9/2731/145惯导系统的机械编排是指系统的实体布局、采用的坐标系及解析计算方法的总和。它体现了从加速度计的输出到计算出即时速度和位置以及对平台陀螺进行施矩控制的整个过程。进行机械编排就是确定和提出反映系统中各力学量之间联系的方程组，又称之为惯导系统的机械编排方程。§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.2水平指北方位惯导系统机械编排方程2023/9/2732/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.2水平指北方位惯导系统机械编排方程下面列出惯导系统的机械编排方程。1．平台指令角速度

由于当地地理坐标系随着地球自转和载体运动而改变。为使平台跟踪地理坐标系，就要给平台上的陀螺加施矩指令使平台做相应转动。地理系相对惯性系的转动角速率在n系上的分量可表示为右上式：式中：为地球自转角速度在n系上的分量，为地理系相对地球系的角速度在n系上的分量，是由于运载体在地球曲面运动而造成的相对角速率。2023/9/2733/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.2水平指北方位惯导系统机械编排方程由于p系和n系是重合的，故角速度在两个坐标系上的投影完全相同，即有将按的三个分量计算形成的电信号分别送给平台上相应的陀螺力矩器，就能实现p系对n系的跟踪。2023/9/2734/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.2水平指北方位惯导系统机械编排方程2.地理速度计算2023/9/2735/1452.地理速度计算（续）2023/9/2736/1452.地理速度计算（续）对该微分方程式进行求积分法或离散化解，即可得到运载体在地理坐标系的速度。一般将右式：离散化，得到2023/9/2737/1453.纬度、经度和高度计算1）积分法：考虑到h<<Rm,h<<Rn式中：L0、λ0和h0为初始的经纬高。近似过后2023/9/2738/1453.纬度、经度和高度计算2）离散化法将右式离散化；可得右下式：通过这组递推公式可以得到载体的地理位置：L,λ,h2023/9/2739/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.2水平指北方位惯导系统机械编排方程4.姿态角的获取优点：由于平台坐标系模拟了当地地理坐标系，故从平台框架上角度传感器（同步器）就可以直接取得载体的姿态信号：航向角；俯仰角；横滚（倾斜）角2023/9/2740/1454.姿态角的获取（续）缺点如右式：水平指北方位系统的主要问题是不适应高纬度区飞行。陀螺力矩器接受很大的指令电流，同时极区飞行时计算也会发生溢出。结论指北方位系统不能满足全球导航的要求。后面介绍的自由方位系统及游动方位系统可以解决以上问题。指令角速度2023/9/2741/1455.水平指北方位惯导系统原理框图2023/9/2742/1453.2.3惯导系统的高度不稳定和高度通道的阻尼

1.纯惯导高度通道不稳定（2013-12-05）1）理论分析载体的即时高度h由两次积分得到，这和水平通道的导航计算似乎没有什么区别，但由下式，取垂直通道考虑，则：由上式可以看出包含重力加速度g。因此作为精确导航应当考虑到，g不是常值而是高度h的函数，其数值随高度的增加而减少，所以惯性高度通道是不稳定的。可以证明，当h<<R时

式中：R为地球半径，g0为地球表面重力加速度。证明过程见下页2023/9/2743/145补充知识《大地测量学》P70-712023/9/2744/1451.纯惯导高度通道不稳定（续）2）根据特征方程分析（*参考《自动控制原理与系统》

）（1）分析流程：系统通道的系统框图系统方程：系统输入输出量之间关系的微分方程系统方程的Laplace转换，引入传递函数符号s；系统的特征方程式：表示系统输入输出量之间关系的微分方程对应的特征方程。例如：系统的输入输出关系为Ax‘’+Bx‘+Cx=Dy’+Ey；则其特征方程就是Ar2+Br+C=0；系统稳定性判断：系统特征值s有正根，则不稳定。否则稳定。2023/9/2745/1452）根据特征方程分析（续）略去有害加速度aBe，该系统的系统方程为：纯惯导高度通道的系统框图，1/s表示（传递函数-积分过程）2023/9/2746/1452）根据特征方程分析（续）系统方程的Laplace转化：平台绕稳定轴的运动方程式，按照转动刚体的牛顿第二定律写出：Jp:平台绕固定轴的转动惯量；Mp:作用在平台上的总力矩。力矩方程的Laplace转换：引入s参数。2023/9/2747/1452）根据特征方程分析（续）系统方程：特征方程式为：式中s为特征值，特征方程式有一个正根，说明系统是不稳定的，计算高度误差是扩散的。2023/9/2748/1452.惯导系统高度通道的阻尼因此前述系统不能直接采用这种纯惯性的高度通道，而必须引入外部高度信息对高度通道构成阻尼回路，使两种高度信息起互补作用，这样两方面可以取长补短，得到动态品质好而误差不随时间发散的组合高度系统。通常采用有二阶阻尼或者三阶阻尼。垂直通道的二阶阻尼回路2023/9/2749/1451）二阶阻尼回路2023/9/2750/1452）三阶阻尼回路为了得到更好的系统特性，可采用三阶混合高度测量系统。2023/9/2751/1452.惯导系统高度通道的阻尼(续)

2）三阶阻尼回路(续)有关二阶和三阶阻尼回路中控制系数的计算通常根据《控制原理》的关系来最优处理。在现代惯性导航系统中，也可以采用《现代控制算法》来实现对高度通道的控制。2023/9/2752/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.4自由方位惯导系统1）自由方位角的定义af2023/9/2753/1453.2.4自由方位惯导系统(续)2）推导自由方位角αf对于自由方位平台，有由于p系和n系的z轴重合，又因为故平台绕z轴偏离地理坐标系的角速率为考虑到也是，故自由方位角为2023/9/2754/1453.2.4自由方位惯导系统(续)3）自由方位角的作用载体的航向角ψ与自由方位角的关系如右图所示。图中yn指向正北，yb代表载体纵轴的水平方位，他们之间的夹角即航向角ψ。yf代表自由方位平台的对应轴oyp的方位。从平台ozp轴上的角传感器，只能读取载体相对平台的偏航角ψfb，所以必须知道自由方位角αf的大小，才能由下式求出航向角ψ。自由方位惯导系统的具体导航参数解算过程参看秦永元的《惯性导航》。航向角与自由方位角的关系2023/9/2755/1453.2.5游动自由方位惯导系统

1）游动方位角定义游动自由方位系统平台坐标系仍为当地水平。与自由方位系统的区别在于，对方位陀螺力矩器上要施加有限的指令角速度，即：平台绕z轴只跟踪地球本身的转动，而不跟踪由载体运动速度而引起的当地地理坐标系相对惯性系的转动角速率。因而有：这样y轴与地理系y轴之间仍存在夹角，设为α，称游动方位角。2023/9/2756/1453.2.5游动自由方位惯导系统（续）2）推导游动方位角α由又因为所以有因此可见，游动方位系统与自由方位系统差别不大。可以在前述自由方位系统的基础上来列写游动方位系统的机械编排方程。具体求解过程可以参看秦永元的《惯性导航》。2023/9/2757/145§3.2

平台式惯导系统的基本原理

3.2.6解决极区航行的方案提出问题：在极区航行时，计算机在计算位置和指令角速率时要进行tanL的计算，当纬度接近90°时，计算机数字计算溢出，以至与三角函数有关的表达式失效。解决方案：采用横向经纬度坐标法。该方法是将极区的经纬度重新人为规定，如将经纬度坐标系相对赤道平面转过一个角度，形成新的极点，这样原来的极区在新坐标系中就不再是极区。通过原坐标系和新坐标系的转换矩阵，在新坐标系求得的位置就可以转换到原坐标系中去，从而避开了L接近90°时计算tanL的问题。2023/9/2758/145

内容提纲

§3.1、概述§3.2、平台式惯导系统的基本原理3.3、捷联式惯导系统的工作原理§3.4、惯性导航系统的误差分析§3.5、惯性导航系统的初始对准2023/9/2759/145§3.3

捷联式惯导系统的工作原理1）概念（2013-12-06-12）捷联式惯导系统(SINS)是把惯性仪表直接固联在载体上，用计算机来完成导航平台功能的惯导系统。省去了硬件上的平台，通过软件上的平台来弥补，与平台系统相比，需要计算姿态角。本节重点阐述捷联惯性导航系统姿态角的计算方法。其他导航定位算法和平台惯性导航系统相同，就不做介绍了。2023/9/2760/1452）特点优点整个系统的体积、重量和成本降低；惯性仪表便于安装维护，也便于更换；惯性仪表可以给出载体轴向的线加速度和角速度；和平台式系统相比，捷联式系统可以提供更多的导航和制导信息；惯性仪表便于采用余度配置，提高系统的性能和可靠性。问题惯性仪表固联在载体上，直接承受载体的振动和冲击，工作环境恶劣；高性能歼击机角速度可达400°/s，这样，陀螺的测量范围为0.01°/h-400°/s，量程高达108，这就要求捷联陀螺有大的施矩速度和高性能的再平衡回路；平台式系统的陀螺仪安装在平台上，可以相对重力加速度和地球自转角速度任意定向来进行测试，便于误差标定。而捷联陀螺则不具备这个条件，因而装机标定比较困难，从而要求捷联陀螺有更高的参数稳定性。2023/9/2761/1453.捷联惯导系统-方块图2023/9/2762/1454.捷联惯导基本算法与误差捷联惯导系统算法概述算法：从惯性仪表输出到导航与控制信息捷联惯导算法的基本内容：一、系统初始化：1、给定飞行器初始位置、速度等2、数学平台的初始对准3、惯性仪表的校准二、惯性仪表的误差补偿三、姿态矩阵的计算四、导航计算五、导航控制信息的提取2023/9/2763/1455.捷联式惯导计算流程框图(地理坐标系L系）2023/9/2764/145§3.3

捷联式惯导系统的工作原理

3.3.1捷联式惯导系统的姿态计算捷联惯性导航系统数学平台中，最重要的问题是实时获得载体坐标系相对地理坐标系的关系（姿态转换矩阵）。载体的姿态和航向反映了载体坐标系和地理坐标系之间的转换关系；2023/9/2765/1453.3.1捷联式惯导系统的姿态计算(续)动和参考坐标系转换的方法有多种，简单地把它们分作三类(也是能够用角速度计算转换参数的方法)：1.三参数法也叫欧拉角法；2.九参数法是方向余弦法；3.四参数法通常指四元数法：考虑到转动的不可交换性，有时用等效转动矢量加以辅助。2023/9/2766/1451.欧拉角法1）欧拉角法坐标转换思想如把载体坐标系OXbYbZb作为动坐标系，把地理坐标系OXnYnZn作为参考坐标系。则姿态角θ、γ和航向角ψ即为一组欧拉角，表示从地理系到载体系的一种转动。2023/9/2767/1451）欧拉角法坐标转换思想（续）3次转动可以用数学方法表述成3个独立的方向余弦矩阵，定义如下：绕z轴转动ψ角绕y轴转动θ角绕x轴转动φ角2023/9/2768/1451）欧拉角法坐标转换思想（续）姿态转换矩阵为：欧拉角（θ、γ和航向角ψ）怎么获得？2023/9/2769/1451.欧拉角法(续)2）欧拉角的观测和计算捷联陀螺仪的实际测量输出：ωibb如何建立ωibb和欧拉角的关系呢？2023/9/2770/1452）欧拉角的观测和计算（续）（1）如何建立ωibb和欧拉角的关系呢？载体坐标系相对地理坐标系的角速度在载体坐标系轴向的分量构成的列矢量：ωnbb转换关系式如：所以一般可以将ωnbb作为已知量对待。（2）如何建立ωnbb与欧拉角的关系？ωnbb和欧拉角速度关系？2023/9/2771/145（2）如何建立ωnbb与欧拉角的关系？(续)坐标转换得出，ωnbb和姿态航向角（θ，γ，ψ）的速度关系为：展开合并得或欧拉角微分方程2023/9/2772/1452）欧拉角的观测和计算(续)根据角速度ωnbb

可以直接求解(θ,γ,ψ)三个角度。微分方程只有三个，因此称为三参数法。当θ=90°时，方程出现“奇点”，方程式退化，故不能全姿态工作。2023/9/2773/1453.3.1捷联式惯导系统的姿态计算(续)

2.方向余弦法

1）概述(2013-12-12)方法余弦法是直接求解机体坐标系与地理坐标系的姿态转换矩阵。三个姿态角与姿态转换矩阵是完全一一对应的。方向余弦矩阵用符号Cbn

表示，是一个3×3阶的矩阵，列表示载体坐标系中的单位矢量在参考坐标系中的投影。Cbn的分量形式如下：第i行、j列的元素表示参考坐标系i轴和载体坐标系j轴夹角的余弦。2023/9/2774/1452）利用方向余弦矩阵进行矢量变换在载体坐标系中定义的矢量rb;可以通过该矢量左乘方向余弦矩阵Cbn表示在参考系中：建立方向余弦元素与观测量旋转角速度的关系：Cbn的变化率；Cbn随时间的传递；2023/9/2775/1453）方向余弦矩阵随时间的传递

Cbn随时间的变化率如下：式中：Cbn(t)和Cbn(t+δt)分别表示t时刻和t+δt时刻的方向余弦矩阵。Cbn(t+δt)可以写成如下两个矩阵的乘积形式：式中：A(t)是一个联系b系从t时刻到t+δt时刻的方向余弦矩阵。对于小角度转动，A(t)可以表示为：式中：I是一个3阶单位阵，且有分别表示b系绕航偏轴、俯仰轴和横滚轴在时间间隔内转动的小角度。在趋近于零时，小角度近似是有效的，而且转动的次序变得不重要。2023/9/2776/1453）方向余弦矩阵随时间的传递（续）综合前面的公式，得到在δt趋近于零时，ωnbb=[ωx

ωyωz]T是角速率矢量的斜对称矩阵形式，表示b系相对于n系在载体轴系的转动角速率，即：所以有所以：可以用积分法或递推法求解：Cbn(t)在求得方余弦矩阵后，即可利用矩阵元素与姿态角对应的关系，求解出姿态角。2023/9/2777/1453.3.1捷联式惯导系统的姿态计算2.方向余弦法（续）该方法具有如下特点：１)可以全姿态工作，不受限制；２)微分方程组的维数太高，达到了九维；３)运算过程中姿态转换矩阵会有非正交化误差产生，必须每次进行正交化处理。2023/9/2778/145§3.3

捷联式惯导系统的工作原理

3.3.1捷联式惯导系统的姿态计算3.四元数法(2012-12-13)四元数理论是数学中的一个古老的分支，是一种数学间接的方法，但在空间技术和捷联式惯导系统中得到了实际应用。用四元数的微分方程计算来代替方向余弦矩阵微分方程的计算:可大大减小计算量;并且具有更好的计算性能;是一种间接处理的姿态矩阵解算方法。2023/9/2779/1453.四元数法(续)1）四元数的概念描述刚体角运动的数学工具；针对捷联惯性导航系统，弥补欧拉参数在设计现代控制系统时的不足。由一个实单位和三个虚数单位

i,j,k组成的数或者省略1，写成i,j,k服从如下运算公式：

2023/9/2780/1451）四元数的概念（续）i,j,k服从如下运算公式λ称作标量部分，称作矢量部分

四元数的另一种表示法

P泛指矢量部分2023/9/2781/1452）四元数基本性质（1）四元数加减法或简单表示为：2023/9/2782/1452）四元数基本性质（续）（2）四元数乘法或简单表示为2023/9/2783/145（2）四元数乘法(续)2023/9/2784/1452）四元数基本性质（续）（3）共轭四元数仅向量部分符号相反的两个四元数和

互为共轭可证明：（4）四元数的范数

定义则称为规范化四元数2023/9/2785/1452）四元数基本性质（续）（5）逆四元数当时（6）四元数的除法若则若则不能表示为（含义不确切）2023/9/2786/1453）四元数表示转动一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转，转角为θ，转轴n相对参考坐标系各轴之间的方向余弦值为cosα、cosβ、cosγ。则表示该旋转的四元数可以写为：为特征四元数（范数为1）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）2023/9/2787/1454）四元数表示转动矢量旋转如果矢量R相对固定坐标系旋转，旋转四元数为q，转动后的矢量为R’，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现含义：矢量R相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由q决定设固定坐标系单位矢量i,j,k，统一用符号Ee表示单位矢量Ee经过q旋转后，得到一组新的单位矢量Ee’（以及对应的新坐标系），两个坐标系的单位坐标矢量之间存在：2023/9/2788/1454）四元数表示转动矢量旋转2023/9/2789/1454）四元数表示转动矢量旋转（续）2023/9/2790/1455）四元数表示转动坐标系旋转如果坐标系OXYZ发生q旋转，得到新坐标系OX’Y’Z’一个相对原始坐标系OXYZ不发生旋转变换的矢量V

矢量V在新坐标系上OX’Y’Z’的投影为则不变矢量V在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：式中分别称为矢量V在坐标系OXYZ和OX’Y’Z’上的映像2023/9/2791/1456）四元数映象图解2023/9/2792/1457）四元数表示转动方向余弦将该投影变换式展开，也就是把代入上述投影变换式进行四元数乘法运算，整理运算结果可得2023/9/2793/1457）四元数表示转动方向余弦（续）其中方向余弦矩阵2023/9/2794/1458）四元数表示转动旋转合成多次旋转的合成(2013-12-17)对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果，相应地有合成转动四元数假定q1、q2

分别是第一次转动、第二次转动的四元数q是合成转动的四元数，那么有如下关系成立：上式中q1和q2的转轴方向必须以映象的形式给出。如果q1和q2的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有2023/9/2795/1459）求方向余弦非映象方式1用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。坐标系OX’Y’Z’相对OXYZ三次旋转，以欧拉角ψ、θ、φ的形式给出。第一转，绕Z轴转ψ角，瞬时转轴n和k轴重合，则转动四元数为2023/9/2796/145第二转，绕OX1轴转θ角，瞬时转轴n的方向表示式为其转动四元数为9）求方向余弦非映象方式22023/9/2797/145（10）求方向余弦非映象方式合成由于q1和q2的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来表示，则合成转动四元数q的计算采用：2023/9/2798/145（11）求方向余弦映象方式1以瞬时转轴映象形式给出转动四元数的表达式并求出合成转动四元数第一次转时，映象形式的q1和非映象形式的q1是一致的：2023/9/2799/145（11）求方向余弦映象方式2第二转绕OX1轴转θ角瞬时转轴n是由OX经过第一转转换来的OX轴对应单位矢量i，所以定义n的映象为i则q2的映象表示式为2023/9/27100/145（11）求方向余弦映象方式3第三转，绕OZ′轴转动φ角瞬时转轴n是由OZ经过第一转和第二转转换来的OZ′轴对应单位矢量k，所以定义n的映象为k则q3的映象表示式为2023/9/27101/14512）求方向余弦映象合成由于q1、q2和q3都是映象形式，所以三次转动的合成转动四元数q为据此可算出对应的方向余弦表2023/9/27102/14513）四元数的计算(1)四元数随时间的传递四元数q按如下的等式传递：这个等式可以用q的分量表示成矩阵形式，且，如下式所示：定义：2023/9/27103/145（2）四元数随时间的传递（续）在捷联导航系统中解算这个方程，就可以得到定义载体的四元数参数。然后可用四元数参数计算等效的方向余弦矩阵，得到姿态角。2023/9/27104/14513）四元数的求解(续)（3）四元数运动学微分方程

设矢量为四元数形式，表示载体坐标系相对地理坐标系的角速度在载体坐标系上的投影，其与对应的四元数具有如下微分方程关系用矩阵表示为其等效的矩阵矢量形式为：2023/9/27105/14513）四元数的求解(续)（4）四元数微分方程的求解，类似矩阵微分方程，可用毕卡逼近法求解，得解析表达式如下

实际上只有在短时间内方向不变时，以上指数积分方能成立，否则，将引入不可交换性误差，严格地说，应采用等效转动矢量算法。

近似取其中2023/9/27106/14514）方向余弦、欧拉角和四元数的关系利用上面三个等价矩阵推导各元素之间的相互表达式2023/9/27107/14515）四元数补充计算上的优点（1）采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，Ω为动坐标系相对定坐标系旋转角速度ω的反对称矩阵：包含9个一阶微分方程式，计算量比较大2023/9/27108/14515）四元数补充计算上的优点（续）（2）采用四元数法，则是要求解四元数方程式q为动坐标系的转动四元数，ω为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度，也表示为四元数按四元数乘积展开只要解四个一阶微分方程式组即可2023/9/27109/145讲解内容目录3.3.1捷联惯导的姿态计算（续）

4、等效转动矢量法

3.3.2捷联惯导的算法流程3.4惯性导航系统的误差分析3.4.1平台惯导系统的误差方程3.4.2捷联惯导系统的误差方程2023/9/27110/1453.3.1捷联式惯导系统的姿态计算（续）4、等效转动矢量法在方向余弦法中，解姿态矩阵微分方程时：在四元数法，解姿态矩阵微分方程时：利用上述两种方法解算姿态矩阵微分方程时都用到了角速度矢量的积分：2023/9/27111/1454、等效转动矢量法（续）*利用方向余弦和四元数两种方法解算姿态矩阵微分方程时都用到了角速度矢量的积分：出现问题：当不是定轴转动时，ω的方向在空间变化，此时角度不是矢量，利用上式积分后，产生误差——不可交换性误差。只有当积分区间很小的时候，上式才近似成立。解决方法提出：给角速度矢量ω加一个修正量σ使得下式成立，用φ->Δθ

：φ称作等效转动矢量。2023/9/27112/145修正量的表达式为:式中一起代入：故用等效转动矢量φ代替方向余弦法或四元数法中的Δθ，则可以避免转动不可交换性误差。在实际引用中，只取上式中的前两项,即4、等效转动矢量法（续）2023/9/27113/1454、等效转动矢量法（续）

根据每个计算周期采样数的不同，等效转动矢量还可分为单子样算法和双子样算法。1）等效转动矢量的单子样算法单子样算法，是在每个捷联计算周期，仅进行一次采样计算：Δθ

(n)=Δθ

(n1)

。设角速度矢量：定义：则可推导出：（1）（2）2023/9/27114/145

1）等效转动矢量的单子样算法(续)考虑联立求解(1)、(2)

得

对下面（3）式两边积分，顾及式（4）

（3）（4）（1）（2）2023/9/27115/145可将（3）的积分形式写作：

1）等效转动矢量的单子样算法(续)将带入式（5）得到等效转动矢量表达式：（5）（6）（6）2023/9/27116/1451）等效转动矢量的单子样算法(续)因为：(6)中修正量满足：所以：在方向余弦或四元数的一阶或二阶算法中，这个修正量可以略掉。在三阶算法中需要考虑这个修正项，即：或2023/9/27117/1454、等效转动矢量法（续）2）等效转动矢量的单子样迭代算法

令

顾及公式（3）：

可近似得到：那么：β=？Δβ=？在

tn+1-tn=Tn

计算周期内，用更短的迭代周期tl+1-tl=Tl对等效转动矢量进行迭代计算，迭代公式如下式（7）2023/9/27118/1452）等效转动矢量的单子样迭代算法(续)迭代初始条件：通过（7）迭代，便可得到等效转动矢量ф。（7）*迭代公式如下式（7）：2023/9/27119/1454、等效转动矢量法（续）3）等效转动矢量的双子样算法

如果在一个迭代周期内对陀螺仪采样两次，即：则类似单子样算法的情况，可求得等效转动矢量：代入方向余弦阵和四元数的三阶算法中得2023/9/27120/1453）等效转动矢量的双子样算法(续)等效转动矢量的迭代计算公式为

迭代计算的初始条件为3）等效转动矢量的双子样算法(续)等效转动矢量的迭代计算的两种回路：可用较高的频率如100Hz，通常称作快速回路。而用了等效转动矢量后的四元数或方向余弦阵的计算，则可用较低的迭代频率如20Hz，通常称作慢速回路。两种回路的结合构成了捷联姿态阵的计算。2023/9/27122/1453.3.2捷联惯导系统的算法流程1)捷联式导航系统中的姿态计算，如同平台惯导的平台功能-“数学平台”，主要完成三大功能：(1)用捷联陀螺测量ωibb采用四元数算姿态矩阵Cbn；由于求解四元素微分方程：需要用到载体坐标系相对地理坐标系的角速度在载体系轴向的分量构成的矢量ωnbb，可由下式求出:

ωien+

ωenn表示地理系相对惯性系的转动角速率在地理系上的分量；

ωien表示地球自转角速率在地理系上的分量；

ωenn表示地理系相对地球系的角速度在地理系上的分量；另外Cbn的解算是利用上一时刻的Cbn进行迭代，进而求出当前时刻Cbn的值。2023/9/27123/1451)主要完成三大功能(续)(2)从姿态阵的元素中提取载体的姿态信息ψ，θ，γ；Cbn由等效转动矢量法得到四元数并求得载体的姿态矩阵后，可以利用矩阵元素与姿态角之间对应关系求出姿态角ψ，θ，γ。具体见下式：载体姿态矩阵：由载体的姿态矩阵可得载体姿态角：游动方位角α

的求解同平台惯导中的方法2023/9/27124/1451)主要完成三大功能(续)(3)利用姿态矩阵把加速度计的输出的比力从载体坐标系变换到导航坐标系，即比力变换在求得载体相对导航系的比力后，扣除有害加速度，通过一次积分和两次积分就可分别求得载体当前速度和位置.除了上述的“数学平台”的独特功能外，捷联惯导的其它导航定位算法与平台惯导完全相同。在东北天指向的地理坐标系下，水平指北编排的捷联惯导系统的算法流程如下图所示：2023/9/27125/145水平指北捷联惯导系统的算法流程从图中可看到，四元数姿态算法是捷联惯导系统算法的核心。如何提高四元数算法的精度是捷联惯导系统的关键问题捷联惯导系统的算法主要包括姿态矩阵的解算（数学平台的解算）和导航解算（包括位置和速度的解算）两部分。同时，惯性测量单元信息的采集和处理也是其重要组成部分。2023/9/27126/145

内容提纲

§3.1、概述§3.2、平台式惯导系统的基本原理§3.3、捷联式惯导系统的工作原理3.4、惯性导航系统的误差分析§3.5、惯性导航系统的初始对准2023/9/27127/1453.4、惯性导航系统的误差分析由于惯导系统无论在元部件特性、结构安装或其它工程环节中都不可避免地存在误差。这些影响惯性导航系统性能的误差，根据产生的原因和性质可以分为以下几类：（1）元件误差:包括加速度计和陀螺仪的测量误差等。（2）安装误差:主要指加速度计和陀螺仪在平台上的安装误差。如加速度计与陀螺仪的输入轴同平台（或载体）坐标系轴不完全重合。（3）初始条件误差:指初始对准时输入计算机的初始位置、初始速度不准确，以及初始对准得到的初始姿态不准确所形成的误差。（4）运动干扰:主要是冲击和震动等造成的干扰。运动干扰对捷联惯导系统的影响尤为明显。2023/9/27128/145（5）计算误差：计算误差包括数字量化误差、参数设置误差、计算中的截断误差、舍入误差以及捷联惯导中转动不可交换误差。（6）其他误差：如地球曲率半径的描述误差、有害加速度补偿忽略了二阶小量造成的误差等。3.4、惯性导航系统的误差分析(续)研究惯导系统误差的目的在于：通过分析确定各种误差因素对系统性能的影响，对关键元器件提出适当的精度要求；借助误差分析，可以对系统的工作情况和主要元部件的质量进行评价；2023/9/27129/1453.4.1平台惯导系统的误差方程在平台惯性导航系统中，惯导平台应模拟导航坐标系，但是由于平台有误差，故平台坐标系P与导航坐标系(东北天)n之间存在着误差角，记为Φ=(φ

E+φ

N+

φU);当平台误差角为一微小量时，对姿态转移矩阵Cnp中的三角函数取一阶近似可得到：2023/9/27130/145在计算中通常引入计算系c，将平台对于地理系（东北天）的误差角分解成以下两部分：平台系p相对计算系c的误差角ψ；计算系c相对地理系（东北天）n的误差角θ；同理可得到其它坐标系间的方向余弦矩阵：3.4.1平台惯导系统的误差方程(续)令则：（1）2023/9/27131/1453.4.1平台惯导系统的误差方程(续)因为上述三个坐标系满足：将上面的（1）、（2）、（3）式带入（4）式，经过一阶近似得到：通过上面的讲解把平台系相对地理系的平台误差角Φ分解成了两部分：计算系相对地理系的误差角θ；另一部分是平台系相对计算系的误差角ψ。关于ψ我们可以通过下面的ψ方程来进一步认识。2023/9/27132/1453.4.1平台惯导系统的误差方程(续)1.ψ方程为了使平台系跟踪地理系，计算机输出陀螺矢矩信息ωic给平台上的陀螺仪，使平台相对惯性空间旋转并保持在地理坐标系上。由于误差角速ψ的存在，平台实际接收到的指令角速度为:再考虑平台上陀螺仪的漂移角速度ε，因此通过平台上的稳定回路使平台保持跟随陀螺仪的稳定轴向时，得到平台坐标系相对惯性空间的实际修正角速度为：2023/9/27133/1451.ψ方程(续)由于绝对角速度是牵连角速度与相对角速度之和，所以有

由矢量角ψ的定义可知，平台系相对计算系的角速度综上，可得到ψ方程：方程右端第一项代表改变施矩轴方位引起的附加影响；第二项即陀螺平台自身的漂移。

方程把陀螺漂移率这一主要误差源与其他误差源分离开来，从而简化了系统误差分析。2023/9/27134/1453.4.1平台式惯导系统的误差方程（续）2.平台式惯导姿态角误差方程(2013-12-19)前面有对上式两边取导数，有又将上式（2）代入（1）中忽略二阶以上误差项，有又由于可以推算得到：（1）（2）平台惯导系统平台误差角矢量微分方程2023/9/27135/1453.4.1平台式惯导系统的误差方程（续）3.平台式惯导速度误差方程由理论比力方程可得考虑其中fP

为加速度计的实际输出。设加速度计的测量误差为▼P，则:所以可推算得到：将上面的公式（4）带入公式（3）中，可得到：上式即为平台惯性导航系统速度误差的矢量微分方程。（3）（4）2023/9/27136/1453.4.1平台式惯导系统的误差方程（续）4.平台式惯导位置误差方程在水平指北方位惯性导航系统算法中介绍了载体的经度、纬度和高度的计算方法：式中：、和为初始的纬度、经度和高度。2023/9/27137/145由上式可得纬度、经度和高度变化率与相应的速度分量的关系：上式直接取微分得到平台式惯导位置误差方程：4.平台式惯导位置误差方程(续)2023/9/27138/1453.4.1平台式惯导系统的误差方程(续)5.平台惯性导航系统的误差方程式总结：（1）姿态角误差方程式：（2）速度误差方程式：（3）位置误差方程式：上述误差方程式表示了平台惯性导航系统输出的9维导航参数的误差规律，它们在误差为微小量的前提下都是一阶微分线性方程。反映了平台惯导系统的误差特性。2023/9/27139/1453.4、惯性导航系统的误差分析

3.4.2捷联式惯导系统的误差方程1.捷联式惯导姿态角误差方程捷联式惯导系统中常用的坐标系分别有导航系n、机体系b和计算系c，三个坐标系之间的关系为：与平台惯性导航系统误差分析类似，在数学平台误差角为一微小量的情况下，Cnc可近似表达为：式中Φ是捷联惯导系统的数学平台误差角,上标k表示反对称，且：下页

（1）（2）2023/9/27140/145理论上的方向余弦微分方程为而实际的方向余弦微分方程为在捷联惯性导航系统中，姿态矩阵的基本算法是采用方向余弦法或者四元数法。下面以方向余弦法为基础，推到数学平台误差角方程。（3）（4）1.捷联式惯导姿态角误差方程(续)

表示的反对称矩阵（）2023/9/27141/145其中有如下几个基本关系式：对求微分得到，将（3）、（4）、（5）带入（6），可得（6）（7）（5）1.捷联式惯导姿态角误差方程(续)2023/9/27142/145又因为将上述各项代入上面（7）式可得又因为（8）（9）1.捷联式惯导姿态角误差方程(续)2023/9/27143/145将（9）带入（8）可得上式即为捷联惯性导航系统数学平台角误差的微分方程。在捷联惯性导航系中，陀螺仪（加速度计）是沿机体系放置，所以实际上的物理误差只有，因此投影到地理坐标系的误差方程中必须经过下述转换：1.捷联式惯导姿态角误差方程(续)2023/9/27144/1453.4.2捷联式惯导系统的误差方程（续）2.捷联式惯导速度误差方程在捷联式惯导速度误差方程推导中，与平台式惯导系统有所不同，比力方程由实际计算获得，具体形式为其中是捷联加速度计的输出经方向余弦矩阵的转换而得，忽略二阶以上误差时得：因此（1）（2）（3）2023/9/27145/145另外（4）由上面各式可推得上式即为捷联惯导系统速度误差的矢量方程。2.捷联式惯导速度误差方程（续）2023/9/27146/1453.4.2捷联式惯导系统的误差方程（续）3.捷联式惯导位置误差方程捷联式惯导位置误差方程推导同于平台式惯导，参考平台惯导位置误差方程的推导，直接给出捷联惯导位置误差方程：2023/9/27147/145捷联惯导系统平台角误差方程、速度误差方程和位置误差方程总结：上述误差方程式表示了捷联惯性导航系统输出的9维导航参数的误差传递规律，它们在误差为微小量的前提下都是一阶微分线性方程。反映了捷联惯导系统的误差传递特性。3.捷联式惯导位置误差方程（续）2023/9/27148/145比较平台惯导和捷联惯导系统的误差方程可以看出：捷联式惯导误差方程与平台式惯导系统误差方程形式上完全一致。3.捷联式惯导位置误差方程（续）2023/9/27149/145讲解内容目录：3.4惯导系统的误差分析

3.4.3静基座条件下惯导系统的确定性误差分析3.4.4惯导系统的随机性误差分析

2023/9/27150/1453.4、惯性导航系统的误差分析

3.4.3惯导系统的确定性误差分析惯导系统的误差源有两类，一类是确定性的，另一类是随机性的。两类误差源引起的系统误差特性不同。下面首先讨论静基座条件下的确定性的误差源引起的惯性导航系统误差特性。2023/9/27151/1453.4.3惯导系统的确定性误差分析（续）1、静基座惯性导航系统误差分析通过前面惯性导航系统误差微分方程的推导可知：完整的惯性导航误差微分方程是9维的；但是除了δλ外，其余误差均是相互关联的；微分方程组是时变的；为了便于了解惯性导航误差的基本特性，下面主要对静基座条件下惯性导航系统误差进行分析。1、静基座惯性导航系统误差分析（续）

1）首先了解静基座条件下误差的特点（1）（2）（3）（4）位置L,λ,h给定，姿态角ψ，θ，γ给定，且保持不变2023/9/27153/1451、静基座惯性导航系统误差分析（续）2）静基座下误差分析的条件

①惯导系统(平台或捷联)的算法流程以东北天（ENU）指北方位系统，其余类似；②δλ经度误差是独立的，因此单独考虑，不放在方程组中处理；③高度通道是不稳定的，因此高度通道不考虑，即假设δvz=δh=0

；④陀螺仪和加速度计误差均考虑为常值误差，不考虑其随机性。2023/9/27154/1453)基于以上条件，静基座下惯性导航系统的误差方程可以简化为6维的一阶微分方程。写成简化形式为：1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27155/145取拉氏变换得：系统的特征方程为：式中为舒勒角频率。1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27156/145由特征方程可得：（1）（2）解特征方程式（1）可得：这是一个等幅振荡，振荡周期为：考虑到(注意：I/S=rad/s)：1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27157/145即：因此上述（2）式可近似分解为：由此可解得：1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27158/145上述四个根说明系统中还包括角频率为：的两种振荡运动。由于：说明系统中还包括两种角频率相近的正弦分量，它们合在一起产生差频为：1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27159/145即产生一个角频率为ωs

的振荡，其幅值为：因此合成的振荡具有调幅性质，如下图所示：

1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27160/145上图中对应角频率为ωs的振荡为舒勒振荡，振荡周期为84.4min。对应角频率为：的振荡称作付科振荡，其振荡周期为：综上所述，惯导系统的误差特征包括三种振荡：舒勒振荡地球周期振荡付科周期振荡1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27161/145产生上述三种振荡的物理原因：

舒勒周期振荡是由于平台倾斜，存在误差角

此时安装在平台上的加速度计感受到重力加速度分量，构成了二阶负反馈回路，从而表现出振荡特性。这也说明两个水平通道满足舒拉调整条件；付科周期振荡是由于有害哥氏加速度补偿误差所造成的；地球周期振荡是由于系统中存在平台误差角

和纬度误差

，它们的交叉耦合，将地球自转角速度分量引入了惯导系统。1、静基座惯性导航系统误差分析（续）2023/9/27162/145

2、静基座惯性导航系统误差特性分析

为了比较清晰的看出每一种误差源引起的系统误差特性，在求解时，对误差源分别进行考虑，把每一种误差源所产生的系统误差分别列入了下面的表格中。其中，主要考虑系统的误差源为惯性元件测量误差和初始条件误差两类，且暂时不考虑付科周期振荡的影响。3.4.3静基座惯导系统确定性误差分析(续)2023/9/27163/145加速度计零偏引起的系统误差2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27164/145陀螺漂移引起的系统误差2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27165/145初始条件误差引起的系统误差2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27166/145为了更直观的研究加速度计零偏、陀螺仪漂移和初始条件误差等误差源对于系统误差的影响，下面分别介绍它们的误差曲线。1）陀螺常值漂移引起的系统误差(2013-12-20)假设东向陀螺仪有常值漂移，忽略其它误差因素，可分析其对平台误差角的影响。根据误差方程，对拉氏变换解取反变换得其误差传播曲线如下图所示：2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27167/145通过对误差曲线的分析（谱分析等）表明：平台误差角фy(t)受陀螺常值漂移εx的影响；包含地球周期振荡和舒勒周期振荡；1）陀螺常值漂移引起的系统误差（续）2023/9/27168/145设垂直陀螺仪有常值漂移εz，忽略其它误差因素，分析其对位置误差δλ(t)的影响。根据误差方程对拉氏变换解取反变换得到：其典型的误差传播曲线如下图所示：1）陀螺常值漂移引起的系统误差（续）2023/9/27169/145通过对误差曲线的分析（谱分析等）表明（*考试）：误差中含有三个分量包含地球周期振荡分量、舒勒周期振荡分量以及随时间累积的分量（趋势项）；随时间累积的分量（趋势向）是系统中性质最严重的误差分量；2）加速度计零偏引起的系统误差系统中北向加速度计有常值漂移，忽略其它误差因素，可求对平台误差角的影响。根据误差方程，对拉氏变换解取反变换得:2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27170/145其典型的误差传播曲线如下图所示：通过对误差曲线的分析（谱分析等）表明：加速度计零偏对平台误差角的影响包括两个部分；周期为84.4min的舒勒周期振荡分量；值为的常值分量；2）加速度计零偏引起的系统误差（续）2023/9/27171/1453）初始条件误差引起的系统误差设平台和地理系有初始水平误差角时，可求其对于平台方位误差角的影响。根据误差方程，对拉氏变换解取反变换得：其典型的误差传播曲线如下图所示。2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27172/145通过对误差曲线的分析（谱分析等）表明：对平台误差角的影响包括两个周期分量；周期为84.4min的舒勒周期振荡分量；周期为24h的地球周期振荡分量；3）初始条件误差引起的系统误差（续）2023/9/27173/145静基座条件下惯性导航系统误差特性通过上述图、表的介绍我们对静基座条件下惯性导航系统误差有了直观的认识。下面在上述误差分析的基础上对静基座条件下惯性导航系统误差特性做了几点总结：陀螺漂移是惯导系统误差的主要误差源，它能激励三种周期的振荡，并使速度、位置及姿态产生常值误差分量；特别严重的是使经度误差产生随时间增长的误差；加速度计零偏误差只产生舒勒和付科周期振荡，不产生地球周期振荡，它使惯性平台产生常值误差角分量；但在位置误差和姿态角误差中，加速度计零偏的影响比陀螺漂移的影响小很多；2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27174/145初始条件误差与激励三种周期振荡，除产生的常值误差分量外，其余均为振荡性差；只产生舒勒和付科周期振荡分量；地球周期振荡在中表现不明显，主要是被付科周期调制的舒勒周期振荡，而在中，三种周期振荡均表现明显；以上的误差方程是在误差为微小量，一阶线性化条件下推出的，如果误差量较大，则会有较大失真，但总的基本规律同；另外，以上的分析是在静基座条件下导出的，动基座下则有差别，视运动速度的大小而言；2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27175/145惯性导航的误差大部分是振荡的，有周期特点的；但短时间工作，力图正好处于三角函数上升阶段的1/4周期内，误差特性会出现上升趋势；如果误差源的性质不同，结论会有差别，除了以上的基本误差规律外，还会有其它的一些影响；捷联惯性导航系统中，如果投影到地理系中考虑，结论同上；但实际上只有

因此存在交联影响误差；另外还有干扰的影响，其处理同

关键是建立正确的数学模型。2、静基座惯性导航系统误差特性分析（续）2023/9/27176/1453.4、惯性导航系统的误差分析3.4.4惯导系统随机性误差分析上一节讨论了静基座条件下确定性的误差源引起的惯导系统误差特性。确定性的误差可以设法通过补偿加以消除。在补偿了确定性的误差之后，则随机误差源就成为影响系统精度的主要误差源。系统的随机误差源也有很多，其中主要的有：陀螺随机漂移加速度计的零位偏置1、陀螺随机漂移的数学模型

陀螺的随机漂移除白噪声外，主要的是些有色噪声，包括随机常数、随机斜坡、随机游动和马尔柯夫过程（指数相关的随机过程）。下图分别给出了几种有色噪声的框图。2023/9/27177/1451、陀螺随机漂移的数学模型（续）2023/9/27178/145上述框图中的有色噪声可做如下建模表示：1）随机常数连续的随机常数过程可表示为：2）随机游动连续的随机游动过程可表示为：3）随机斜坡连续的随机斜坡过程可表示为：1、陀螺随机漂移的数学模型（续）4）一阶马尔可夫过程连续的一阶马尔可夫过程可表示为：陀螺漂移的随机模型，通常由上述几种随即过程组合而成。陀螺的类型不同，其随机漂移的模型也不同。陀螺漂移的建模工作，是惯性技术领域中的一个重要课题。在进行一般分析时，对刚体转子陀螺仪，可以认为其随机漂移模型是白噪声、随机常数和一阶马尔可夫的组合过程。1、陀螺随机漂移的数学模型（续）2023/9/27180/1452、加速度计的随机误差模型对摆式加速度计，其随机误差模型和刚体转子陀螺仪随机漂移模型类似。通常考虑为随机常数过程和一阶马尔科夫过程的结合。3、随机误差的协方差分析法假定陀螺漂移的随机模型为随机常数和一阶马尔科夫过程的组合，即3.4.4惯导系统随机性误差分析（续）2023/9/27181/1453、随机误差的协方差分析法（续）假定加速度计的随机误差模型为一阶马尔科夫过程，即把这些有色噪声作为状态扩充到误差方程式（1）中（1）写成简化形式为：2023/9/27182/145扩充状态后的状态矢量为：状态噪声矢量为：扩充状态后系统矩阵FI中除了原有的元素外，再增加下列非零元素：扩充状态后的误差方程可写作：（3）（2）3、随机误差的协方差分析法（续）2023/9/27183/145把（2）式写成离散形式式中Φ(k+1,k)为系统状态转移矩阵;

Г(k+1,k)为系统噪声转移矩阵。定义系统的均方差阵为：式中E[*]为数学期望的符号。把上面的（4）式带入（5）中可得：（5）（4）3、随机误差的协方差分析法（续）2023/9/27184/145考虑到(W(k),k≥0)与XI(0)不相关，因此对一切k≥0,W(k)与XI(k)也不相关。由此可得到：