湖南省2021届高三调研考试数学试卷(有答案)

湖南省2021届高三调研考试数学试卷

一、选择题1.若集合，，则()A. B． C． D．2.已知命题，，则是（）A．， B．，C．， D．，3.复数，，则（）A．1 B．2 C．3 D．44.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5。现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A.1人 B.2人 C.5人 D.6人5.如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A．北纬5°5′33″ B．南纬5°5′33″C．北纬5°54′27″ D．南纬5°54′27″6.若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．7.已知分别是双曲线的上、下焦点，过点的直线与双曲线的上支交于点P，若过原点O作直线的垂线，垂足为M，，，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．8.已知，，，则()A． B． C． D．9.在中，，，，则下列结论正确的是()A． B．C． D．二、填空题10.展开式中含的项的系数为_______________．（用数字填写答案）11.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望______．12.如下图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为的斜边、直角边，，点N为的中点,点D在以为直径的半圆上．已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为3，，则___________.13.已知正方形的棱长为1，以顶点为球心，为半经作一个球，则球面与正方体的表面相交所得的曲线的长等于__________.三、解答题14.已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b和c的值；（2）的值．条件①:,；条件②:,.15.已知数列的前n项和满足(n)，且．（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值．16.如图，在直三棱柱中，，，，交于点为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17.红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：252.8964616842268848.4870308表中；；；；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．参考数据：，，．附：对于一组数据(，)，(，)，…，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．18.已知椭圆.（1）求椭圆的离心率和长轴长；（2）已知直线与椭圆C有两个不同的交点，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.19.已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：根据全称命题的否定为特称命题，则是“，”.故选：D.3.答案：A解析：4.答案：C解析：由题意，该班级中，两项测试都合格的一共有（人）所以抽出来复测的同学中，两项测试都合格的一共有（人）5.答案：B解析：6.答案：C解析：7.答案：A解析：8.答案：D解析：9.答案：BCD解析：10.答案：解析：11.答案：解析：12.答案：解析：13.答案：解析：14.答案：若选择条件①：解：（1）在中，因为，所以. 因为，所以. 由余弦定理，， 所以. 若选择条件②：在中，因为，所以.因为，所以. 因为，所以. 由余弦定理，，所以.（2）若选择条件①:由正弦定理，可得.所以. 因为，所以. 所以. 若选择条件②：在中，因为，所以.因为，所以，. 因为，所以. 由余弦定理，，所以.由正弦定理得，所以. 因为，所以. 所以.解析：15.答案：解：（1）由①可得，当时，②，①－②得，，所以当时，，所以，整理得，所以为等差数列．又，所以，又，所以，所以．（2）由（1）可得，，所以．要使，只需，解得，又，所以n的最小值为8．解析：16.答案：（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以.因为，，所以平面.（2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系.则,,,.设，所以，因为，所以，即.所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，所以所以即令，则，所以平面的一个法向量为.所以.由已知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.解析：17.答案：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则.，所以，则z关于x的线性回归方程为.于是有，所以产卵数y关于温度x的回归方程为当时，（个）所以，在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个．解析：18.答案：解：（1）由题意：，所以. 因为，所以. 所以. 所以椭圆C离心率为，长轴长为4. （2）联立消y整理得：. 因为直线与椭圆交于两点，故，解得. 设，则.设中点，则，故. 假设存在k和点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，所以解得，故.又因为，所以.所以，即.整理得.所以， 代入，整理得，即. 当时，P点坐标为；当时，P点坐标为.此时，是以P为直角顶点的等腰直角三角形.解析：19.答案：（1）因为，由函数在上为增函数，则在上恒成立.令，，当时，，所以恒成立.所以在为增函数．所以所以．（2）由，则所以，是的两个零点．