数字图像处理 第三章图像变换

第三章图像变换什么是图像变换？图像变换：图像变换是将图像从空间域变换到其他域的数学变换。这种变换方法针对于数学函数而言。

空间域：研究对象是空间坐标函数

I=f（x，y）频率域：研究对象是频率函数

I=f（w）图像变换的目的目的：简化图像处理问题有利于图像特征提取有助于对图像信息概念的理解0频率空间低频率空间高频率空间图频率与空间的对应常用的几种图像变换常用的变换方式为二维正交可逆变换。正交变换特点是变换域中图像能量主要集中分布在低频率成分上，边缘、线信息反映在高频成分上。常用变换算法：傅立叶变换沃尔什-哈达玛变换哈尔变换离散余弦变换小波变换

……附：正交变换连续函数集合的正交性正交变换正交函数的离散情况正交变换一维正交变换主要内容预备知识傅立叶变换其他可分离图像变换3.1预备知识

3.1.1单位脉冲函数图像可以看成由多个像素组成，每个像素可以看成为一个点源。点源可用狄拉克函数表示，即单位脉冲函数满足yxδ(x，y)单位脉冲函数性质偶函数；位移性；可分性；采样性3.1.2线性位移不变系统系统：线性系统：对于某特定系统，有

x1(t)y1(t)

x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)线性条件从而有：a×x1(t)a×y1(t)

齐次性条件系统x(t)输入y(t)输出线性位移不变系统二维线性系统综合线性系统的线性条件和齐次性条件，二维线性系统表示为T[a1f1(x，y)+a2f2(x，y)]=a1T[f1(x，y)]+a2T[f2(x，y)]二维线性平移不变系统

平移不变性：若点脉冲函数δ(x，y)系统脉冲响应h(x，y)，则当输入信号沿时间轴平移，有：

δ(x–α,y-β)h(x–α,y-β)线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应的卷积

g(x，y)=f(x，y)*h(x，y)3.2傅立叶变换傅立叶变换:周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示傅里叶变化域—频域一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换 设函数f(x)为实变量的连续函数，则其傅立叶变换定义为

其逆变换为 一维连续傅立叶变换欧拉公式傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量，源于欧拉公式中的指数项

exp[-j2

ux]=cos2

ux-jsin2

ux

如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中频率变量u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率。一维连续傅立叶变换函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它可以用下式表示：复数形式振幅相位能量二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x,y)连续可积，F(u,v)可积,则将有下面的傅立叶变换对存在：二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：3.2.2离散傅立叶变换离散傅立叶变换：由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform－简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换x=0,1,…,N-1u=0,1,…,N-1离散傅里叶变换满足正交条件

的原信号序列的傅氏变换

对前述N＝4情况，设每一个矩阵元表示成二维离散傅立叶变换二维傅立叶变换：傅立叶谱谱显示特性傅里叶谱显示特性中心位移：将傅里叶谱原点移到窗口中心。由于实际变换结果左上、下和右上、下四个角对应低频成分，中央部分对应高频成分。为适应人的视觉习惯，需要通过换位方法，将中央和四周位置互换。显示理解：中间低频，周围高频对数显示：减缓衰减速度，便于理解，通常采用lg(1+|F(u,v)|)对数显示，图像中心化（a）原图像（b)傅里叶变换后图像（c）中心化后图像（d）对数显示图像典型图像的傅立叶变换实际图像的傅立叶变换图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。

(a)(b)3.2.3傅立叶变换性质二维离散傅立叶变换特性变换可分离性比例性质对称性旋转不变性卷积线性空间和频率位移周期与共轭对称均值性相关傅立叶变换性质1、周期与共轭对称傅立叶变换性质周期性M,N为变换周期共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数傅立叶变换性质2、可分离性二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是：

二维DFT可分离为两次一维DFT应用：

二维快速傅立叶算法FFT，是通过计算两次一维FFT实现的傅立叶变换性质先对列做变换：然后对行进行变换：f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv平移性幅度谱相位谱幅度谱不变，相位谱改变傅立叶变换性质傅立叶变换性质3、平移性

当u0=M/2,v0=N/2傅立叶变换性质傅立叶变换性质傅立叶变换性质4、旋转特性如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度。傅立叶变换性质5、分配律傅立叶变换性质傅立叶变换性质6、尺度变换对于系数a和b时域扩展引起频域的压缩，反之亦然512x512FFT256x256FFTaf(x,y)放大图像尺寸放大图像比例放大512x512FFT512x512FFTf（ax,by）比例放大FFT频域压缩傅立叶变换性质7、均值性离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值傅立叶变换性质8、离散卷积定理空域中的卷积等价于频域中的相乘，反之亦然傅立叶变换性质9、离散相关定理空域中的函数f(x,y