戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间

矩阵论怀丽波目录第一章线性空间与内积空间（4学时）第二章线性映射与线性变换（4学时）第三章l矩阵与矩阵的Jordan标准形（6学时）第四章矩阵的因子分解（8学时）第五章Hermite矩阵与正定矩阵（4学时）第六章范数与极限（6学时）教学目的：理解线性空间和内积空间的概念掌握子空间与维数定理了解线性空间和内积空间同构的含义掌握正交基及子空间的正交关系掌握Gram-Schmidt正交化方法

线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。例4次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间例3闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间例2所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。例1所有n维实（复）向量按向量的加法和数乘，构成线性空间Rn(Cn)。例5集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。例6线性非齐次方程组的解集不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解系，为的一个特解。向量的线性相关性：

线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推广到一般线性空间。证明：取k1，k2，k3∈R，令k1

1+k2

2+k3

3

则有k1-k2=0,k2

+k3=0该方程组有非零解，所以

1,

2,

3线性相关.

证明：

取

1=

2=

3=则

1,

2,

3线性无关.对线性空间V中的任一向量可表示成A==a11

1+a12

2+a22

3即A可由

1,

2,

3线性表出。所以Dim（V）=3注:

（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.

（2）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.例1.3.1

线性空间是实数域上的二维空间，其基可取为，即C中任一复数k=a+bi（a,b

R）都有a+bi=(1,i)(),所以(a,b)T即为k的坐标。ab例1.3.2实数域R上的线性空间R[x]n中的向量组1，x，x2,…xn-1是基底，R[x]n的维数为n。例1.3.3实数域R上的线性空间的维数为n

n，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）第i行第j列的元素为1，其它的都为0。例1.3.4

在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是证明也是的基,并求及在此基下的坐标。由题，在基下的坐标为而且，基到基的过渡矩阵为所以例1.3.5

已知矩阵空间的两组基：求基(I)到基(II)的过渡矩阵。解引入的标准基：显然类似地，则基(III)到基(I)的过渡矩阵为而基(III)到基(II)的过渡矩阵为所以从而因此基(I)到基(II)的过渡矩阵为注意：

通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；例1.4.1对于任意一个有限维线性空间V，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间{0}和V本身。例1.4.2实数域R上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间。例1.4.3

设A

Rm

n，记A={a1,a2,…an},其中ai

Rm，则k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间（或值域）,记为R(A)或Im(A)。即R(A)={y|y=Ax,x

Rn}

注：判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，则很方便.下面考虑两个子空间的运算：注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V的子空间；例1.4.4

设是线性空间的子空间，且则证明

由子空间和的定义，有V1+V2=span(

1,

2…

s)+span(

1,

2…

t)={(k1

1+k2

2…+ks

s)+(l1

1+l2

2…+lt

t)|ki,lj

P}=span(

1,

2…

s,

1,

2…

t)例1.4.5设求的基与维数。所以可令设，则因此所以的基为，维数为解解关于的齐次方程组，得由例1.4.4

由前得即然而线性无关，这样是的极大无关组，所以它也是的基，故定理1.4.7（维数公式）设是数域P上线性空间的两个有限维子空间，则它们的交与和都是有限维的，并且注意到例1.4.5中这并不是偶然的。

在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？例1.4.6

设分别是阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明均为线性空间的子空间。试证明证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即又根据定理1.4.9可知结论成立。

这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V的一个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个数域P上的线性空间都与n维向量空间Pn同构。因此n维向量空间Pn中的一些结论在任意线性空间也成立。定义1.6.2

设V为内积空间，V中向量

的长度或范数定义为